1
निम्न में बहुपद है —
💡 संकेत:
हर घातांक पूर्ण संख्या हो।
समझो:
3x² − 2x + 1 में घातांक 2, 1, 0 हैं। बाकी में −1 या 1/2 है।
कक्षा 9 · गणित · अध्याय 2 · बिहार बोर्ड (BSEB)CBSE · NCERT 2026-27
बहुपद
Polynomials
इस पेज को ऐसे पढ़ो:
1. पढ़ो — 2.1 घात · 2.2 शून्यक · 2.3 शेषफल · 2.4 गुणनखंड · 2.5 सर्वसमिका, चित्र, हल उदाहरण, बोर्ड टिप
2. जाँचो — हर पाठ के अपने प्रश्न; संख्या पाठ के हिसाब से
3. महारत ★ — उस पाठ के सब सही। गलत वाले «दोबारा करो»
4. याद रखने वाला चित्र (a+b) का वर्ग है, जो a², b² और दो ab आयतों में बँटा दिखता है।
बिहार की 15-अध्याय वाली किताब में यह अध्याय 2 है। NCERT 2026-27 गणित मंजरी का क्रम अलग है। प्रगति इसी ब्राउज़र में सेव रहती है।
🏅 आपकी उपलब्धियाँ — 0/6 बैज
🔥 0दिन की स्ट्रीक · सबसे लंबी 0
⭐ 0कुल XP · आज 0
🎓 1लेवल
अगला लेवल: 150 XP बाकीसही उत्तर +10 · संकेत के बाद +5 · रिव्यू +6 · बैज +25
पिछले 7 दिन:
सब कुछ इसी फ़ोन/ब्राउज़र में सेव होता है — कोई लॉगिन नहीं।
- 1 एक चर का बहुपद और घात — प्रश्नावली 2.1
- 2 बहुपद का मान और शून्यक — प्रश्नावली 2.2
- 3 भाग और शेषफल प्रमेय — प्रश्नावली 2.3
- 4 गुणनखंड प्रमेय और गुणनखंडन — प्रश्नावली 2.4
- 5 पहली चार सर्वसमिकाएँ — प्रश्नावली 2.5
- 6 तीन पद और घन की सर्वसमिकाएँ — प्रश्नावली 2.5
- अध्याय-विजेता — सभी पाठ महारत ★
🎬 Shorts
इस अध्याय का कोई Short अभी चैनल पर नहीं है, इसलिए दस खाली कार्ड नहीं दिखाए गए। नोट्स, चित्र और जाँच-प्रश्न पूरे हैं।
📄 PDF डाउनलोड — नोट्स + उत्तर-कुंजी
एक चर का बहुपद और घात — प्रश्नावली 2.1
A polynomial in one variable and its degree — Exercise 2.1 · NCERT 2.2 · प्रश्नावली 2.1
घात पूर्ण संख्या होनोट्स
एक चर x का बहुपद p(x) = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + … + a₁x + a₀ है। aₙ ≠ 0। n पूर्ण संख्या है। a₀, a₁, … गुणांक हैं। पद aₙxⁿ से a₀ तक हैं।
एक पद एकपद, दो पद द्विपद, तीन पद त्रिपद। घात 1 रैखिक है, रूप ax + b और a ≠ 0। घात 2 द्विघात है। घात 3 त्रिघात है। 5x² + 3x + π द्विघात है, क्योंकि π गुणांक हो सकता है।
x + 1/x = x + x⁻¹ बहुपद नहीं है। √x + 4 = x1/2 + 4 भी नहीं। शून्येतर अचर की घात 0 है। शून्य बहुपद की घात परिभाषित नहीं।
| नाम | घात | उदाहरण |
|---|---|---|
| अचर | 0 | 7 |
| रैखिक | 1 | 4x + 7 |
| द्विघात | 2 | x² − 3x + 2 |
| त्रिघात | 3 | 2x³ − x |
हल किया हुआ उदाहरणउदाहरण
प्रश्न: 2 − y² − y³ + 2y⁸ की घात निकालो। अचर 5 की घात भी लिखो।
चरण 1. पदों को घटती घात में लिखो: 2y⁸ − y³ − y² + 2।
चरण 2. चर की सबसे बड़ी घात 8 है। अतः घात 8 है।
चरण 3. 5 एक शून्येतर अचर है। इसमें चर नहीं है, यानी y⁰ का गुणांक। घात 0 है।
सावधानी: यदि बहुपद केवल 0 हो, तो घात लिखो ही नहीं। वह परिभाषित नहीं है।
10-सेकंड रिवीजन
- घात = सबसे बड़ी घात
- शून्येतर अचर की घात 0
- 1/x और √x बहुपद नहीं
बोर्ड टिप · BSEBबोर्ड टिप
भाग से पहले और घात पूछने पर पदों को घटती घात में सजा लो।
बोर्ड टिप · CBSEबोर्ड टिप
गुणांक अपरिमेय हो सकता है। πx² + 2 बहुपद है। घात चर की होती है, गुणांक की नहीं।
समझ जाँचोसब सही = महारत ★
2
शून्य बहुपद की घात 0 है।
समझो:
गलत। शून्येतर अचर की घात 0 है। शून्य बहुपद की घात परिभाषित नहीं।
3
4x + 7 की घात ______ है।
💡 संकेत:
रैखिक बहुपद।
समझो:
सबसे बड़ी घात 1 है।
4
x² + 3x + 2 है —
💡 संकेत:
तीन पद, सबसे बड़ी घात 2।
समझो:
तीन पद हैं इसलिए त्रिपद। घात 2 है इसलिए द्विघात।
5
बताओ कि 5x² + 3x + π बहुपद क्यों है और √x + 1 क्यों नहीं। घात भी लिखो जहाँ बने।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
5x² + 3x + π में घातांक 2, 1, 0 हैं और π गुणांक है। यह द्विघात बहुपद है, घात 2। √x + 1 में x की घात 1/2 है, जो पूर्ण संख्या नहीं, इसलिए यह बहुपद नहीं।
अपना उत्तर जाँचो:
बहुपद का मान और शून्यक — प्रश्नावली 2.2
The value of a polynomial and its zeroes — Exercise 2.2 · NCERT 2.3 · प्रश्नावली 2.2
p(c) = 0 ही शून्यक हैनोट्स
p(x) में x की जगह संख्या c रखने पर जो मिलता है वह p(c) है। यदि p(c) = 0 तो c बहुपद का शून्यक है। समीकरण p(x) = 0 का मूल भी वही c है।
रैखिक बहुपद ax + b का एक ही शून्यक है, x = −b/a। शून्येतर अचर का कोई शून्यक नहीं, क्योंकि 7 = 0 कभी नहीं होता। शून्य बहुपद का हर वास्तविक संख्या शून्यक है। यह परंपरा है।
एक बहुपद के एक से अधिक शून्यक हो सकते हैं। x² − 2x के शून्यक 0 और 2 हैं, क्योंकि x(x − 2) = 0।
हल किया हुआ उदाहरणउदाहरण
प्रश्न: p(x) = 2x + 1 का एक शून्यक निकालो और जाँचो।
चरण 1. शून्यक के लिए p(x) = 0 रखो: 2x + 1 = 0।
चरण 2. 2x = −1, अतः x = −1/2।
सूत्र: ax + b का शून्यक −b/a है। यहाँ a = 2, b = 1, इसलिए −b/a = −1/2।
जाँच: p(−1/2) = 2×(−1/2) + 1 = −1 + 1 = 0। अतः −1/2 शून्यक है।
10-सेकंड रिवीजन
- शून्यक का अर्थ p(c) = 0
- रैखिक का एक शून्यक −b/a
- शून्येतर अचर का शून्यक नहीं
बोर्ड टिप · BSEBबोर्ड टिप
x + 2 का शून्यक −2 है, 2 नहीं। चिह्न उलटता है।
बोर्ड टिप · CBSEबोर्ड टिप
मान और शून्यक अलग हैं। p(1) = 4 हो सकता है। शून्यक वही है जहाँ मान 0 हो।
समझ जाँचोसब सही = महारत ★
1
p(x) = x − 3 का शून्यक है —
💡 संकेत:
x − 3 = 0।
समझो:
p(3) = 0। शून्यक 3 है।
2
अचर बहुपद 4 का कोई शून्यक नहीं है।
समझो:
सही। 4 कभी 0 नहीं होता। शून्य बहुपद अलग है।
3
p(x) = 5x − 4x² + 3 हो तो p(0) = ______।
💡 संकेत:
x = 0 रखने पर केवल अचर बचता है।
समझो:
p(0) = 0 − 0 + 3 = 3।
4
जाँचो कि −2, p(x) = x + 2 का शून्यक है और 2 नहीं है। दोनों मान लिखो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
p(−2) = −2 + 2 = 0, इसलिए −2 शून्यक है। p(2) = 2 + 2 = 4 ≠ 0, इसलिए 2 शून्यक नहीं है।
अपना उत्तर जाँचो:
भाग और शेषफल प्रमेय — प्रश्नावली 2.3
Division and the Remainder Theorem — Exercise 2.3 · NCERT 2.4 · प्रश्नावली 2.3
शेषफल p(a) हैनोट्स
संख्याओं की तरह बहुपद भी भाग होते हैं। 15 = (6 × 2) + 3 में शेषफल भाजक से छोटा है। बहुपद में p(x) = g(x) q(x) + r(x), और r की घात g की घात से कम है।
भाजक एकपदी हो तो हर पद को अलग भाग देते हैं। 2x³ + x² + x को x से भाग दो तो 2x² + x + 1। पर 3x² + x + 1 में अचर 1, x से बहुपद नहीं देता। शेषफल 1 रहता है और x गुणनखंड नहीं।
भाग से पहले घटती घात में लिखो। x + 3x² − 1 को 3x² + x − 1 लिखो। घात कम से कम 1 हो और भाजक x − a हो तो शेषफल p(a) है।
हल किया हुआ उदाहरणउदाहरण
प्रश्न: p(x) = x³ + 1 को x + 1 से भाग देने पर शेषफल निकालो। लंबा भाग भी दिखाओ।
सूत्र: x + 1 = x − (−1), इसलिए a = −1 और शेषफल p(−1)।
प्रतिस्थापन: p(−1) = (−1)³ + 1 = −1 + 1 = 0।
लंबा भाग: भाज्य x³ + 0x² + 0x + 1। पहला पद x²। (x + 1)x² = x³ + x²। घटाने पर −x²। अगला पद −x। (x + 1)(−x) = −x² − x। घटाने पर x। अगला पद +1। (x + 1)(1) = x + 1। घटाने पर 0।
उत्तर: भागफल x² − x + 1 और शेषफल 0। दोनों तरीके मिलते हैं।
10-सेकंड रिवीजन
- शेषफल = p(a), भाजक x − a
- x + 1 का अर्थ a = −1
- शेषफल 0 हो तो भाजक गुणनखंड है
बोर्ड टिप · BSEBबोर्ड टिप
x − 1 और x + 1 में a अलग है। x − 1 पर p(1), x + 1 पर p(−1)।
बोर्ड टिप · CBSEबोर्ड टिप
लुप्त घात को गुणांक 0 से लिखो, जैसे x³ + 1 में x² और x।
समझ जाँचोसब सही = महारत ★
1
p(x) = x² − 4 को x − 2 से भाग दें तो शेषफल है —
💡 संकेत:
p(2) निकालो।
समझो:
p(2) = 4 − 4 = 0।
2
x + 1 से भाग का शेषफल p(1) होता है।
समझो:
गलत। x + 1 = x − (−1), इसलिए शेषफल p(−1) है।
3
p(x) = x³ − 1 और भाजक x − 1 हो तो शेषफल ______ है।
💡 संकेत:
p(1)।
समझो:
p(1) = 1 − 1 = 0।
4
भाग शुरू करने से पहले x + 3x² − 1 को लिखते हैं —
💡 संकेत:
घटती घात।
समझो:
मानक रूप 3x² + x − 1 है।
5
2x³ + x² + x को x से भाग देने पर भागफल ______ है।
💡 संकेत:
हर पद में x काट दो।
समझो:
2x² + x + 1।
6
p(x) = x⁴ + x³ − 2x² + x + 1 को x − 1 से भाग देने पर शेषफल निकालो। सूत्र और प्रतिस्थापन लिखो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
सूत्र: भाजक x − a, a = 1, शेषफल p(1)। p(1) = 1 + 1 − 2 + 1 + 1 = 2। शेषफल 2 है।
अपना उत्तर जाँचो:
गुणनखंड प्रमेय और गुणनखंडन — प्रश्नावली 2.4
The Factor Theorem and factorisation — Exercise 2.4 · NCERT 2.5 · प्रश्नावली 2.4
p(a) = 0 का मतलब गुणनखंडनोट्स
शेषफल प्रमेय से p(x) = (x − a) q(x) + p(a)। यदि p(a) = 0 तो p(x) = (x − a) q(x)। (x − a) गुणनखंड है यदि और केवल यदि p(a) = 0।
द्विघात ax² + bx + c का मध्य पद ऐसे दो संख्याओं में तोड़ो जिनका गुणन a×c हो और योग b। फिर समान कोष्ठक निकालो।
त्रिघात में अचर के गुणनखंड आज़माओ। p(1) = 0 हो तो (x − 1) गुणनखंड है। भाग देकर द्विघात बचाओ और उसे फिर तोड़ो।
हल किया हुआ उदाहरणउदाहरण
प्रश्न: 6x² + 17x + 5 का गुणनखंडन मध्य पद तोड़कर करो।
चरण 1. a×c = 6×5 = 30 और b = 17। ऐसी दो संख्याएँ 15 और 2 हैं, क्योंकि 15×2 = 30 और 15+2 = 17।
चरण 2. 6x² + 15x + 2x + 5।
चरण 3. 3x(2x + 5) + 1(2x + 5) = (3x + 1)(2x + 5)।
जाँच: (3x + 1)(2x + 5) = 6x² + 15x + 2x + 5 = 6x² + 17x + 5।
10-सेकंड रिवीजन
- p(a) = 0 ⇔ (x − a) गुणनखंड
- मध्य पद: गुणन ac, योग b
- 6x² + 17x + 5 = (3x + 1)(2x + 5)
बोर्ड टिप · BSEBबोर्ड टिप
x + 2 गुणनखंड पूछें तो a = −2 रखकर p(−2) देखो।
बोर्ड टिप · CBSEबोर्ड टिप
तोड़ी हुई संख्याओं का चिह्न योग से तय होता है। योग ऋणात्मक हो तो दोनों ऋण हो सकती हैं।
समझ जाँचोसब सही = महारत ★
1
x + 2, x³ + 3x² + 5x + 6 का गुणनखंड है, क्योंकि —
💡 संकेत:
x + 2 = x − (−2)।
समझो:
p(−2) = −8 + 12 − 10 + 6 = 0। अतः x + 2 गुणनखंड है।
2
y² − 5y + 6 = (y − 2)(y − 3)।
समझो:
सही। −2 और −3 का गुणन 6 और योग −5 है।
3
यदि x − 1, p(x) का गुणनखंड है तो p(1) = ______।
💡 संकेत:
गुणनखंड प्रमेय।
समझो:
p(1) = 0।
4
x² + 5x + 6 का एक गुणनखंड है —
💡 संकेत:
2 और 3, गुणन 6, योग 5।
समझो:
(x + 2)(x + 3) = x² + 5x + 6।
5
p(x) = x³ − 6x² + 11x − 6 के लिए p(1) निकालो और बताओ कि x − 1 गुणनखंड है या नहीं।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
p(1) = 1 − 6 + 11 − 6 = 0। गुणनखंड प्रमेय से x − 1 गुणनखंड है।
अपना उत्तर जाँचो:
पहली चार सर्वसमिकाएँ — प्रश्नावली 2.5
The first four identities — Exercise 2.5 · NCERT 2.6 · प्रश्नावली 2.5 · (a+b)²
जो हर मान पर सच होनोट्स
सर्वसमिका वह बीजीय समता है जो चर के हर मान पर सच हो। पहली चार:
I. (x + y)² = x² + 2xy + y²
II. (x − y)² = x² − 2xy + y²
III. x² − y² = (x + y)(x − y)
IV. (x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab
(a + b) भुजा वाले वर्ग के चार भाग a², ab, ab और b² हैं, इसलिए (a + b)² = a² + 2ab + b²। ये गुणन और गुणनखंड दोनों में काम आती हैं।
हल किया हुआ उदाहरणउदाहरण
प्रश्न: 103 × 98 सीधा गुणा किए बिना निकालो।
चरण 1. 103 = 100 + 3 और 98 = 100 + (−2)।
सूत्र IV: (x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab। यहाँ x = 100, a = 3, b = −2।
प्रतिस्थापन: 100² + (3 + (−2))×100 + (3)(−2)।
चरण 2. 10000 + 1×100 + (−6) = 10000 + 100 − 6 = 10094।
जाँच: 103×100 − 103×2 = 10300 − 206 = 10094।
10-सेकंड रिवीजन
- (a+b)² = a² + 2ab + b²
- x² − y² = (x+y)(x−y)
- (x+a)(x+b) = x² + (a+b)x + ab
बोर्ड टिप · BSEBबोर्ड टिप
49a² + 70ab + 25b² को (7a + 5b)² देखो। पहले वर्ग और बीच का दुगुना पहचानो।
बोर्ड टिप · CBSEबोर्ड टिप
सीधे गुणा वाले प्रश्न में 100 के पास की संख्या चुनो, फिर सर्वसमिका IV।
समझ जाँचोसब सही = महारत ★
1
(x + 3)² बराबर है —
💡 संकेत:
बीच में 2xy मत भूलो।
समझो:
x² + 2·x·3 + 3² = x² + 6x + 9।
2
(x − y)² = x² − y²।
समझो:
गलत। (x − y)² = x² − 2xy + y²। x² − y² दो पदों का गुणन है।
3
x² − 9 = (x + 3)(______ )।
💡 संकेत:
वर्गों का अंतर।
समझो:
(x + 3)(x − 3)।
4
(x − 3)(x + 5) बराबर है —
💡 संकेत:
a + b = −3 + 5 = 2 और ab = −15।
समझो:
x² + (−3 + 5)x + (−3)(5) = x² + 2x − 15।
5
(a + b)² के चित्र में ab वाले दो भाग हैं।
समझो:
सही। दो आयत मिलकर 2ab देते हैं।
6
49a² + 70ab + 25b² को सर्वसमिका से गुणनखंडित करो। चरण लिखो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
49a² = (7a)², 25b² = (5b)², 70ab = 2(7a)(5b)। अतः (7a + 5b)² = (7a + 5b)(7a + 5b)।
अपना उत्तर जाँचो:
तीन पद और घन की सर्वसमिकाएँ — प्रश्नावली 2.5
Identities for three terms and cubes — Exercise 2.5 · NCERT 2.6 · प्रश्नावली 2.5 · घन
V से VIII तकनोट्स
V. (x + y + z)² = x² + y² + z² + 2xy + 2yz + 2zx। इसे (x + y) को एक पद मानकर (a + b)² से निकाला जाता है।
VI. (x + y)³ = x³ + y³ + 3xy(x + y)
VII. (x − y)³ = x³ − y³ − 3xy(x − y)
VIII. x³ + y³ + z³ − 3xyz = (x + y + z)(x² + y² + z² − xy − yz − zx)
x + y + z = 0 हो तो x³ + y³ + z³ = 3xyz। विस्तारित रूप दायाँ पक्ष है। बायाँ पक्ष संक्षिप्त रूप है।
हल किया हुआ उदाहरणउदाहरण
प्रश्न: (2x + 1)³ का विस्तार करो।
सूत्र VI: (x + y)³ = x³ + y³ + 3xy(x + y)। यहाँ पहला पद 2x है और दूसरा 1।
प्रतिस्थापन: (2x)³ + 1³ + 3(2x)(1)(2x + 1)।
चरण 1. 8x³ + 1 + 6x(2x + 1)।
चरण 2. 6x(2x + 1) = 12x² + 6x।
उत्तर: 8x³ + 12x² + 6x + 1।
10-सेकंड रिवीजन
- (x+y+z)² में तीन वर्ग और तीन दुगुने गुणन
- (x+y)³ = x³ + y³ + 3xy(x+y)
- x+y+z = 0 ⇒ x³+y³+z³ = 3xyz
बोर्ड टिप · BSEBबोर्ड टिप
तीन वर्ग वाले प्रसार में 2xy, 2yz, 2zx तीनों लिखो। एक छोड़ने पर अंक कटते हैं।
बोर्ड टिप · CBSEबोर्ड टिप
x + y + z = 0 देखो तो घन सीधे 3xyz। पूरी VIII तभी खोलो जब योग शून्य न हो।
समझ जाँचोसब सही = महारत ★
1
x + y + z = 0 हो तो x³ + y³ + z³ बराबर है —
💡 संकेत:
VIII में पहला गुणनखंड शून्य है।
समझो:
x³ + y³ + z³ − 3xyz = 0, अतः योग 3xyz।
2
(x − y)³ = x³ − y³ − 3xy(x − y)।
समझो:
सही। यह सर्वसमिका VII है।
3
(x + y + z)² में xy वाला पद ______xy है।
💡 संकेत:
हर जोड़े का दुगुना।
समझो:
2xy। इसी तरह 2yz और 2zx।
4
3 + (−2) + (−1) = 0 है। x³ + y³ + z³ निकालो और 3xyz से जाँचो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
योग 0 है, इसलिए x³ + y³ + z³ = 3xyz = 3×3×(−2)×(−1) = 18। सीधा घन: 27 + (−8) + (−1) = 18। दोनों बराबर हैं।
अपना उत्तर जाँचो:
❓ पूरा प्रश्न बैंक — उत्तर व व्याख्या सहित — 59 प्रश्न
प्रकार चुनो। पाठों के 30 जाँच-प्रश्न अलग हैं — हर पाठ में जितने उसके विषय माँगते हैं। सब सही होने पर महारत ★ मिलती है।
BSEB मॉडलअभ्यास · वार्षिक नहीं60 किए · 0 सहीबहुविकल्पीMCQ120 किए · 0 सहीसही / गलतसही-गलत60 किए · 0 सहीरिक्त स्थानरिक्त स्थान60 किए · 0 सहीमिलान करोमिलान20 किए · 0 सहीअभिकथन-कारणअभिकथन-कारण40 किए · 0 सहीसमीकरण संतुलनसंतुलन40 किए · 0 सहीअभिक्रिया पहचानपहचान20 किए · 0 सहीलघु / दीर्घ उत्तरीयअति लघु, लघु, दीर्घ110 किए · 0 सहीCBSE-शैलीPYQ नहीं60 किए · 0 सही
कोई भी प्रश्न «सत्यापित PYQ» नहीं है। BSEB वाला सेट मॉडल अभ्यास है। CBSE वाले प्रश्न CBSE-शैली हैं, किसी वर्ष के पेपर की प्रति नहीं।
बहुविकल्पी
0/12एक विकल्प चुनो। गलत पर संकेत मिलेगा।
1
बहुपद नहीं है —
💡 संकेत:
घातांक −1 पूर्ण संख्या नहीं।
समझो:
x + 1/x बहुपद नहीं। πx + 2 और 5 बहुपद हैं।
2
2y⁸ − y³ + 2 की घात है —
💡 संकेत:
सबसे बड़ी घात देखो।
समझो:
घात 8 है।
3
रैखिक बहुपद का शून्यक एक होता है। 3x − 6 का शून्यक है —
💡 संकेत:
−b/a = 6/3।
समझो:
3x = 6, x = 2।
4
p(x) = x² − 5x + 6 का एक शून्यक है —
💡 संकेत:
(x − 2)(x − 3)।
समझो:
p(2) = 4 − 10 + 6 = 0।
5
x − 1 से भाग पर शेषफल है —
💡 संकेत:
a = 1।
समझो:
शेषफल p(1) है।
6
x³ + 1 को x + 1 से भाग दें तो शेषफल है —
💡 संकेत:
p(−1)।
समझो:
(−1)³ + 1 = 0।
7
6x² + 17x + 5 का एक गुणनखंड है —
💡 संकेत:
15 और 2।
समझो:
(3x + 1)(2x + 5)।
8
(x + 4)² में मध्य पद है —
💡 संकेत:
2xy, y = 4।
समझो:
2·x·4 = 8x।
9
x² − 16 बराबर है —
💡 संकेत:
वर्गों का अंतर।
समझो:
(x + 4)(x − 4)।
10
(x + y + z)² में xy का गुणांक है —
💡 संकेत:
हर जोड़ा दुगुना।
समझो:
2xy।
11
x + y + z = 0 हो तो x³ + y³ + z³ है —
💡 संकेत:
VIII का विशेष रूप।
समझो:
3xyz।
12
शून्य बहुपद के बारे में सही है —
💡 संकेत:
अचर 0 अलग है।
समझो:
घात परिभाषित नहीं। हर वास्तविक संख्या इसका शून्यक है।
सही / गलत
0/61
5 एक बहुपद है और उसकी घात 0 है।
समझो:
सही। शून्येतर अचर की घात 0 होती है।
2
हर रैखिक बहुपद के दो शून्यक होते हैं।
समझो:
गलत। रैखिक का ठीक एक शून्यक होता है।
3
शेषफल 0 हो तो भाजक गुणनखंड है।
समझो:
सही। यही गुणनखंड प्रमेय की दिशा है।
4
(x − y)² = x² − 2xy + y²।
समझो:
सही। यह सर्वसमिका II है।
5
(x + y)² = x² + y²।
समझो:
गलत। मध्य पद 2xy भी है।
6
x³ + y³ + z³ − 3xyz में (x + y + z) एक गुणनखंड है।
समझो:
सही। यह सर्वसमिका VIII है।
रिक्त स्थान
0/61
द्विघात बहुपद की घात ______ होती है।
💡 संकेत:
सबसे बड़ी घात।
समझो:
उदाहरण x² + 1।
2
ax + b का शून्यक ______ है।
💡 संकेत:
चिह्न ऋण।
समझो:
a ≠ 0।
3
x + 3 से भाग का शेषफल p(______) होता है।
💡 संकेत:
x − (−3)।
समझो:
a = −3।
4
x² + 7x + 12 = (x + 3)(x + ______ )।
💡 संकेत:
गुणन 12।
समझो:
3 + 4 = 7 और 3×4 = 12।
5
(a + b)² = a² + ______ + b²।
💡 संकेत:
चित्र के दो ab।
समझो:
दो आयत।
6
x + y + z = 0 हो तो x³ + y³ + z³ = ______।
💡 संकेत:
तीन का गुणन।
समझो:
सर्वसमिका VIII का विशेष रूप।
मिलान करो
0/21
बहुपद को उसके नाम से मिलाओ।
स्तंभ B: A. द्विघात · B. त्रिघात · C. अचर · D. रैखिक
1. 7
2. 4x + 1
3. x² + 1
4. x³ − x
समझो:
7 अचर, 4x+1 रैखिक, x²+1 द्विघात, x³−x त्रिघात।
2
सर्वसमिका को उसके बाएँ पक्ष से मिलाओ।
स्तंभ B: A. (x+y)(x−y) · B. x³+y³+3xy(x+y) · C. 3xyz · D. x²+2xy+y²
1. (x+y)²
2. x²−y²
3. (x+y)³
4. x+y+z=0 वाला घन
समझो:
वर्ग में 2xy, अंतर दो कोष्ठक, घन में 3xy(x+y), योग शून्य हो तो 3xyz।
अभिकथन–कारण
0/4पहले दोनों कथन जाँचो, फिर देखो कि कारण व्याख्या है या नहीं।
1
अभिकथन (A): x − 2, p(x) = x² − 4 का गुणनखंड है।
कारण (R): p(2) = 0।
समझो:
दोनों सही हैं और R, A की व्याख्या है।
2
अभिकथन (A): 5 की घात 0 है।
कारण (R): शून्य बहुपद की घात भी 0 है।
समझो:
A सही है। R गलत है। शून्य बहुपद की घात परिभाषित नहीं।
3
अभिकथन (A): (x + 1)² = x² + 2x + 1।
कारण (R): (x + 1)² = x² + 1।
समझो:
A सही है। R गलत है, क्योंकि 2x छूट गया।
4
अभिकथन (A): x + 1/x एक बहुपद है।
कारण (R): बहुपद में चर की हर घात पूर्ण संख्या होती है।
समझो:
A गलत है। R सही है। 1/x की घात −1 है।
गुणांक अभ्यास
0/4ये समीकरण इस गणित अध्याय के परिणाम नहीं हैं। यह केवल गुणांक भरने का अभ्यास है। खाली गुणांक का अर्थ 1 है।
1
यह गुणांक का अभ्यास है, बहुपद अध्याय का परिणाम नहीं। H2 + O2 से पानी बनता है। गुणांक भरकर संतुलित करो (खाली = 1)।
H2 + O2 → H2O
समझो: 2H2 + O2 → 2H2O
2
यह गुणांक का अभ्यास है, बहुपद अध्याय का परिणाम नहीं। N2 + H2 से NH3 बनता है। गुणांक भरकर संतुलित करो (खाली = 1)।
N2 + H2 → NH3
समझो: N2 + 3H2 → 2NH3
3
यह गुणांक का अभ्यास है, बहुपद अध्याय का परिणाम नहीं। C + O2 से CO2 बनता है। गुणांक भरकर संतुलित करो (खाली = 1)।
C + O2 → CO2
समझो: C + O2 → CO2
4
यह गुणांक का अभ्यास है, बहुपद अध्याय का परिणाम नहीं। H2 + Cl2 से HCl बनता है। गुणांक भरकर संतुलित करो (खाली = 1)।
H2 + Cl2 → HCl
समझो: H2 + Cl2 → 2HCl
वर्गीकरण
0/21
हर अभिव्यक्ति को बहुपद या बहुपद नहीं में रखो।
3x² + 1
x + 1/x
7
√x + 2
समझो:
3x²+1 और 7 बहुपद हैं। 1/x और √x में घात पूर्ण संख्या नहीं।
2
घात का वर्ग चुनो।
4x + 7
x² + 1
2x³ − x
0
समझो:
4x+7 रैखिक, x²+1 द्विघात, 2x³−x त्रिघात। शून्य बहुपद की घात परिभाषित नहीं।
अति लघु उत्तरीय
0/41
बहुपद की घात की परिभाषा एक पंक्ति में लिखो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
घात चर की सबसे बड़ी घात है, जब अग्र गुणांक शून्य न हो।
अपना उत्तर जाँचो:
2
p(x) = x² − 2x का शून्यक निकालो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
x(x − 2) = 0, अतः शून्यक 0 और 2 हैं।
अपना उत्तर जाँचो:
3
शेषफल प्रमेय लिखो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
घात कम से कम 1 वाले p(x) को x − a से भाग दें तो शेषफल p(a) होता है।
अपना उत्तर जाँचो:
4
(x + y)² का विस्तार लिखो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
x² + 2xy + y²।
अपना उत्तर जाँचो:
लघु उत्तरीय
0/41
p(x) = 2x³ − x² + 4 को x − 1 से भाग देने पर शेषफल निकालो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
a = 1। p(1) = 2 − 1 + 4 = 5। शेषफल 5 है।
अपना उत्तर जाँचो:
2
y² − 5y + 6 का गुणनखंडन करो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
−2 और −3 का गुणन 6 और योग −5 है। y² − 2y − 3y + 6 = y(y − 2) − 3(y − 2) = (y − 3)(y − 2)।
अपना उत्तर जाँचो:
3
105 × 106 सर्वसमिका से निकालो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
(100 + 5)(100 + 6) = 100² + (5 + 6)×100 + 5×6 = 10000 + 1100 + 30 = 11130।
अपना उत्तर जाँचो:
4
(3a + 4b + 5c)² का विस्तार बिना पूरे गुणा के लिखो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
तीन वर्ग और तीन दुगुने गुणन: 9a² + 16b² + 25c² + 2·3a·4b + 2·4b·5c + 2·5c·3a = 9a² + 16b² + 25c² + 24ab + 40bc + 30ca।
अपना उत्तर जाँचो:
दीर्घ उत्तरीय
0/31
शेषफल प्रमेय का विचार लिखो। फिर x³ + 1 को x + 1 से भाग देकर शेषफल और भागफल दोनों निकालो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
p(x) = (x − a)q(x) + r और r = p(a)। यहाँ a = −1, p(−1) = 0। लंबा भाग: x² − x + 1 भागफल है और शेषफल 0। अतः x + 1 गुणनखंड है।
अपना उत्तर जाँचो:
2
(a+b)² का चित्र चार भागों में समझाओ। फिर 49a² + 70ab + 25b² का गुणनखंड लिखो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
भुजा a+b का वर्ग: a×a का वर्ग, b×b का वर्ग और दो a×b आयत। योग a² + 2ab + b²। 49a² = (7a)², 25b² = (5b)², 70ab = 2(7a)(5b)। अतः (7a + 5b)²।
अपना उत्तर जाँचो:
3
सर्वसमिका VIII लिखो। फिर दिखाओ कि 3, −2 और −1 पर घन का योग 3xyz के बराबर है।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
x³ + y³ + z³ − 3xyz = (x + y + z)(x² + y² + z² − xy − yz − zx)। यहाँ 3 + (−2) + (−1) = 0, इसलिए x³ + y³ + z³ = 3xyz = 18। सीधे 27 − 8 − 1 = 18।
अपना उत्तर जाँचो:
BSEB मॉडल प्रश्न · अभ्यास
0/6यह मॉडल सेट अभ्यास के लिए है। किसी वर्ष की वार्षिक परीक्षा का प्रश्न नहीं है।
1
निम्न की घात 3 है —
💡 संकेत:
त्रिघात।
समझो:
2x³ − 5 की घात 3 है।
2
p(x) = x + 5 का शून्यक है —
💡 संकेत:
x + 5 = 0।
समझो:
शून्यक −5 है।
3
(x − 5)² = x² − ______ x + 25।
💡 संकेत:
10।
समझो:
2×5 = 10।
4
भाग से पहले पद घटती घात में लिखे जाते हैं।
समझो:
सही। x + 3x² − 1 को 3x² + x − 1 लिखते हैं।
5
गुणनखंड प्रमेय लिखो और x³ − 1 के लिए x − 1 जाँचो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
p(a) = 0 हो तो (x − a) गुणनखंड है, और उलटा भी। p(x) = x³ − 1 पर p(1) = 0, इसलिए x − 1 गुणनखंड है।
अपना उत्तर जाँचो:
6
(2x + 1)³ का विस्तार करो। फिर बताओ कि x + y + z = 0 की शर्त VIII को कैसे छोटा करती है।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
(2x)³ + 1³ + 3(2x)(1)(2x + 1) = 8x³ + 1 + 12x² + 6x = 8x³ + 12x² + 6x + 1। यदि x + y + z = 0 तो दायाँ पक्ष 0 है, इसलिए x³ + y³ + z³ = 3xyz।
अपना उत्तर जाँचो:
CBSE-शैली प्रश्न
0/6ये योग्यता-आधारित अभ्यास प्रश्न हैं। किसी पिछले प्रश्नपत्र की प्रति नहीं हैं।
1
एक छात्र ने (x + 3)² = x² + 9 लिखा। छूटा हुआ पद है —
💡 संकेत:
2xy।
समझो:
2·x·3 = 6x छूट गया। पूरा रूप x² + 6x + 9 है।
2
p(x) = 2x² − 3x + 1 और छात्र शून्यक के लिए p(1) निकालता है। p(1) = 0 है। निष्कर्ष —
💡 संकेत:
p(1) = 2 − 3 + 1।
समझो:
p(1) = 0, इसलिए 1 शून्यक है और x − 1 गुणनखंड है।
3
अभिकथन (A): x² + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)।
कारण (R): 2 और 3 का गुणन 6 है और योग 5 है।
समझो:
दोनों सही हैं और R, A की व्याख्या है।
4
अभिकथन (A): शून्य बहुपद की घात 0 है।
कारण (R): शून्येतर अचर बहुपद की घात 0 होती है।
समझो:
A गलत है। R सही है।
5
अमित ने x³ + 1 को x + 1 से भाग देते समय p(1) निकाल लिया। शेषफल गलत आया। वह कौन-सा मान रखे और सही शेषफल क्या है?
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
x + 1 = x − (−1), इसलिए p(−1) = −1 + 1 = 0। शेषफल 0 है। p(1) = 2 इस भाजक का शेषफल नहीं।
अपना उत्तर जाँचो:
6
एक दुकान 104 का वर्ग बिना सीधे गुणा के चाहती है। सर्वसमिका और चित्र का विचार लगाकर मान निकालो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
104 = 100 + 4। (a+b)² = a² + 2ab + b², चित्र के चार भाग। 100² + 2·100·4 + 4² = 10000 + 800 + 16 = 10816।
अपना उत्तर जाँचो:
🏛️ बोर्ड परीक्षा कॉर्नर — बिहार बोर्ड (BSEB)— CBSE
ऊपर «BSEB | CBSE» से बोर्ड बदलो। पाठ वही NCERT है।
BSEB मॉडल · अभ्यासबोर्ड टिप
इस पेज पर वार्षिक परीक्षा का सत्यापित प्रश्न नहीं है, क्योंकि स्रोत पृष्ठ नहीं जोड़ा गया। नीचे मॉडल सेट बोर्ड के पैटर्न पर अभ्यास के लिए है।
सत्यापित लेबल तभी लगेगा जब प्रश्न का स्रोत पृष्ठ उपलब्ध हो।
CBSE-शैली · योग्यता-आधारित
ये केस और अभिकथन-कारण अभ्यास हैं। इन्हें CBSE का पुराना प्रश्न मत समझो।
🔁 स्पेस्ड रिव्यू — आज के प्रश्न
गलत प्रश्न जल्दी लौटते हैं, सही वाले कुछ दिन बाद।
🧠 आपने क्या सीखा + समीकरण-पत्रक
आपने क्या सीखा
- एक चर के बहुपद में हर घातांक पूर्ण संख्या होती है। ऋणात्मक या भिन्न घातांक बहुपद नहीं बनाता।
- घात चर की सबसे बड़ी घात है। शून्येतर अचर की घात 0 है। शून्य बहुपद की घात परिभाषित नहीं।
- p(c) = 0 हो तो c शून्यक है। रैखिक बहुपद का एक ही शून्यक होता है। शून्येतर अचर का कोई शून्यक नहीं।
- x − a से भाग का शेषफल p(a) है। भाग से पहले पदों को घटती घात में लिखो।
- p(a) = 0 हो तो (x − a) गुणनखंड है। द्विघात का मध्य पद दो संख्याओं में तोड़ा जाता है।
- (a+b)² = a² + 2ab + b²। x + y + z = 0 हो तो x³ + y³ + z³ = 3xyz।
| क्या | याद रखने लायक |
|---|---|
| घात | highest power; 0 if the constant is not zero |
| शून्यक | p(c) = 0 |
| शेषफल | division by x − a leaves p(a) |
| गुणनखंड | p(a) = 0 means (x − a) is a factor |
| (a+b)² | a² + 2ab + b² |
| तीन घन | x + y + z = 0 implies x³ + y³ + z³ = 3xyz |
नोट्स मूल लेखन हैं। पाठ्यपुस्तक केवल क्रम और क्रियाकलाप-संख्या के लिए संदर्भ है। «सत्यापित» केवल स्रोत पृष्ठ वाले प्रश्न पर लिखा जाएगा।