1
व्यास बराबर होता है —
💡 संकेत:
केंद्र से दोनों ओर।
समझो:
2 × त्रिज्या।
कक्षा 9 · गणित · अध्याय 10 · बिहार बोर्ड (BSEB)CBSE · NCERT 2026-27
वृत्त
Circles
इस पेज को ऐसे पढ़ो:
1. पढ़ो — पद · अभ्यास 10.1 · केंद्र पर कोण · अभ्यास 10.2 · लंब · तीन बिंदु · अभ्यास 10.3 · दूरी · अभ्यास 10.4 · चाप · चक्रीय · अभ्यास 10.5 · अभ्यास 10.6, चित्र, हल उदाहरण, बोर्ड टिप
2. जाँचो — हर पाठ के अपने प्रश्न; संख्या पाठ के हिसाब से
3. महारत ★ — उस पाठ के सब सही। गलत वाले «दोबारा करो»
4. याद रखने वाला चित्र एक ही चाप पर केंद्र का कोण और परिधि का कोण दिखाता है, और केंद्र का कोण दुगुना है।
यह क्रम बिहार की 15-अध्याय वाली गणित की किताब का है, और गणित मंजरी का अध्याय क्रम अलग है। प्रगति इसी ब्राउज़र में सेव रहती है।
🏅 आपकी उपलब्धियाँ — 0/8 बैज
🔥 0दिन की स्ट्रीक · सबसे लंबी 0
⭐ 0कुल XP · आज 0
🎓 1लेवल
अगला लेवल: 150 XP बाकीसही उत्तर +10 · संकेत के बाद +5 · रिव्यू +6 · बैज +25
पिछले 7 दिन:
सब कुछ इसी फ़ोन/ब्राउज़र में सेव होता है — कोई लॉगिन नहीं।
- 1 वृत्त के पद
- 2 अभ्यास 10.1 — रिक्त पद
- 3 केंद्र पर बराबर कोण — अभ्यास 10.2
- 4 लंब, तीन बिंदु और अभ्यास 10.3
- 5 केंद्र से दूरी — अभ्यास 10.4
- 6 चाप का कोण और अर्धवृत्त
- 7 चक्रीय चतुर्भुज — अभ्यास 10.5
- 8 वैकल्पिक अभ्यास 10.6
- अध्याय-विजेता — सभी पाठ महारत ★
🎬 Shorts
इस अध्याय का कोई Short अभी चैनल पर नहीं है, इसलिए दस खाली कार्ड नहीं दिखाए गए। नोट्स, चित्र और जाँच-प्रश्न पूरे हैं।
📄 PDF डाउनलोड — नोट्स + उत्तर-कुंजी
वृत्त के पद
Terms of a circle · पाठ्यपुस्तक 10.2 · त्रिज्या · जीवा · व्यास
केंद्र से समान दूरी वाले बिंदुनोट्स
वृत्त उन बिंदुओं का रास्ता है जो केंद्र से एक निश्चित दूरी पर हैं। वह दूरी त्रिज्या है। दो बिंदुओं को जोड़ने वाला रेखाखंड जीवा है। व्यास वह जीवा है जो केंद्र से गुजरती है, और व्यास = 2 × त्रिज्या।
चाप वृत्त का हिस्सा है। छोटा चाप लघु, बड़ा दीर्घ। चाप और जीवा के बीच का भाग वृत्तखंड है। चाप और दो त्रिज्याओं के बीच का भाग त्रिज्यखंड है। केंद्र वृत्त के अंदर है। वृत्त के बाहर के बिंदु की दूरी त्रिज्या से बड़ी होती है।
हल किया हुआ उदाहरणउदाहरण
प्रश्न: त्रिज्या 7 cm है। व्यास निकालो।
सूत्र: व्यास = 2 × त्रिज्या।
मान: 2 × 7 cm = 14 cm। इकाई सेंटीमीटर है।
10-सेकंड रिवीजन
- त्रिज्या केंद्र से वृत्त तक
- व्यास = 2 × त्रिज्या
- वृत्तखंड और त्रिज्यखंड अलग हैं
बोर्ड टिप · BSEBबोर्ड टिप
व्यास को त्रिज्या लिखना आम गलती है। 7 cm त्रिज्या हो तो व्यास 14 cm है।
बोर्ड टिप · CBSEबोर्ड टिप
जीवा और चाप एक नहीं हैं। जीवा सीधी है। चाप वृत्त पर मुड़ा होता है।
समझ जाँचोसब सही = महारत ★
2
सबसे लंबी जीवा व्यास होती है।
समझो:
सही — वह केंद्र से गुजरती है।
3
त्रिज्या 7 cm हो तो व्यास ______ cm है।
💡 संकेत:
2 × 7।
समझो:
14 cm।
4
चाप और जीवा के बीच का भाग कहलाता है —
💡 संकेत:
जीवा काटती है।
समझो:
वृत्तखंड। त्रिज्यखंड दो त्रिज्याओं के बीच होता है।
5
त्रिज्या, जीवा और व्यास एक-एक पंक्ति में लिखो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
त्रिज्या केंद्र से वृत्त तक है। जीवा दो बिंदुओं को जोड़ती है। व्यास केंद्र से जाने वाली जीवा है और त्रिज्या की दुगुनी है।
अपना उत्तर जाँचो:
अभ्यास 10.1 — रिक्त पद
Exercise 10.1 — the missing terms · पाठ्यपुस्तक 10.2 · अभ्यास 10.1
नाम दूरी और जगह से तय होता हैनोट्स
अभ्यास 10.1 रिक्त स्थानों में केंद्र, त्रिज्या, जीवा, व्यास, चाप, त्रिज्यखंड और वृत्तखंड भरवाता है। केंद्र से दूरी त्रिज्या के बराबर हो तो बिंदु वृत्त पर है। दूरी कम हो तो अंदर, अधिक हो तो बाहर।
एक वृत्त और उसके भीतर का भाग चक्र कहलाता है, पर प्रश्न वृत्त माँगे तो केवल परिधि की रेखा मत छोड़ देना। व्यास दो त्रिज्याएँ जोड़कर बनता है। इकाई cm रखो।
अभ्यास 10.1 — हर रिक्त पर एक कारणक्रियाकलाप
हर रिक्त के साथ एक छोटा कारण लिखो। व्यास हो तो «केंद्र से गुजरती जीवा»। त्रिज्यखंड हो तो «चाप और दो त्रिज्याएँ»। वृत्तखंड हो तो «चाप और जीवा»। संख्या हो तो 2 × त्रिज्या दिखाओ। यह अभ्यास प्रमेयों से पहले है।
हल किया हुआ उदाहरणउदाहरण
प्रश्न: केंद्र से बिंदु की दूरी 5 cm है और त्रिज्या 5 cm है। बिंदु कहाँ है?
नियम: दूरी = त्रिज्या हो तो बिंदु वृत्त पर है।
मान: 5 cm = 5 cm, इसलिए बिंदु वृत्त पर है।
10-सेकंड रिवीजन
- दूरी = त्रिज्या, बिंदु वृत्त पर
- त्रिज्यखंड और वृत्तखंड अलग नाम
- अभ्यास 10.1 प्रमेय से पहले
बोर्ड टिप · BSEBबोर्ड टिप
अंदर और बाहर पलटना आम है। दूरी छोटी हो तो अंदर।
बोर्ड टिप · CBSEबोर्ड टिप
रिक्त में केवल शब्द मत लिखना। व्यास पर «2 × त्रिज्या» भी जोड़ो जब संख्या दी हो।
समझ जाँचोसब सही = महारत ★
1
केंद्र से दूरी त्रिज्या से कम हो तो बिंदु है —
💡 संकेत:
तुलना त्रिज्या से।
समझो:
अंदर।
2
त्रिज्यखंड चाप और जीवा के बीच का भाग है।
समझो:
गलत — वह वृत्तखंड है। त्रिज्यखंड चाप और दो त्रिज्याओं के बीच है।
3
त्रिज्या 9 cm हो तो व्यास ______ cm है।
💡 संकेत:
2 × 9।
समझो:
18 cm।
4
दूरी त्रिज्या के बराबर हो तो बिंदु —
💡 संकेत:
परिभाषा।
समझो:
वृत्त पर।
5
त्रिज्या 4 cm हो तो व्यास लिखो और बताओ बिंदु 6 cm दूर कहाँ है।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
व्यास = 8 cm। 6 cm > 4 cm, इसलिए बिंदु वृत्त के बाहर है।
अपना उत्तर जाँचो:
6
अभ्यास 10.1, प्रमेय 10.1 से पहले आता है।
समझो:
सही — पहले पद, फिर केंद्र पर कोण।
केंद्र पर बराबर कोण — अभ्यास 10.2
Equal angles at the centre — Exercise 10.2 · पाठ्यपुस्तक 10.3 · प्रमेय 10.1 · प्रमेय 10.2 · अभ्यास 10.2
बराबर जीवा, बराबर केंद्र-कोणनोट्स
प्रमेय 10.1: एक वृत्त की बराबर जीवाएँ केंद्र पर बराबर कोण बनाती हैं। प्रमेय 10.2 विलोम है: केंद्र पर बराबर कोण हों तो जीवाएँ बराबर होती हैं। प्रमाण दो त्रिज्याओं वाले त्रिभुजों की सर्वांगसमता से है।
सर्वांगसम वृत्तों पर भी यही बात चलती है, क्योंकि त्रिज्याएँ बराबर होती हैं। जीवा का कोण परिधि वाला कोण अभी नहीं। वह प्रमेय 10.8 में आएगा।
अभ्यास 10.2 — जीवा या कोणक्रियाकलाप
अभ्यास 10.2 बराबर जीवाओं से केंद्र का कोण, या बराबर कोणों से जीवा माँगता है। पहले दो त्रिज्याएँ खींचो। फिर SAS या SSS से त्रिभुज सर्वांगसम सिद्ध करो। अंत में प्रमेय 10.1 या 10.2 का नंबर लिखो। सर्वांगसम वृत्त हों तो त्रिज्या बराबर होने का एक वाक्य जोड़ो।
हल किया हुआ उदाहरणउदाहरण
प्रश्न: AB = CD और दोनों एक ही वृत्त की जीवाएँ हैं। केंद्र O पर ∠AOB = 80°। ∠COD निकालो।
प्रमेय: 10.1, बराबर जीवाएँ बराबर कोण बनाती हैं।
मान: ∠COD = 80°। इकाई डिग्री है।
10-सेकंड रिवीजन
- प्रमेय 10.1: बराबर जीवा, बराबर कोण
- प्रमेय 10.2 विलोम है
- सर्वांगसम वृत्तों पर भी यही
बोर्ड टिप · BSEBबोर्ड टिप
80° को आधा करके 40° मत लिखना। यह केंद्र का कोण है, परिधि का नहीं।
बोर्ड टिप · CBSEबोर्ड टिप
विलोम में जीवा बराबर लिखो, कोण नहीं। प्रश्न देखो कि दिया कोण है या जीवा।
समझ जाँचोसब सही = महारत ★
1
बराबर जीवाएँ केंद्र पर बनाती हैं —
💡 संकेत:
प्रमेय 10.1।
समझो:
बराबर कोण।
2
प्रमेय 10.2, प्रमेय 10.1 का विलोम है।
समझो:
सही — बराबर केंद्र-कोण से जीवाएँ बराबर होती हैं।
3
∠AOB = 80° और जीवाएँ बराबर हों तो ∠COD ______ डिग्री है।
💡 संकेत:
वही माप।
समझो:
80°।
4
केंद्र पर दो कोण 50° और 50° हैं। जीवाओं के बारे में क्या कहोगे? प्रमेय नंबर दो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
जीवाएँ बराबर हैं। प्रमेय 10.2।
अपना उत्तर जाँचो:
लंब, तीन बिंदु और अभ्यास 10.3
The perpendicular, three points, and Exercise 10.3 · पाठ्यपुस्तक 10.4–10.5 · प्रमेय 10.3 · 10.4 · 10.5 · अभ्यास 10.3
लंब आधा करता है, तीन बिंदु एक वृत्त देते हैंनोट्स
प्रमेय 10.3: केंद्र से जीवा पर लंब जीवा को समद्विभाजित करता है। प्रमेय 10.4 विलोम है: केंद्र से मध्य-बिंदु तक की रेखा जीवा पर लंब होती है। दोनों समकोण त्रिभुज सर्वांगसम बनते हैं।
प्रमेय 10.5: तीन असंरेख बिंदुओं से एक और केवल एक वृत्त गुजरता है। दो भुजाओं के लंब समद्विभाजक केंद्र पर मिलते हैं। तीन बिंदु एक रेखा पर हों तो ऐसा वृत्त नहीं बनता।
मोड़ने की जाँच, फिर अभ्यास 10.3क्रियाकलाप
पुस्तक ट्रेसिंग पेपर पर वृत्त और जीवा खींचकर केंद्र से गुजरती मोड़ पर जीवा के टुकड़े मिलवाती है। यह «Activity» है, नंबर 10.1 नहीं। नाप प्रमेय 10.3 की जगह नहीं लेती। अभ्यास 10.3 दो वृत्तों के उभय बिंदु और तीन बिंदुओं वाला वृत्त पूछता है। असंरेख तीन बिंदुओं पर एक ही वृत्त लिखो।
हल किया हुआ उदाहरणउदाहरण
प्रश्न: केंद्र से जीवा पर लंब उसे M पर मिलता है। जीवा 10 cm है। AM निकालो।
प्रमेय: 10.3, लंब समद्विभाजित करता है। AM = जीवा / 2।
मान: AM = 10 cm / 2 = 5 cm।
10-सेकंड रिवीजन
- प्रमेय 10.3 लंब आधा करता है
- प्रमेय 10.4 विलोम है
- प्रमेय 10.5: तीन असंरेख बिंदु, एक वृत्त
बोर्ड टिप · BSEBबोर्ड टिप
10 cm पूरी जीवा है। लंब के बाद आधा 5 cm लिखो, 10 cm नहीं।
बोर्ड टिप · CBSEबोर्ड टिप
तीन संरेख बिंदुओं पर वृत्त बनाने की कोशिश गलत है। पहले जाँचो कि वे एक रेखा पर तो नहीं।
समझ जाँचोसब सही = महारत ★
1
केंद्र से लंब जीवा को —
💡 संकेत:
प्रमेय 10.3।
समझो:
समद्विभाजित करता है।
2
तीन असंरेख बिंदुओं से अनंत वृत्त गुजरते हैं।
समझो:
गलत — प्रमेय 10.5 एक और केवल एक वृत्त कहती है।
3
जीवा 10 cm हो और लंब बीच में मिले तो आधा ______ cm है।
💡 संकेत:
10 / 2।
समझो:
5 cm।
4
केंद्र से मध्य-बिंदु तक की रेखा जीवा पर होती है —
💡 संकेत:
प्रमेय 10.4।
समझो:
लंब।
5
प्रमेय 10.3 और 10.5 एक-एक पंक्ति में लिखो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
केंद्र से लंब जीवा को समद्विभाजित करता है। तीन असंरेख बिंदुओं से एक ही वृत्त गुजरता है।
अपना उत्तर जाँचो:
केंद्र से दूरी — अभ्यास 10.4
Distance from the centre — Exercise 10.4 · पाठ्यपुस्तक 10.6 · प्रमेय 10.6 · प्रमेय 10.7 · अभ्यास 10.4
दूरी लंब की लंबाई हैनोट्स
प्रमेय 10.6: बराबर जीवाएँ केंद्र से समान दूरी पर होती हैं। प्रमेय 10.7 विलोम है। दूरी केंद्र से जीवा पर लंब की लंबाई है। आधी जीवा, यह लंब, और त्रिज्या समकोण त्रिभुज बनाते हैं।
सूत्र: (दूरी)² = (त्रिज्या)² − (आधी जीवा)²। त्रिज्या 5 cm और जीवा 8 cm हो तो आधी जीवा 4 cm। पुस्तक की दूसरी जाँच भी «Activity» है: बराबर जीवाओं पर लंब नापना। उसे 10.4 नंबर मत दो। अभ्यास 10.4 बाद में है।
नाप की जाँच, फिर अभ्यास 10.4क्रियाकलाप
पुस्तक बराबर जीवाओं पर केंद्र से लंब खींचकर दूरी मिलवाती है। यह बिना नंबर की Activity है। अभ्यास 10.4 में दो वृत्त, त्रिज्या 5 cm और 3 cm, केंद्रों के बीच 4 cm, उभयनिष्ठ जीवा पूछी जाती है। आधी जीवा समकोण त्रिभुज से निकालो, फिर दुगुना करो।
हल किया हुआ उदाहरणउदाहरण
प्रश्न: त्रिज्या 5 cm और 3 cm वाले वृत्त दो बिंदुओं पर मिलते हैं। केंद्रों के बीच 4 cm है। उभयनिष्ठ जीवा निकालो।
सूत्र: आधी जीवा की वर्ग = त्रिज्या की वर्ग − केंद्र से लंब की वर्ग। M लंब का पाद है। OM = x, और दूसरा टुकड़ा 4 − x।
मान: 25 − x² = 9 − (4 − x)²। 25 − x² = 9 − 16 + 8x − x²। 25 = −7 + 8x। x = 4 cm। आधी जीवा = √(25 − 16) = √9 = 3 cm। पूरी जीवा = 2 × 3 cm = 6 cm।
10-सेकंड रिवीजन
- प्रमेय 10.6: बराबर जीवा, समान दूरी
- दूरी² = त्रिज्या² − (आधी जीवा)²
- 5 cm, 3 cm, केंद्र 4 cm: जीवा 6 cm
बोर्ड टिप · BSEBबोर्ड टिप
√9 = 3 cm आधी जीवा है। पूरी जीवा 6 cm है। 3 cm पर रुकना आधा उत्तर है।
बोर्ड टिप · CBSEबोर्ड टिप
x = 4 cm का अर्थ है छोटा केंद्र जीवा के मध्य पर है। यह 3-4-5 की संख्या है। इकाई cm लिखो।
समझ जाँचोसब सही = महारत ★
1
बराबर जीवाएँ केंद्र से होती हैं —
💡 संकेत:
प्रमेय 10.6।
समझो:
समान दूरी पर।
2
प्रमेय 10.7 कहती है कि समान दूरी वाली जीवाएँ बराबर होती हैं।
समझो:
सही — यह 10.6 का विलोम है।
3
त्रिज्या 5 cm और आधी जीवा 4 cm पर दूरी ______ cm है।
💡 संकेत:
√(25 − 16)।
समझो:
3 cm।
4
5 cm, 3 cm और केंद्र 4 cm पर उभयनिष्ठ जीवा है —
💡 संकेत:
आधी 3, पूरी 6।
समझो:
6 cm।
5
त्रिज्या 13 cm और जीवा 10 cm। केंद्र से दूरी निकालो। सूत्र दिखाओ।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
आधी जीवा = 5 cm। दूरी = √(13² − 5²) = √(169 − 25) = √144 = 12 cm।
अपना उत्तर जाँचो:
6
उभयनिष्ठ जीवा 3 cm है क्योंकि √9 = 3।
समझो:
गलत — 3 cm आधी जीवा है। पूरी जीवा 6 cm है।
चाप का कोण और अर्धवृत्त
The angle of an arc and a semicircle · पाठ्यपुस्तक 10.7 · प्रमेय 10.8 · प्रमेय 10.9
केंद्र पर दुगुना, अर्धवृत्त में समकोणनोट्स
प्रमेय 10.8: चाप केंद्र पर जो कोण बनाती है वह परिधि के शेष भाग पर बने कोण का दुगुना होता है। इसलिए परिधि का कोण = केंद्र का कोण / 2।
अर्धवृत्त में केंद्र का कोण 180° है। परिधि पर कोण = 180° / 2 = 90°। एक ही वृत्तखंड के कोण बराबर होते हैं। यह प्रमेय 10.9 है। बड़ा चाप हो तो केंद्र पर प्रतिवर्ती कोण लेना पड़ सकता है।
हल किया हुआ उदाहरणउदाहरण
प्रश्न: एक ही चाप केंद्र पर 70° बनाती है। परिधि के शेष भाग पर कोण निकालो। अर्धवृत्त की एक पंक्ति भी लिखो।
सूत्र: परिधि का कोण = केंद्र का कोण / 2। अर्धवृत्त में 180° / 2।
मान: 70° / 2 = 35°। अर्धवृत्त में 180° / 2 = 90°। इकाई डिग्री है।
10-सेकंड रिवीजन
- प्रमेय 10.8: केंद्र = 2 × परिधि
- अर्धवृत्त में 90°
- प्रमेय 10.9: एक खंड के कोण बराबर
बोर्ड टिप · BSEBबोर्ड टिप
70° को दुगुना करके 140° मत लिखना जब प्रश्न परिधि का कोण माँगे। दिशा देखो।
बोर्ड टिप · CBSEबोर्ड टिप
अर्धवृत्त का 90° प्रमेय 10.8 का विशेष मामला है। अलग से याद रखो, पर कारण वही दुगुना नियम है।
समझ जाँचोसब सही = महारत ★
1
केंद्र पर 70° हो तो परिधि पर कोण है —
💡 संकेत:
आधा।
समझो:
35°।
2
अर्धवृत्त में परिधि पर कोण 90° होता है।
समझो:
सही — 180° / 2 = 90°।
3
केंद्र पर 70° का आधा ______ डिग्री है।
💡 संकेत:
70 / 2।
समझो:
35°।
4
एक ही वृत्तखंड में एक कोण 42° है। दूसरा कोण और प्रमेय लिखो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
दूसरा भी 42° है। प्रमेय 10.9।
अपना उत्तर जाँचो:
चक्रीय चतुर्भुज — अभ्यास 10.5
Cyclic quadrilaterals — Exercise 10.5 · पाठ्यपुस्तक 10.8 · प्रमेय 10.11 · प्रमेय 10.12 · अभ्यास 10.5
सम्मुख कोण मिलकर 180°नोट्स
चार बिंदु एक वृत्त पर हों तो चतुर्भुज चक्रीय है। प्रमेय 10.10 कहती है कि एक रेखाखंड एक ही ओर दो बिंदुओं पर बराबर कोण बनाए तो चारों बिंदु एक वृत्त पर हैं। प्रमेय 10.11: चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोणों का योग 180° होता है।
प्रमेय 10.12 विलोम है। एक जोड़ा 180° काफी है। बाह्य कोण, भीतर के सम्मुख अंतःकोण के बराबर होता है, क्योंकि वह रैखिक युग्म से दूसरे सम्मुख कोण को बदल देता है। अभ्यास 10.5 यही कोण निकालता है।
अभ्यास 10.5 — 180° में से घटाओक्रियाकलाप
अभ्यास 10.5 में केंद्र का कोण, एक ही खंड का कोण, और चक्रीय चतुर्भुज के कोण साथ आते हैं। पहले देखो कोण केंद्र पर है या परिधि पर। चक्रीय हो तो सम्मुख कोण = 180° − दिया कोण। व्यास हो तो 90° अलग से जाँचो। वैकल्पिक 10.6 अभी नहीं।
हल किया हुआ उदाहरणउदाहरण
प्रश्न: चक्रीय ABCD में ∠A = 70°। ∠C निकालो।
सूत्र: सम्मुख कोणों का योग 180°। प्रमेय 10.11। ∠C = 180° − ∠A।
मान: ∠C = 180° − 70° = 110°। इकाई डिग्री है।
10-सेकंड रिवीजन
- प्रमेय 10.11: सम्मुख योग 180°
- प्रमेय 10.12 विलोम है
- 70° का सम्मुख 110°
बोर्ड टिप · BSEBबोर्ड टिप
70° का बगल वाला कोण सम्मुख नहीं होता। सामने वाला 110° है।
बोर्ड टिप · CBSEबोर्ड टिप
एक जोड़ा 180° हो तो 10.12 से चक्रीय लिखो। चारों कोण नापना जरूरी नहीं।
समझ जाँचोसब सही = महारत ★
1
चक्रीय चतुर्भुज में ∠A = 70° हो तो ∠C है —
💡 संकेत:
180 − 70।
समझो:
110°।
2
सम्मुख कोणों का एक जोड़ा 180° हो तो चतुर्भुज चक्रीय होता है।
समझो:
सही — प्रमेय 10.12।
3
70° का सम्मुख कोण ______ डिग्री है।
💡 संकेत:
180 − 70।
समझो:
110°।
4
एक ही वृत्तखंड के कोण होते हैं —
💡 संकेत:
प्रमेय 10.9।
समझो:
बराबर।
5
∠A = 85° चक्रीय चतुर्भुज में है। ∠C निकालो और प्रमेय लिखो। बाह्य कोण की एक पंक्ति भी दो यदि भुजा A पर बढ़ाई जाए।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
∠C = 180° − 85° = 95°, प्रमेय 10.11। A पर बना बाह्य कोण सम्मुख अंतःकोण ∠C के बराबर, 95°, होता है।
अपना उत्तर जाँचो:
वैकल्पिक अभ्यास 10.6
Optional Exercise 10.6 · पाठ्यपुस्तक · अभ्यास 10.6 वैकल्पिक
नंबर 10.6 रहता हैनोट्स
पुस्तक अभ्यास 10.6 को वैकल्पिक कहती है। नंबर नहीं बदलता और अभ्यास 10.5 के बाद ही आता है। प्रश्न केंद्रों की रेखा, प्रतिच्छेदी वृत्त, और कोणों की बराबरी पर हैं।
केंद्रों को मिलाने वाली रेखा उभयनिष्ठ जीवा को समकोण पर समद्विभाजित करती है। यह 10.3 और 10.4 की भाषा है। दो वृत्त कटें तो केंद्रों की रेखा दोनों प्रतिच्छेद बिंदुओं पर बराबर कोण बनाती है। नया प्रमेय नंबर मत गढ़ना। पुराने 10.1 से 10.12 काफी हैं।
अभ्यास 10.6 — पुरानी प्रमेय सेक्रियाकलाप
हर प्रश्न में पहले बताओ कौन-सी पुरानी प्रमेय लगती है। उभयनिष्ठ जीवा हो तो लंब समद्विभाजन। बराबर कोण हों तो 10.1 या 10.9। चक्रीय कोण हो तो 10.11। वैकल्पिक का अर्थ छोड़ना नहीं। नंबर 10.6 लिखो।
हल किया हुआ उदाहरणउदाहरण
प्रश्न: दो वृत्त A और B पर मिलते हैं। केंद्र O और O′ हैं। उभयनिष्ठ जीवा AB = 6 cm। OM, जहाँ M मध्य-बिंदु है, जीवा से कौन-सा कोण बनाता है?
नियम: केंद्रों की रेखा उभयनिष्ठ जीवा को समकोण पर काटती है। प्रमेय 10.4 की भाषा।
मान: कोण = 90°। आधी जीवा = 6 cm / 2 = 3 cm। इकाई डिग्री और cm हैं।
10-सेकंड रिवीजन
- अभ्यास 10.6 वैकल्पिक है, नंबर वही है
- उभयनिष्ठ जीवा पर 90°
- पुरानी प्रमेय काफी हैं
बोर्ड टिप · BSEBबोर्ड टिप
10.6 को 10.5 मत लिखना। क्रम 10.5 के बाद 10.6 है।
बोर्ड टिप · CBSEबोर्ड टिप
6 cm की आधी 3 cm है और कोण 90° है। केवल एक संख्या लिखना दूसरा भाग छोड़ देता है।
समझ जाँचोसब सही = महारत ★
1
अभ्यास 10.6 पुस्तक में है —
💡 संकेत:
अंत में।
समझो:
वैकल्पिक 10.6।
2
केंद्रों की रेखा उभयनिष्ठ जीवा को समकोण पर काटती है।
समझो:
सही — लंब समद्विभाजन।
3
उभयनिष्ठ जीवा 6 cm हो तो आधी ______ cm है।
💡 संकेत:
6 / 2।
समझो:
3 cm।
4
इस अभ्यास में नया प्रमेय नंबर चाहिए —
💡 संकेत:
पुरानी प्रमेय।
समझो:
नहीं।
5
अभ्यास 10.1 से 10.6 का क्रम एक पंक्ति में लिखो। कौन-सा वैकल्पिक है?
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
10.1, 10.2, 10.3, 10.4, 10.5, फिर 10.6। वैकल्पिक 10.6 है।
अपना उत्तर जाँचो:
6
अभ्यास 10.6, अभ्यास 10.4 से पहले रखा गया है।
समझो:
गलत — 10.4 दूरी पर है। 10.6 अंत में वैकल्पिक है।
❓ पूरा प्रश्न बैंक — उत्तर व व्याख्या सहित — 66 प्रश्न
प्रकार चुनो। पाठों के 41 जाँच-प्रश्न अलग हैं — हर पाठ में जितने उसके विषय माँगते हैं। सब सही होने पर महारत ★ मिलती है।
BSEB मॉडलअभ्यास · वार्षिक नहीं60 किए · 0 सहीबहुविकल्पीMCQ130 किए · 0 सहीसही / गलतसही-गलत80 किए · 0 सहीरिक्त स्थानरिक्त स्थान80 किए · 0 सहीमिलान करोमिलान20 किए · 0 सहीअभिकथन-कारणअभिकथन-कारण50 किए · 0 सहीसमीकरण संतुलनसंतुलन40 किए · 0 सहीअभिक्रिया पहचानपहचान20 किए · 0 सहीलघु / दीर्घ उत्तरीयअति लघु, लघु, दीर्घ120 किए · 0 सहीCBSE-शैलीPYQ नहीं60 किए · 0 सही
कोई भी प्रश्न «सत्यापित PYQ» नहीं है। BSEB वाला सेट मॉडल अभ्यास है। CBSE वाले प्रश्न CBSE-शैली हैं, किसी वर्ष के पेपर की प्रति नहीं।
बहुविकल्पी
0/13एक विकल्प चुनो। गलत पर संकेत मिलेगा।
1
व्यास बराबर है —
💡 संकेत:
केंद्र से दोनों ओर।
समझो:
2 × त्रिज्या।
2
सबसे लंबी जीवा है —
💡 संकेत:
केंद्र से।
समझो:
व्यास।
3
बराबर जीवाएँ केंद्र पर बनाती हैं —
💡 संकेत:
प्रमेय 10.1।
समझो:
बराबर कोण।
4
केंद्र से लंब जीवा को —
💡 संकेत:
प्रमेय 10.3।
समझो:
समद्विभाजित करता है।
5
तीन असंरेख बिंदुओं से वृत्त गुजरते हैं —
💡 संकेत:
प्रमेय 10.5।
समझो:
एक।
6
त्रिज्या 5 cm और आधी जीवा 4 cm पर दूरी है —
💡 संकेत:
√(25 − 16)।
समझो:
3 cm।
7
उभयनिष्ठ जीवा 5 cm, 3 cm, केंद्र 4 cm पर है —
💡 संकेत:
पूरी जीवा।
समझो:
6 cm।
8
केंद्र पर 80° हो तो परिधि पर कोण है —
💡 संकेत:
आधा।
समझो:
40°।
9
अर्धवृत्त में कोण है —
💡 संकेत:
180 / 2।
समझो:
90°।
10
चक्रीय चतुर्भुज में 70° का सम्मुख है —
💡 संकेत:
180 − 70।
समझो:
110°।
11
एक ही वृत्तखंड के कोण —
💡 संकेत:
प्रमेय 10.9।
समझो:
बराबर।
12
अभ्यास 10.6 है —
💡 संकेत:
अंत।
समझो:
वैकल्पिक।
13
त्रिज्या 7 cm पर व्यास है —
💡 संकेत:
2 × 7।
समझो:
14 cm।
सही / गलत
0/81
व्यास त्रिज्या का आधा होता है।
समझो:
गलत — व्यास दुगुना होता है।
2
प्रमेय 10.1 बराबर जीवाओं के केंद्र-कोण बराबर कहती है।
समझो:
सही।
3
केंद्र से लंब जीवा को समद्विभाजित नहीं करता।
समझो:
गलत — प्रमेय 10.3 यही कहती है कि समद्विभाजित करता है।
4
तीन संरेख बिंदुओं से भी एक वृत्त अवश्य गुजरता है।
समझो:
गलत — बिंदु असंरेख होने चाहिए।
5
बराबर जीवाएँ केंद्र से समान दूरी पर होती हैं।
समझो:
सही — प्रमेय 10.6।
6
अर्धवृत्त में कोण 60° होता है।
समझो:
गलत — 90°।
7
चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोण बराबर होते हैं।
समझो:
गलत — उनका योग 180° होता है।
8
अभ्यास 10.6 वैकल्पिक है और नंबर 10.6 रहता है।
समझो:
सही।
रिक्त स्थान
0/81
त्रिज्या 7 cm पर व्यास ______ cm है।
💡 संकेत:
2 × 7।
समझो:
14।
2
जीवा 10 cm पर लंब के बाद आधा ______ cm है।
💡 संकेत:
10 / 2।
समझो:
5।
3
√(25 − 16) = ______ ।
💡 संकेत:
√9।
समझो:
3।
4
उभयनिष्ठ पूरी जीवा ______ cm है जब आधी 3 cm हो।
💡 संकेत:
दुगुना।
समझो:
6।
5
केंद्र पर 70° का परिधि-कोण ______ डिग्री है।
💡 संकेत:
आधा।
समझो:
35।
6
अर्धवृत्त में कोण ______ डिग्री है।
💡 संकेत:
180 / 2।
समझो:
90।
7
चक्रीय चतुर्भुज में 70° का सम्मुख ______ डिग्री है।
💡 संकेत:
180 − 70।
समझो:
110।
8
केंद्र पर बराबर कोण वाली प्रमेय का विलोम नंबर ______ है।
💡 संकेत:
10.1 सीधा नियम।
समझो:
10.2।
मिलान करो
0/21
प्रमेय को कथन से मिलाओ।
स्तंभ B: A. सम्मुख कोण 180° · B. बराबर जीवा, बराबर केंद्र-कोण · C. लंब जीवा आधी · D. केंद्र का कोण दुगुना
1. 10.1
2. 10.3
3. 10.8
4. 10.11
समझो:
10.1 जीवा, 10.3 लंब, 10.8 दुगुना कोण, 10.11 चक्रीय।
2
संख्या को परिणाम से मिलाओ।
स्तंभ B: A. 6 cm · B. 2 × त्रिज्या · C. 90° · D. 3 cm
1. व्यास
2. अर्धवृत्त
3. दूरी 5 और 4
4. उभयनिष्ठ जीवा
समझो:
व्यास दुगुना, अर्धवृत्त 90°, दूरी 3 cm, पूरी जीवा 6 cm।
अभिकथन–कारण
0/5पहले दोनों कथन जाँचो, फिर देखो कि कारण व्याख्या है या नहीं।
1
अभिकथन (A): व्यास त्रिज्या का दुगुना होता है।
कारण (R): व्यास केंद्र से दोनों ओर एक-एक त्रिज्या जोड़ता है।
समझो:
दोनों सही हैं और R कारण है।
2
अभिकथन (A): बराबर जीवाएँ केंद्र पर बराबर कोण बनाती हैं।
कारण (R): चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोणों का योग 180° होता है।
समझो:
दोनों सही हैं, पर R जीवा वाले कथन की व्याख्या नहीं है।
3
अभिकथन (A): अर्धवृत्त में कोण 90° होता है।
कारण (R): अर्धवृत्त में कोण 60° होता है।
समझो:
A सही है। R गलत है।
4
अभिकथन (A): चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोण बराबर होते हैं।
कारण (R): उनका योग 180° होता है।
समझो:
A गलत है। R सही है, प्रमेय 10.11।
5
अभिकथन (A): केंद्र का कोण परिधि के कोण का दुगुना होता है।
कारण (R): एक ही चाप केंद्र पर बड़ा कोण और शेष परिधि पर उसका आधा बनाती है।
समझो:
दोनों सही हैं और R प्रमेय 10.8 की व्याख्या है।
गुणांक अभ्यास
0/4ये इस गणित अध्याय के परिणाम नहीं हैं। केवल H2 + O2 → H2O का गुणांक अभ्यास है।
1
यह गुणांक अभ्यास है, इस गणित अध्याय का परिणाम नहीं। H2 + O2 से H2O के गुणांक भरो (खाली = 1)। यह वृत्त का परिणाम नहीं है।
H2 + O2 → H2O
समझो: 2H2 + O2 → 2H2O
2
यह गुणांक अभ्यास है, इस गणित अध्याय का परिणाम नहीं। H2 + O2 से H2O के गुणांक भरो (खाली = 1)। हाइड्रोजन की गिनती मिलाओ।
H2 + O2 → H2O
समझो: 2H2 + O2 → 2H2O
3
यह गुणांक अभ्यास है, इस गणित अध्याय का परिणाम नहीं। H2 + O2 से H2O के गुणांक भरो (खाली = 1)। ऑक्सीजन की गिनती मिलाओ।
H2 + O2 → H2O
समझो: 2H2 + O2 → 2H2O
4
यह गुणांक अभ्यास है, इस गणित अध्याय का परिणाम नहीं। H2 + O2 से H2O के गुणांक भरो (खाली = 1)। खाली गुणांक 1 है।
H2 + O2 → H2O
समझो: 2H2 + O2 → 2H2O
वर्गीकरण
0/21
हर माप को सही जगह रखो।
व्यास और त्रिज्या
केंद्र और परिधि का कोण
चक्रीय सम्मुख कोण
अर्धवृत्त का कोण 90°
समझो:
व्यास, केंद्र-कोण और अर्धवृत्त दुगुने नियम से जुड़े हैं। चक्रीय कोण 180° देते हैं।
2
हर कथन को प्रमेय पर रखो।
बराबर जीवा, बराबर कोण
केंद्र का कोण दुगुना
सम्मुख कोण 180°
सर्वांगसम वृत्तों की बराबर जीवाएँ
समझो:
जीवा का परिवार 10.1 है। दुगुना कोण 10.8 है। चक्रीय 10.11 है।
अति लघु उत्तरीय
0/51
व्यास और त्रिज्या का संबंध लिखो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
व्यास = 2 × त्रिज्या।
अपना उत्तर जाँचो:
2
प्रमेय 10.3 लिखो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
केंद्र से जीवा पर लंब जीवा को समद्विभाजित करता है।
अपना उत्तर जाँचो:
3
त्रिज्या 5 cm और जीवा 8 cm पर केंद्र से दूरी निकालो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
आधी जीवा 4 cm। दूरी = √(25 − 16) = 3 cm।
अपना उत्तर जाँचो:
4
अर्धवृत्त में कोण कितना होता है?
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
90°।
अपना उत्तर जाँचो:
5
प्रमेय 10.11 एक पंक्ति में लिखो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोणों का योग 180° होता है।
अपना उत्तर जाँचो:
लघु उत्तरीय
0/41
केंद्र पर कोण 100° है। उसी चाप का परिधि-कोण निकालो। अर्धवृत्त से फर्क एक पंक्ति में लिखो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
100° / 2 = 50°। अर्धवृत्त में केंद्र 180° होता है, इसलिए परिधि पर 90°।
अपना उत्तर जाँचो:
2
चक्रीय चतुर्भुज में ∠A = 75°। ∠C निकालो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
∠C = 180° − 75° = 105°। प्रमेय 10.11।
अपना उत्तर जाँचो:
3
त्रिज्या 5 cm और 3 cm, केंद्र 4 cm दूर। उभयनिष्ठ जीवा निकालो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
लंब का पाद छोटे केंद्र पर आता है। आधी जीवा 3 cm। पूरी जीवा 6 cm।
अपना उत्तर जाँचो:
4
∠AOB = ∠COD = 64° एक वृत्त में। जीवाओं के बारे में प्रमेय के साथ लिखो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
AB = CD, प्रमेय 10.2 से, क्योंकि केंद्र पर कोण बराबर हैं।
अपना उत्तर जाँचो:
दीर्घ उत्तरीय
0/31
प्रमेय 10.1, 10.3 और 10.8 लिखो। त्रिज्या 5 cm, जीवा 6 cm पर दूरी निकालो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
बराबर जीवा, बराबर केंद्र-कोण। लंब जीवा आधी करता है। केंद्र का कोण दुगुना। आधी जीवा 3 cm। दूरी = √(25 − 9) = √16 = 4 cm।
अपना उत्तर जाँचो:
2
प्रमेय 10.11 और अर्धवृत्त का 90° लिखो। चक्रीय चतुर्भुज में 100° का सम्मुख निकालो। केंद्र पर 120° का परिधि-कोण भी निकालो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
सम्मुख योग 180°। अर्धवृत्त में 90°। सम्मुख = 80°। परिधि-कोण = 120° / 2 = 60°।
अपना उत्तर जाँचो:
3
अभ्यास 10.1 से 10.6 का क्रम लिखो। 10.6 वैकल्पिक क्यों है, और उभयनिष्ठ जीवा 6 cm वाले उदाहरण में आधी और पूरी जीवा अलग क्यों हैं?
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
क्रम 10.1 से 10.6। पुस्तक 10.6 को वैकल्पिक कहती है, नंबर नहीं बदलता। √9 = 3 cm आधा है। पूरी जीवा 2 × 3 = 6 cm है।
अपना उत्तर जाँचो:
BSEB मॉडल प्रश्न-पत्र · अभ्यास
0/6यह मॉडल सेट अभ्यास के लिए है। किसी वर्ष की वार्षिक परीक्षा का प्रश्न नहीं है। स्रोत पृष्ठ मिलने पर ही वार्षिक प्रश्न जोड़े जाएँगे।
1
चक्रीय चतुर्भुज में एक कोण 120° है। सम्मुख कोण है —
💡 संकेत:
180 − 120।
समझो:
60°।
2
केंद्र पर कोण 150° है। परिधि पर कोण है —
💡 संकेत:
आधा।
समझो:
75°।
3
त्रिज्या 11 cm पर व्यास ______ cm है।
💡 संकेत:
2 × 11।
समझो:
22।
4
प्रमेय 10.8 केंद्र के कोण को दुगुना कहती है।
समझो:
सही — परिधि के कोण का दुगुना।
5
जीवा 24 cm और त्रिज्या 13 cm। केंद्र से दूरी निकालो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
आधी जीवा = 12 cm। दूरी = √(13² − 12²) = √(169 − 144) = √25 = 5 cm।
अपना उत्तर जाँचो:
6
यह गुणांक अभ्यास है, वृत्त अध्याय का परिणाम नहीं। H2 + O2 से H2O के गुणांक भरकर संतुलित करो (खाली = 1)।
H2 + O2 → H2O
समझो: 2H2 + O2 → 2H2O
CBSE-शैली प्रश्न
0/6ये योग्यता-आधारित अभ्यास प्रश्न हैं। किसी CBSE प्रश्नपत्र की प्रति नहीं हैं।
1
कुएँ का मुँह वृत्ताकार है। त्रिज्या 70 cm हो तो व्यास —
💡 संकेत:
2 × 70।
समझो:
140 cm।
2
घड़ी की दो सुइयाँ केंद्र पर 60° बनाती हैं। उसी चाप पर परिधि का कोण होगा —
💡 संकेत:
प्रमेय 10.8।
समझो:
30°, क्योंकि परिधि पर कोण आधा होता है।
3
अभिकथन (A): अर्धवृत्त में कोण समकोण होता है।
कारण (R): चक्रीय चतुर्भुज के सभी कोण 90° होते हैं।
समझो:
A सही है। R गलत है। केवल सम्मुख कोणों का योग 180° है।
4
ग्राफ़ पर जीवा नापना प्रमेय 10.3 का पूरा प्रमाण है।
समझो:
गलत — नाप जाँच है। प्रमाण सर्वांगसम त्रिभुजों से है।
5
पार्क में एक वृत्ताकार रास्ता है। एक जीवा 30 m है और केंद्र से उसकी दूरी 8 m निकालनी है। त्रिज्या 17 m है। दूरी की जाँच करो कि 8 m सही है या नहीं।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
आधी जीवा = 15 m। दूरी = √(17² − 15²) = √(289 − 225) = √64 = 8 m। दावा सही है। इकाई मीटर है।
अपना उत्तर जाँचो:
6
खिड़की का फ्रेम चक्रीय चतुर्भुज है। एक कोना 95° है। सामने का कोना लिखो और बताओ यह वार्षिक प्रश्न क्यों नहीं है।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
सामने का कोना = 180° − 95° = 85°। यह मॉडल अभ्यास है, किसी वर्ष की वार्षिक परीक्षा का प्रश्न नहीं।
अपना उत्तर जाँचो:
🏛️ बोर्ड परीक्षा कॉर्नर — बिहार बोर्ड (BSEB)— CBSE
ऊपर «BSEB | CBSE» से बोर्ड बदलो। पाठ वही NCERT है।
BSEB मॉडल · अभ्यासबोर्ड टिप
इस पेज पर वार्षिक परीक्षा का सत्यापित प्रश्न नहीं है, क्योंकि स्रोत पृष्ठ नहीं जोड़ा गया। नीचे मॉडल सेट बोर्ड के पैटर्न पर अभ्यास के लिए है।
सत्यापित लेबल तभी लगेगा जब प्रश्न का स्रोत पृष्ठ उपलब्ध हो।
CBSE-शैली · योग्यता-आधारित
ये केस और अभिकथन-कारण अभ्यास हैं। इन्हें CBSE का पुराना प्रश्न मत समझो।
🔁 स्पेस्ड रिव्यू — आज के प्रश्न
गलत प्रश्न जल्दी लौटते हैं, सही वाले कुछ दिन बाद।
🧠 आपने क्या सीखा + समीकरण-पत्रक
आपने क्या सीखा
- व्यास सबसे लंबी जीवा है और त्रिज्या का दुगुना होता है।
- बराबर जीवाएँ केंद्र पर बराबर कोण बनाती हैं, और विलोम भी सच है।
- केंद्र से लंब जीवा को आधा करता है। तीन असंरेख बिंदुओं से एक ही वृत्त गुजरता है।
- बराबर जीवाएँ केंद्र से समान दूरी पर होती हैं।
- केंद्र का कोण उसी चाप के परिधि-कोण का दुगुना होता है। अर्धवृत्त में कोण 90° है।
- चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोणों का योग 180° होता है। अभ्यास 10.1 से 10.6 उसी क्रम में हैं।
| क्या | याद रखने लायक |
|---|---|
| व्यास | 2 × radius |
| जीवा | equal chords, equal angles |
| लंब | bisects the chord |
| दूरी | equal chords, equal distance |
| केंद्र का कोण | double the circumference |
| चक्रीय | opposite angles 180° |
नोट्स मूल लेखन हैं। पाठ्यपुस्तक केवल क्रम और क्रियाकलाप-संख्या के लिए संदर्भ है। «सत्यापित» केवल स्रोत पृष्ठ वाले प्रश्न पर लिखा जाएगा।