1
सिंधु घाटी की ईंट का अनुपात मिला —
💡 संकेत:
लंबाई, चौड़ाई, मोटाई।
समझो:
4 : 2 : 1।
कक्षा 9 · गणित · अध्याय 5 · बिहार बोर्ड (BSEB)CBSE · NCERT 2026-27
यूक्लिड की ज्यामिति का परिचय
Introduction to Euclid's Geometry
इस पेज को ऐसे पढ़ो:
1. पढ़ो — इतिहास · परिभाषाएँ · सात अभिगृहीत · पाँच अभिधारणाएँ · प्रमेय 5.1 · अभ्यास 5.1 · पाँचवीं के रूप · अभ्यास 5.2, चित्र, हल उदाहरण, बोर्ड टिप
2. जाँचो — हर पाठ के अपने प्रश्न; संख्या पाठ के हिसाब से
3. महारत ★ — उस पाठ के सब सही। गलत वाले «दोबारा करो»
4. याद रखने वाला चित्र एक बिंदु, एक किरण और दोनों ओर बढ़ती एक रेखा को अलग-अलग नाम के साथ दिखाता है।
बिहार की 15-अध्याय वाली किताब में यह अध्याय 5 है। NCERT 2026-27 गणित मंजरी का क्रम अलग है। प्रगति इसी ब्राउज़र में सेव रहती है।
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- 1 ज्यामिति माप से निकली, फिर कारण माँगा
- 2 जो परिभाषाएँ पुस्तक अभी भी छापती है
- 3 सात सामान्य धारणाएँ
- 4 पाँच अभिधारणाएँ और अद्वितीय रेखा
- 5 प्रमेय 5.1 और रेखाखंड का योग
- 6 पाँचवीं अभिधारणा के तुल्य रूप
- अध्याय-विजेता — सभी पाठ महारत ★
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ज्यामिति माप से निकली, फिर कारण माँगा
Geometry began in measuring, then asked for reasons · पाठ्यपुस्तक 5.1 · भारत और यूनान
काम पहले हुआ, नियम बाद में जमेनोट्स
«ज्यामिति» यूनानी शब्दों से है: धरती और माप। नील की बाढ़ खेत की सीमा मिटाती थी, इसलिए मिस्र में क्षेत्रफल के नियम बने। भारत में सिंधु घाटी की सड़कें समांतर थीं और ईंट का अनुपात 4 : 2 : 1 मिला। शुल्बसूत्र वेदि और अग्निकुंड की रचना के ग्रंथ हैं। श्रीयंत्र में नौ समद्विबाहु त्रिभुज मिलकर 43 छोटे त्रिभुज बनाते हैं।
वहाँ परिणाम बताए जाते थे, हर कदम का कारण नहीं। यूनान में थेलस ने व्यास वृत्त को समद्विभाजित करता है, इसका पहला ज्ञात प्रमाण दिया। यूक्लिड ने लगभग 300 ईसा पूर्व सारी ज्ञात बातें एलीमेंट्स की तेरह पुस्तकों में सजा दीं।
हल किया हुआ उदाहरणउदाहरण
प्रश्न: ईंट 4 : 2 : 1 है और लंबाई 20 cm है। चौड़ाई और मोटाई निकालो।
अनुपात: लंबाई : चौड़ाई : मोटाई = 4 : 2 : 1
मान: 4 भाग = 20 cm, इसलिए 1 भाग = 5 cm। चौड़ाई = 2 × 5 = 10 cm। मोटाई = 1 × 5 = 5 cm।
10-सेकंड रिवीजन
- ज्यामिति धरती मापने से जुड़ी है
- भारत में शुल्बसूत्र और 4 : 2 : 1 ईंट
- यूक्लिड की एलीमेंट्स में तेरह पुस्तकें
बोर्ड टिप · BSEBबोर्ड टिप
इतिहास वाले उत्तर में केवल यूनान मत लिखना। सिंधु घाटी और शुल्बसूत्र भी इस अध्याय में हैं।
बोर्ड टिप · CBSEबोर्ड टिप
थेलस का प्रमाण व्यास और वृत्त का है। पाइथागोरस उसका शिष्य बताया गया है। नाम पलटना मत।
समझ जाँचोसब सही = महारत ★
2
शुल्बसूत्र केवल यूनान की पुस्तक है।
समझो:
गलत — ये प्राचीन भारत के ज्यामिति-रचना ग्रंथ हैं।
3
यूक्लिड की एलीमेंट्स में ______ पुस्तकें हैं।
💡 संकेत:
हर एक को book कहा गया।
समझो:
तेरह।
4
थेलस का पहला ज्ञात प्रमाण किस बारे में है?
💡 संकेत:
वृत्त और उसका व्यास।
समझो:
व्यास वृत्त को दो बराबर भागों में काटता है।
5
प्राचीन भारत की ज्यामिति के दो उदाहरण लिखो। यूनान की एक अलग बात भी लिखो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
सिंधु घाटी में समांतर सड़कें और 4 : 2 : 1 ईंटें मिलीं। शुल्बसूत्र वेदियों की रचना बताते हैं। यूनान में थेलस और यूक्लिड ने कथनों के कारण और प्रमाण पर जोर दिया।
अपना उत्तर जाँचो:
जो परिभाषाएँ पुस्तक अभी भी छापती है
The definitions the book still prints · पाठ्यपुस्तक 5.2 · बिंदु · रेखा · तल
पुरानी पंक्तियाँ, और आज का रुखनोट्स
पुस्तक यूक्लिड की ये बातें अभी छापती है। बिंदु वह है जिसका कोई भाग न हो। रेखा बिना चौड़ाई की लंबाई है। रेखा के सिरे बिंदु हैं। सरल रेखा अपने बिंदुओं के साथ समतल ढंग से पड़ी है। पृष्ठ में केवल लंबाई और चौड़ाई है। पृष्ठ के किनारे रेखाएँ हैं। समतल पृष्ठ अपनी सरल रेखाओं के साथ समतल ढंग से पड़ा है।
इन वाक्यों में भाग, चौड़ाई और «समतल ढंग» फिर परिभाषा माँगते हैं। इसलिए बिंदु, रेखा और तल आज अपरिभाषित हैं। ठोस की तीन विमाएँ हैं, पृष्ठ की दो, रेखा की एक, बिंदु की कोई नहीं। चित्र में बिंदु एक डॉट है, यद्यपि डॉट का आकार होता है।
हल किया हुआ उदाहरणउदाहरण
प्रश्न: «रेखा बिना चौड़ाई की लंबाई है» को आज परिभाषा क्यों नहीं मानते?
उत्तर: लंबाई और चौड़ाई इस वाक्य से पहले परिभाषित नहीं हैं। एक शब्द समझाने को दूसरे शब्द की परिभाषा चाहिए, और श्रृंखला नहीं कटती। इसलिए रेखा को अपरिभाषित रखकर उसके चित्र और अभिगृहीतों से काम करते हैं।
10-सेकंड रिवीजन
- पुस्तक सात पुरानी परिभाषाएँ अभी छापती है
- बिंदु, रेखा, तल अब अपरिभाषित हैं
- विमाएँ: ठोस 3, पृष्ठ 2, रेखा 1, बिंदु 0
बोर्ड टिप · BSEBबोर्ड टिप
«परिभाषा दो» पूछे तो पुस्तक वाली पंक्ति लिखो, और अगली पंक्ति में कहो कि आज इन्हें अपरिभाषित माना जाता है। एक तरफ़ मत छोड़ना।
बोर्ड टिप · CBSEबोर्ड टिप
किरण और रेखा एक चित्र में मत मिलाना। किरण का एक सिरा है। रेखा दोनों ओर बिना सिरे बढ़ती है।
समझ जाँचोसब सही = महारत ★
1
आज अपरिभाषित रखा गया है —
💡 संकेत:
तीन ज्यामितीय शब्द।
समझो:
बिंदु, रेखा और तल।
2
पुस्तक बिंदु की पुरानी पंक्ति अब छापती ही नहीं।
समझो:
गलत — «जिसका कोई भाग न हो» अभी अध्याय में है। मान आज अपरिभाषित है।
3
रेखा की विमाओं की संख्या ______ है।
💡 संकेत:
पृष्ठ की दो, बिंदु की शून्य।
समझो:
1।
4
पृष्ठ के किनारे क्या हैं?
💡 संकेत:
पुरानी छपी पंक्ति।
समझो:
रेखाएँ।
5
चित्र का डॉट सचमुच बिना आकार का बिंदु है।
समझो:
गलत — डॉट का कुछ आकार होता है। वह बिंदु का चित्र मात्र है।
6
बिंदु और रेखा की वे पंक्तियाँ लिखो जो पुस्तक अभी छापती है। फिर एक वाक्य में बताओ आज इन्हें क्या मानते हैं।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
बिंदु वह है जिसका कोई भाग न हो। रेखा बिना चौड़ाई की लंबाई है। आज बिंदु और रेखा को अपरिभाषित माना जाता है, क्योंकि इन पंक्तियों के शब्द फिर परिभाषा माँगते हैं।
अपना उत्तर जाँचो:
सात सामान्य धारणाएँ
The seven common notions · पाठ्यपुस्तक 5.2 · अभिगृहीत
ये ज्यामिति के निजी नहीं हैंनोट्स
पुस्तक यूक्लिड के अभिगृहीत उसके क्रम में नहीं, इस रूप में देती है। जो बातें एक ही चीज के बराबर हों, वे आपस में बराबर हैं। बराबर में बराबर जोड़ा जाए तो पूर्ण बराबर हैं। बराबर में से बराबर घटाया जाए तो शेष बराबर हैं। जो एक-दूसरे से हूबहू मेल खाएँ वे बराबर हैं। पूर्ण अपने अंश से बड़ा है। एक ही चीज के दुगुने आपस में बराबर हैं। एक ही चीज के आधे आपस में बराबर हैं।
चौथा अभिगृहीत अध्यारोपण का आधार है। पाँचवाँ «बड़ा» का अर्थ देता है: A > B का मतलब है कि कोई C है जिससे A = B + C। अलग किस्म की राशियाँ नहीं जुड़तीं। रेखा में आयत नहीं जोड़ा जाता और कोण की तुलना पंचभुज से नहीं होती।
हल किया हुआ उदाहरणउदाहरण
प्रश्न: AB = PQ और PQ = XY है। AB और XY में क्या संबंध है? कौन-सा अभिगृहीत?
उत्तर: दोनों एक ही लंबाई PQ के बराबर हैं, इसलिए AB = XY। यह पहला अभिगृहीत है। इकाई दोनों ओर वही रहती है, जैसे दोनों 5 cm हों तो AB भी 5 cm है।
10-सेकंड रिवीजन
- सात सामान्य धारणाएँ, सिद्ध नहीं
- मेल खाने वाली चीजें बराबर हैं — अध्यारोपण
- अलग किस्म की राशियाँ नहीं जुड़तीं
बोर्ड टिप · BSEBबोर्ड टिप
«पूर्ण अंश से बड़ा है» पाँचवीं सामान्य धारणा है, पाँचवीं अभिधारणा नहीं। नंबर पूछने पर नाम भी लिखो।
बोर्ड टिप · CBSEबोर्ड टिप
रेखा और क्षेत्रफल को एक जोड़ में मत लिखना। समान किस्म ही जुड़ती है।
समझ जाँचोसब सही = महारत ★
1
जो बातें एक ही चीज के बराबर हैं, वे —
💡 संकेत:
पहली सामान्य धारणा।
समझो:
आपस में बराबर।
2
पूर्ण अपने अंश से छोटा होता है।
समझो:
गलत — पूर्ण अंश से बड़ा होता है। यही पाँचवीं सामान्य धारणा है।
3
एक-दूसरे पर हूबहू मेल खाने वाली चीजें ______ होती हैं।
💡 संकेत:
अध्यारोपण इसी पर टिका है।
समझो:
बराबर।
4
किस जोड़ की अनुमति नहीं है?
💡 संकेत:
किस्म अलग है।
समझो:
रेखा और आयत अलग किस्म की राशियाँ हैं।
5
A = B और C = D है। A + C और B + D में संबंध किस अभिगृहीत से निकलता है? एक संख्यात्मक उदाहरण दो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
बराबर में बराबर जोड़ने पर पूर्ण बराबर होते हैं, इसलिए A + C = B + D। उदाहरण: 3 cm + 2 cm = 5 cm और 3 cm + 2 cm दूसरी ओर भी 5 cm।
अपना उत्तर जाँचो:
पाँच अभिधारणाएँ और अद्वितीय रेखा
The five postulates and the unique line · पाठ्यपुस्तक 5.2 · अभिधारणा · अभिगृहीत 5.1
ज्यामिति के लिए मानी हुई पाँच बातेंनोट्स
पहली: किन्हीं दो बिंदुओं से एक सरल रेखा खींची जा सकती है। यह «कम से कम एक» कहती है। पुस्तक अलग से अभिगृहीत 5.1 रखती है: दो भिन्न बिंदुओं से ठीक एक रेखा गुजरती है। दूसरी: अंत वाला रेखाखंड दोनों ओर बढ़ाया जा सकता है। यूक्लिड जिसे terminated line कहता था, आज उसे रेखाखंड कहते हैं। तीसरी: किसी भी केन्द्र और किसी भी त्रिज्या से वृत्त खिंच सकता है। चौथी: सभी समकोण बराबर हैं।
पाँचवीं लंबी है। एक सरल रेखा दो सरल रेखाओं पर इस तरह गिरे कि उसके एक ही ओर के अंतःकोणों का योग दो समकोण से छोटा हो, तो वे रेखाएँ बढ़ाई जाएँ तो उसी ओर मिलती हैं। पहली चार के मुकाबले यह न तो छोटी है न सीधे स्पष्ट। फिर भी इसे शेष से सिद्ध नहीं किया जा सका, इसलिए अभिधारणा बनी रही।
हल किया हुआ उदाहरणउदाहरण
प्रश्न: P और Q दो भिन्न बिंदु हैं। इनमें से कितनी सरल रेखाएँ गुजरती हैं?
उत्तर: अभिगृहीत 5.1 के अनुसार ठीक एक, रेखा PQ। पहली अभिधारणा अकेले «केवल एक» नहीं कहती। वही रेखा Q से P की ओर भी एक ही है।
10-सेकंड रिवीजन
- अभिधारणा 1 कम से कम एक रेखा कहती है
- अभिगृहीत 5.1 ठीक एक रेखा कहता है
- अंत वाली रेखा आज का रेखाखंड है
बोर्ड टिप · BSEBबोर्ड टिप
«दो बिंदु, एक रेखा» वाले उत्तर में अभिगृहीत 5.1 का नंबर लिखो। केवल पहली अभिधारणा अधूरी रहती है।
बोर्ड टिप · CBSEबोर्ड टिप
सभी समकोण बराबर हैं, यह चौथी अभिधारणा है। 90° का माप बाद की सहमति है। अभिधारणा माप की तालिका नहीं है।
समझ जाँचोसब सही = महारत ★
1
दो भिन्न बिंदुओं से ठीक एक रेखा किसका कथन है?
💡 संकेत:
पुस्तक इसे अलग जोड़ती है।
समझो:
अभिगृहीत 5.1। अभिधारणा 1 केवल खींचने की बात करती है।
2
यूक्लिड की अंत वाली रेखा आज का रेखाखंड है।
समझो:
सही — उसे दोनों ओर बढ़ाकर रेखा बनती है। यही दूसरी अभिधारणा है।
3
किसी भी केन्द्र और किसी भी त्रिज्या से ______ खींचा जा सकता है।
💡 संकेत:
तीसरी अभिधारणा।
समझो:
वृत्त।
4
सभी समकोण बराबर हैं। यह है —
💡 संकेत:
वृत्त वाली तीसरी है।
समझो:
चौथी अभिधारणा।
5
पाँचवीं अभिधारणा पहली चार जितनी ही छोटी और सीधे स्पष्ट है।
समझो:
गलत — पुस्तक कहती है कि यह उनसे कहीं अधिक जटिल है।
6
पहली अभिधारणा और अभिगृहीत 5.1 में फर्क दो पंक्तियों में लिखो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
पहली अभिधारणा कहती है कि दो बिंदुओं से एक सरल रेखा खींची जा सकती है। अभिगृहीत 5.1 जोड़ता है कि दो भिन्न बिंदुओं से ऐसी रेखा ठीक एक होती है।
अपना उत्तर जाँचो:
प्रमेय 5.1 और रेखाखंड का योग
Theorem 5.1 and the sum of segments · पाठ्यपुस्तक 5.2 · प्रमेय 5.1 · अभ्यास 5.1
सिद्ध बात और मानी बात अलग हैंनोट्स
अभिगृहीतों से जो बात सिद्ध होती है वह प्रमेय है। यूक्लिड ने अपनी शृंखला में 465 प्रमेय निकाले। प्रमेय 5.1: दो भिन्न रेखाओं का एक से अधिक उभयनिष्ठ बिंदु नहीं हो सकता। अगर दो बिंदु उभय हों तो उन्हीं दो बिंदुओं से दो रेखाएँ जाएँगी, जो अभिगृहीत 5.1 के खिलाफ है।
B यदि A और C के बीच हो तो AC, AB और BC के मेल से बनता है। मेल खाने वाली चीजें बराबर हैं, इसलिए AB + BC = AC। समबाहु त्रिभुज की रचना तीसरी अभिधारणा से होती है: A और B को केन्द्र मानकर AB त्रिज्या के दो वृत्त, और कटाव C।
हल किया हुआ उदाहरणउदाहरण
प्रश्न: B, A और C के बीच है। AB = 4 cm और BC = 5 cm। AC निकालो।
संबंध: AB + BC = AC, क्योंकि AC दोनों खंडों से मेल खाता है।
मान: AC = 4 cm + 5 cm = 9 cm।
10-सेकंड रिवीजन
- प्रमेय सिद्ध होता है, अभिगृहीत माना जाता है
- दो रेखाएँ अधिकतम एक बिंदु पर मिलती हैं
- बीच के बिंदु पर AB + BC = AC
बोर्ड टिप · BSEBबोर्ड टिप
प्रमेय 5.1 में «अधिकतम एक» लिखो। «ठीक एक» गलत हो सकता है, क्योंकि समांतर रेखाएँ मिलती ही नहीं।
बोर्ड टिप · CBSEबोर्ड टिप
AB + BC = AC तभी जब B बीच में हो। चित्र में बीच का बिंदु चिह्नित करो।
समझ जाँचोसब सही = महारत ★
1
प्रमेय 5.1 कहता है —
💡 संकेत:
अद्वितीय रेखा से टकराहट।
समझो:
एक से अधिक उभयनिष्ठ बिंदु नहीं।
2
B बीच में हो तो AB + BC = AC।
समझो:
सही — मेल वाली सामान्य धारणा से।
3
यूक्लिड की शृंखला में प्रमेयों की संख्या ______ कही गई है।
💡 संकेत:
चार सौ पैंसठ।
समझो:
465।
4
AB = 6 cm और B, A तथा C के बीच है। BC = 3 cm। AC निकालो और प्रयुक्त बात का नाम लिखो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
AC = AB + BC = 6 cm + 3 cm = 9 cm। यह मेल की सामान्य धारणा और बीच के बिंदु वाले परिणाम से आता है।
अपना उत्तर जाँचो:
पाँचवीं अभिधारणा के तुल्य रूप
Equivalent forms of the fifth postulate · पाठ्यपुस्तक 5.3 · अभ्यास 5.2
सिद्ध नहीं हुई, पर दूसरी ज्यामिति खोल गईनोट्स
पाँचवीं को पहली चार से सिद्ध करने की कोशिशें असफल रहीं। असफलता से कई अन्य ज्यामितियाँ निकलीं, जिन्हें अयूक्लिडीय कहते हैं। पुस्तक दो तुल्य रूप देती है। पहला, प्लेफेयर वाला: हर रेखा l और उस पर न होने वाले हर बिंदु P से ठीक एक रेखा m जाती है जो l के समांतर हो। दूसरा: दो भिन्न प्रतिच्छेदी रेखाएँ एक ही रेखा के समांतर नहीं हो सकतीं।
अभिगृहीतों का निकाय संगत है जब उनसे ऐसा वाक्य न निकले जो किसी अभिगृहीत या पहले सिद्ध बात से टकराए। आज अभिगृहीत और अभिधारणा शब्द एक ही अर्थ में भी चलते हैं।
हल किया हुआ उदाहरणउदाहरण
प्रश्न: रेखा l पर बिंदु P नहीं है। P से l के समांतर कितनी रेखाएँ खींची जा सकती हैं?
उत्तर: प्लेफेयर वाले तुल्य रूप के अनुसार ठीक एक। यह पाँचवीं अभिधारणा के बराबर की बात है, कोई नया अलग नियम नहीं। दो खींचोगे तो वे एक-दूसरे को काटेंगी या दोनों l के समांतर नहीं रहेंगी।
10-सेकंड रिवीजन
- पाँचवीं पहली चार से सिद्ध नहीं हुई
- प्लेफेयर: बाहर के बिंदु से ठीक एक समांतर
- असफल कोशिशों से अयूक्लिडीय ज्यामिति
बोर्ड टिप · BSEBबोर्ड टिप
प्लेफेयर को नई अभिधारणा मत कहना। लिखो कि यह पाँचवीं के तुल्य रूपों में से एक है।
बोर्ड टिप · CBSEबोर्ड टिप
संगत निकाय का अर्थ «आसान निकाय» नहीं है। अर्थ है: भीतरी विरोध न निकले।
समझ जाँचोसब सही = महारत ★
1
रेखा के बाहर एक बिंदु से समांतर रेखाएँ होती हैं —
💡 संकेत:
प्लेफेयर।
समझो:
ठीक एक। यह पाँचवीं के तुल्य है।
2
पाँचवीं अभिधारणा पहली चार से सिद्ध हो चुकी है।
समझो:
गलत — कोशिशें असफल रहीं। इसी से अयूक्लिडीय ज्यामितियाँ खुलीं।
3
भीतरी विरोध न निकले तो अभिगृहीत-निकाय ______ कहलाता है।
💡 संकेत:
विरोध न हो।
समझो:
संगत।
4
दो भिन्न प्रतिच्छेदी रेखाएँ —
💡 संकेत:
दूसरा तुल्य रूप।
समझो:
वे एक ही रेखा के समांतर नहीं हो सकतीं।
5
पाँचवीं अभिधारणा के दो तुल्य रूप लिखो। असफल प्रमाणों का एक परिणाम भी लिखो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
पहला: रेखा के बाहर के बिंदु से ठीक एक समांतर। दूसरा: दो भिन्न प्रतिच्छेदी रेखाएँ एक ही रेखा के समांतर नहीं हो सकतीं। असफल प्रमाणों से अयूक्लिडीय ज्यामितियाँ विकसित हुईं।
अपना उत्तर जाँचो:
❓ पूरा प्रश्न बैंक — उत्तर व व्याख्या सहित — 65 प्रश्न
प्रकार चुनो। पाठों के 31 जाँच-प्रश्न अलग हैं — हर पाठ में जितने उसके विषय माँगते हैं। सब सही होने पर महारत ★ मिलती है।
BSEB मॉडलअभ्यास · वार्षिक नहीं60 किए · 0 सहीबहुविकल्पीMCQ130 किए · 0 सहीसही / गलतसही-गलत80 किए · 0 सहीरिक्त स्थानरिक्त स्थान80 किए · 0 सहीमिलान करोमिलान20 किए · 0 सहीअभिकथन-कारणअभिकथन-कारण50 किए · 0 सहीसमीकरण संतुलनसंतुलन40 किए · 0 सहीअभिक्रिया पहचानपहचान20 किए · 0 सहीलघु / दीर्घ उत्तरीयअति लघु, लघु, दीर्घ110 किए · 0 सहीCBSE-शैलीPYQ नहीं60 किए · 0 सही
कोई भी प्रश्न «सत्यापित PYQ» नहीं है। BSEB वाला सेट मॉडल अभ्यास है। CBSE वाले प्रश्न CBSE-शैली हैं, किसी वर्ष के पेपर की प्रति नहीं।
बहुविकल्पी
0/13एक विकल्प चुनो। गलत पर संकेत मिलेगा।
1
एलीमेंट्स की पुस्तकें हैं —
💡 संकेत:
465 प्रमेयों की संख्या है।
समझो:
13।
2
ईंट का अनुपात था —
💡 संकेत:
लंबाई सबसे बड़ी।
समझो:
4 : 2 : 1।
3
आज अपरिभाषित है —
💡 संकेत:
पुरानी पंक्तियाँ छपी रहती हैं।
समझो:
बिंदु, रेखा और तल।
4
रेखा की विमाएँ —
💡 संकेत:
बिंदु की शून्य, पृष्ठ की दो।
समझो:
1।
5
पूर्ण और अंश वाली बात है —
💡 संकेत:
अभिधारणा ज्यामिति की है।
समझो:
पाँचवीं सामान्य धारणा।
6
वृत्त खींचने की बात है —
💡 संकेत:
कोई केन्द्र, कोई त्रिज्या।
समझो:
तीसरी अभिधारणा।
7
दो भिन्न बिंदुओं से रेखाएँ जाती हैं —
💡 संकेत:
अभिगृहीत 5.1।
समझो:
ठीक एक।
8
प्रमेय 5.1 रोकता है —
💡 संकेत:
मिलना एक बिंदु पर चल सकता है।
समझो:
एक से अधिक उभयनिष्ठ बिंदु नहीं।
9
रेखा के बाहर से समांतर होती है —
💡 संकेत:
प्लेफेयर रूप।
समझो:
ठीक एक।
10
अयूक्लिडीय ज्यामिति निकली —
💡 संकेत:
पहली चार काफी नहीं पड़ीं।
समझो:
असफल प्रमाणों से।
11
संगत निकाय का अर्थ है —
💡 संकेत:
टकराहट न हो।
समझो:
निगमित विरोध न हो।
12
अध्यारोपण किस अभिगृहीत पर टिका है?
💡 संकेत:
चौथी सामान्य धारणा।
समझो:
मेल खाने वाली चीजें बराबर हैं।
13
B बीच में हो तो AC बराबर है —
💡 संकेत:
दोनों खंड मिलकर पूरा।
समझो:
AB + BC।
सही / गलत
0/81
थेलस ने व्यास द्वारा वृत्त के समद्विभाजन का प्रमाण दिया।
समझो:
सही — इसे पहला ज्ञात प्रमाण माना गया है।
2
आज बिंदु की पुरानी पंक्ति एक पूरी परिभाषा मान ली जाती है।
समझो:
गलत — बिंदु अपरिभाषित है। पंक्ति पुस्तक में उदाहरण के रूप में छपी है।
3
अलग किस्म की राशियाँ जोड़ी जा सकती हैं।
समझो:
गलत — रेखा और आयत एक जोड़ में नहीं आते।
4
पहली अभिधारणा अकेले अद्वितीय रेखा सिद्ध करती है।
समझो:
गलत — अद्वितीयता अभिगृहीत 5.1 में अलग कही गई है।
5
सभी समकोण बराबर हैं।
समझो:
सही — चौथी अभिधारणा।
6
दो भिन्न रेखाएँ तीन बिंदुओं पर मिल सकती हैं।
समझो:
गलत — प्रमेय 5.1 एक से अधिक उभयनिष्ठ बिंदु मना करता है।
7
प्लेफेयर रूप पाँचवीं अभिधारणा के तुल्य है।
समझो:
सही — बाहर के बिंदु से ठीक एक समांतर।
8
अभिगृहीत को सिद्ध करना पड़ता है, तभी वह माना जाता है।
समझो:
गलत — अभिगृहीत बिना प्रमाण के माना जाता है। प्रमेय सिद्ध होता है।
रिक्त स्थान
0/81
एलीमेंट्स में पुस्तकों की संख्या ______ है।
💡 संकेत:
13।
समझो:
प्रमेय 465 हैं।
2
बिंदु की विमाएँ ______ हैं।
💡 संकेत:
0।
समझो:
रेखा की एक।
3
तीसरी अभिधारणा ______ खींचने की बात करती है।
💡 संकेत:
वृत्त।
समझो:
कोई केन्द्र, कोई त्रिज्या।
4
दो भिन्न बिंदुओं से रेखाओं की संख्या ______ है।
💡 संकेत:
1।
समझो:
अभिगृहीत 5.1।
5
AB = 4 cm और BC = 5 cm, B बीच में, तो AC = ______ cm।
💡 संकेत:
9।
समझो:
4 + 5।
6
रेखा के बाहर से समांतर रेखाओं की संख्या ______ है।
💡 संकेत:
1।
समझो:
प्लेफेयर।
7
भीतरी विरोध रहित निकाय ______ कहलाता है।
💡 संकेत:
संगत।
समझो:
आसान का पर्याय नहीं।
8
यूक्लिड की शृंखला में लगभग ______ प्रमेय हैं।
💡 संकेत:
465।
समझो:
पुस्तकें 13 हैं।
मिलान करो
0/21
कथन को उसके वर्ग से मिलाओ।
स्तंभ B: A. चौथी अभिधारणा · B. सामान्य धारणा · C. प्रमेय 5.1 · D. पुरानी छपी पंक्ति
1. सभी समकोण बराबर
2. पूर्ण अंश से बड़ा
3. दो रेखाओं का एक से अधिक उभय बिंदु नहीं
4. बिंदु का कोई भाग नहीं
समझो:
समकोण अभिधारणा है, पूर्ण सामान्य धारणा है, उभय बिंदु प्रमेय है, बिंदु वाली पंक्ति पुरानी परिभाषा है।
2
संख्या को सही चीज से मिलाओ।
स्तंभ B: A. एलीमेंट्स की पुस्तकें · B. प्रमेय · C. अद्वितीय रेखा · D. पृष्ठ
1. 13
2. 465
3. 5.1 अभिगृहीत
4. विमा 2
समझो:
13 पुस्तकें, 465 प्रमेय, 5.1 अद्वितीय रेखा, पृष्ठ की दो विमाएँ।
अभिकथन–कारण
0/5पहले दोनों कथन जाँचो, फिर देखो कि कारण व्याख्या है या नहीं।
1
अभिकथन (A): दो भिन्न बिंदुओं से ठीक एक रेखा जाती है।
कारण (R): अभिगृहीत 5.1 यह अद्वितीयता अलग से कहता है।
समझो:
दोनों सही हैं और R सही कारण है।
2
अभिकथन (A): बिंदु आज अपरिभाषित है।
कारण (R): सभी समकोण बराबर हैं।
समझो:
दोनों सही हैं, पर R बिंदु के अपरिभाषित होने की व्याख्या नहीं करता।
3
अभिकथन (A): AB + BC = AC जब B, A और C के बीच हो।
कारण (R): रेखा की लंबाई और आयत का क्षेत्रफल एक ही जोड़ में रखे जाते हैं।
समझो:
A सही है। R गलत — अलग किस्म की राशियाँ नहीं जुड़तीं।
4
अभिकथन (A): पाँचवीं अभिधारणा पहली चार से सिद्ध हो चुकी है।
कारण (R): असफल कोशिशों से अयूक्लिडीय ज्यामितियाँ खुलीं।
समझो:
A गलत है। R सही है।
5
अभिकथन (A): दो भिन्न रेखाएँ तीन बिंदु साझा नहीं कर सकतीं।
कारण (R): दो साझा बिंदु भी अभिगृहीत 5.1 से टकराएँगे।
समझो:
दोनों सही हैं और R, प्रमेय 5.1 की व्याख्या है।
गुणांक अभ्यास
0/4ये इस गणित अध्याय के परिणाम नहीं हैं। केवल H2 + O2 → H2O का गुणांक अभ्यास है।
1
यह गुणांक अभ्यास है, इस गणित अध्याय का परिणाम नहीं। H2 + O2 से H2O के गुणांक भरो (खाली = 1)। यह ज्यामिति का प्रमेय नहीं है।
H2 + O2 → H2O
समझो: 2H2 + O2 → 2H2O
2
यह गुणांक अभ्यास है, इस गणित अध्याय का परिणाम नहीं। H2 + O2 से H2O के गुणांक भरो (खाली = 1)। हाइड्रोजन परमाणु बराबर रखो।
H2 + O2 → H2O
समझो: 2H2 + O2 → 2H2O
3
यह गुणांक अभ्यास है, इस गणित अध्याय का परिणाम नहीं। H2 + O2 से H2O के गुणांक भरो (खाली = 1)। ऑक्सीजन परमाणु बराबर रखो।
H2 + O2 → H2O
समझो: 2H2 + O2 → 2H2O
4
यह गुणांक अभ्यास है, इस गणित अध्याय का परिणाम नहीं। H2 + O2 से H2O के गुणांक भरो (खाली = 1)। खाली का अर्थ गुणांक 1 है।
H2 + O2 → H2O
समझो: 2H2 + O2 → 2H2O
वर्गीकरण
0/21
हर कथन को उसके वर्ग में रखो।
पूर्ण अंश से बड़ा है
सभी समकोण बराबर हैं
दो रेखाओं का एक से अधिक उभय बिंदु नहीं
वृत्त किसी केन्द्र से खिंच सकता है
समझो:
पूर्ण अभिगृहीत है। समकोण और वृत्त अभिधारणाएँ हैं। उभय बिंदु प्रमेय 5.1 है।
2
हर बात को सही जगह रखो।
4 : 2 : 1
तेरह पुस्तकें
बाहर से एक समांतर
शुल्बसूत्र
समझो:
ईंट और शुल्बसूत्र भारत के हैं। तेरह पुस्तकें एलीमेंट्स की हैं। एक समांतर प्लेफेयर है।
अति लघु उत्तरीय
0/51
प्रमेय किसे कहते हैं?
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
जो कथन परिभाषा, अभिगृहीत और पहले सिद्ध बातों से सिद्ध हो, वह प्रमेय है।
अपना उत्तर जाँचो:
2
अभिगृहीत 5.1 लिखो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
दो भिन्न बिंदुओं से ठीक एक रेखा गुजरती है।
अपना उत्तर जाँचो:
3
प्रमेय 5.1 लिखो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
दो भिन्न रेखाओं का एक से अधिक उभयनिष्ठ बिंदु नहीं हो सकता।
अपना उत्तर जाँचो:
4
चौथी अभिधारणा क्या है?
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
सभी समकोण एक-दूसरे के बराबर हैं।
अपना उत्तर जाँचो:
5
प्लेफेयर रूप एक पंक्ति में लिखो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
रेखा के बाहर के बिंदु से उस रेखा के समांतर ठीक एक रेखा जाती है।
अपना उत्तर जाँचो:
लघु उत्तरीय
0/31
AB = 7 cm, BC = 2 cm और B बीच में है। AC निकालो। प्रयुक्त धारणा का नाम लिखो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
AC = 7 cm + 2 cm = 9 cm। मेल खाने वाली चीजें बराबर हैं, और बीच का बिंदु दोनों खंडों को पूरा बनाता है।
अपना उत्तर जाँचो:
2
बिंदु की पुरानी पंक्ति लिखो और बताओ उसे परिभाषा क्यों नहीं माना जाता।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
बिंदु वह है जिसका कोई भाग न हो। «भाग» फिर परिभाषा माँगता है, इसलिए श्रृंखला नहीं कटती। आज बिंदु अपरिभाषित है।
अपना उत्तर जाँचो:
3
पहली चार अभिधारणाएँ एक-एक पंक्ति में लिखो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
दो बिंदुओं से एक रेखा खिंच सकती है। रेखाखंड दोनों ओर बढ़ाया जा सकता है। किसी केन्द्र और त्रिज्या से वृत्त खिंच सकता है। सभी समकोण बराबर हैं।
अपना उत्तर जाँचो:
दीर्घ उत्तरीय
0/31
सात सामान्य धारणाओं में से पहली, चौथी और पाँचवीं लिखो। बताओ अलग किस्म की राशियाँ क्यों नहीं जुड़तीं। AB = PQ = 5 cm पर पहला अभिगृहीत लगाओ।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
एक ही चीज के बराबर बातें आपस में बराबर हैं। मेल खाने वाली चीजें बराबर हैं। पूर्ण अंश से बड़ा है। रेखा और आयत अलग किस्म हैं, इसलिए उनका जोड़ नहीं बनता। AB और PQ दोनों 5 cm हैं, इसलिए AB = PQ।
अपना उत्तर जाँचो:
2
अभिधारणा 1 और अभिगृहीत 5.1 का फर्क लिखो। फिर प्रमेय 5.1 सिद्ध करने का विचार दो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
अभिधारणा 1 कहती है कि रेखा खींची जा सकती है। अभिगृहीत 5.1 कहता है कि वह ठीक एक है। अगर दो रेखाएँ दो बिंदु साझा करें तो उन दो बिंदुओं से दो रेखाएँ जाएँगी, जो 5.1 के खिलाफ है। इसलिए उभय बिंदु एक से अधिक नहीं।
अपना उत्तर जाँचो:
3
पाँचवीं अभिधारणा अपने शब्दों में लिखो। दो तुल्य रूप और अयूक्लिडीय ज्यामिति की एक पंक्ति जोड़ो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
तिर्यक के एक ओर अंतःकोणों का योग 180° से छोटा हो तो रेखाएँ उसी ओर मिलती हैं। तुल्य रूप: बाहर के बिंदु से ठीक एक समांतर, और दो प्रतिच्छेदी रेखाएँ एक ही रेखा के समांतर नहीं। इसे पहली चार से सिद्ध न कर पाने पर अयूक्लिडीय ज्यामितियाँ खुलीं।
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BSEB मॉडल प्रश्न-पत्र · अभ्यास
0/6यह मॉडल सेट अभ्यास के लिए है। किसी वर्ष की वार्षिक परीक्षा का प्रश्न नहीं है। स्रोत पृष्ठ मिलने पर ही वार्षिक प्रश्न जोड़े जाएँगे।
1
अद्वितीय रेखा का नंबर है —
💡 संकेत:
अभिधारणा 1 काफी नहीं।
समझो:
अभिगृहीत 5.1।
2
पृष्ठ की विमाएँ हैं —
💡 संकेत:
रेखा की एक, ठोस की तीन।
समझो:
2।
3
AC = AB + BC में B की जगह ______ में है।
💡 संकेत:
बीच।
समझो:
सिरे पर हो तो योग ऐसा नहीं।
4
दो प्रतिच्छेदी रेखाएँ एक ही रेखा के समांतर हो सकती हैं।
समझो:
गलत — यह पाँचवीं के दूसरे तुल्य रूप के खिलाफ है।
5
4 : 2 : 1 ईंट की लंबाई 12 cm हो तो चौड़ाई और मोटाई निकालो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
4 भाग = 12 cm, 1 भाग = 3 cm। चौड़ाई 6 cm और मोटाई 3 cm।
अपना उत्तर जाँचो:
6
यह गुणांक अभ्यास है, यूक्लिड की ज्यामिति का परिणाम नहीं। H2 + O2 से H2O के गुणांक भरकर संतुलित करो (खाली = 1)।
H2 + O2 → H2O
समझो: 2H2 + O2 → 2H2O
CBSE-शैली प्रश्न
0/6ये योग्यता-आधारित अभ्यास प्रश्न हैं। किसी CBSE प्रश्नपत्र की प्रति नहीं हैं।
1
एक छात्र कहता है कि दो बिंदुओं से दो अलग सरल रेखाएँ खिंच सकती हैं। गलती है —
💡 संकेत:
अद्वितीयता अलग अभिगृहीत है।
समझो:
अभिगृहीत 5.1 ठीक एक रेखा कहता है।
2
नक्शे पर दो सड़कें दो चौराहों पर मिलती दिखाई गई हैं। ज्यामिति के अनुसार —
💡 संकेत:
प्रमेय 5.1।
समझो:
दो भिन्न रेखाओं का एक से अधिक उभयनिष्ठ बिंदु नहीं होता।
3
अभिकथन (A): रेखाखंड को दोनों ओर बढ़ाकर रेखा मिलती है।
कारण (R): यह बढ़ाव प्रमेय 5.1 है।
समझो:
A सही है, दूसरी अभिधारणा। R गलत — 5.1 उभय बिंदु के बारे में है।
4
संगत निकाय का अर्थ है कि हर कथन बिना जाँच के सत्य मान लिया जाए।
समझो:
गलत — संगत का अर्थ है कि निकाय से विरोध न निकले।
5
खेत की सीमा बाढ़ में मिट गई। दो खूँटों से सीमा की सरल रेखा कैसे एक ही होगी? कौन-सा कथन प्रयोग करोगे?
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
दो खूँटे दो भिन्न बिंदु हैं। अभिगृहीत 5.1 कहता है कि उनसे ठीक एक रेखा जाती है, इसलिए सीमा की सरल रेखा एक ही खिंचेगी। पहली अभिधारणा केवल यह कहती है कि रेखा खींची जा सकती है।
अपना उत्तर जाँचो:
6
कक्षा में एक विद्यार्थी ने कोण को लंबाई में जोड़ दिया। कौन-सी सावधानी टूटी? सही जोड़ का एक उदाहरण दो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
अलग किस्म की राशियाँ नहीं जुड़तीं। कोण और लंबाई एक जोड़ नहीं हैं। सही जोड़: 4 cm + 5 cm = 9 cm, या 30° + 60° = 90°।
अपना उत्तर जाँचो:
🏛️ बोर्ड परीक्षा कॉर्नर — बिहार बोर्ड (BSEB)— CBSE
ऊपर «BSEB | CBSE» से बोर्ड बदलो। पाठ वही NCERT है।
BSEB मॉडल · अभ्यासबोर्ड टिप
इस पेज पर वार्षिक परीक्षा का सत्यापित प्रश्न नहीं है, क्योंकि स्रोत पृष्ठ नहीं जोड़ा गया। नीचे मॉडल सेट बोर्ड के पैटर्न पर अभ्यास के लिए है।
सत्यापित लेबल तभी लगेगा जब प्रश्न का स्रोत पृष्ठ उपलब्ध हो।
CBSE-शैली · योग्यता-आधारित
ये केस और अभिकथन-कारण अभ्यास हैं। इन्हें CBSE का पुराना प्रश्न मत समझो।
🔁 स्पेस्ड रिव्यू — आज के प्रश्न
गलत प्रश्न जल्दी लौटते हैं, सही वाले कुछ दिन बाद।
🧠 आपने क्या सीखा + समीकरण-पत्रक
आपने क्या सीखा
- बिंदु, रेखा और तल आज अपरिभाषित हैं, यद्यपि पुस्तक पुरानी परिभाषाएँ छापती है।
- अभिगृहीत और अभिधारणा बिना प्रमाण के माने जाते हैं।
- सात सामान्य धारणाओं में जोड़, घटाव और «पूर्ण अंश से बड़ा है» आते हैं।
- पाँच अभिधारणाओं में रेखा, विस्तार, वृत्त, समकोण और पाँचवीं वाली मुलाकात है।
- अभिगृहीत 5.1: दो भिन्न बिंदुओं से ठीक एक रेखा जाती है।
- प्रमेय 5.1: दो भिन्न रेखाएँ एक से अधिक बिंदु पर नहीं मिलतीं।
| क्या | याद रखने लायक |
|---|---|
| अपरिभाषित | point, line, plane |
| अभिगृहीत | seven common notions |
| अभिधारणा 1–4 | line, extension, circle, right angles |
| अभिधारणा 5 | lines meet if interior sum < 180° |
| अभिगृहीत 5.1 | unique line through two points |
| प्रमेय 5.1 | at most one common point |
नोट्स मूल लेखन हैं। पाठ्यपुस्तक केवल क्रम और क्रियाकलाप-संख्या के लिए संदर्भ है। «सत्यापित» केवल स्रोत पृष्ठ वाले प्रश्न पर लिखा जाएगा।