1
शून्य परिमेय है, क्योंकि —
💡 संकेत:
q शून्य नहीं हो सकता।
समझो:
0 = 0/1। अंश और हर दोनों पूर्णांक हैं और हर 1 है।
कक्षा 9 · गणित · अध्याय 1 · बिहार बोर्ड (BSEB)CBSE · NCERT 2026-27
संख्या पद्धति
Number Systems
इस पेज को ऐसे पढ़ो:
1. पढ़ो — 1.1 परिमेय · 1.2 अपरिमेय और वर्गमूल सर्पिल · 1.3 दशमलव · 1.4 संख्या रेखा · 1.5 संक्रियाएँ · 1.6 घातांक, चित्र, हल उदाहरण, बोर्ड टिप
2. जाँचो — हर पाठ के अपने प्रश्न; संख्या पाठ के हिसाब से
3. महारत ★ — उस पाठ के सब सही। गलत वाले «दोबारा करो»
4. याद रखने वाला चित्र संख्या रेखा है, जिस पर परिमेय 1/2 और अपरिमेय √2 दोनों अंकित हैं।
बिहार की 15-अध्याय वाली किताब में यह अध्याय 1 है। NCERT 2026-27 गणित मंजरी का क्रम अलग है। प्रगति इसी ब्राउज़र में सेव रहती है।
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- 1 परिमेय संख्याएँ — प्रश्नावली 1.1
- 2 अपरिमेय संख्या और वर्गमूल सर्पिल — प्रश्नावली 1.2
- 3 दशमलव प्रसार — प्रश्नावली 1.3
- 4 संख्या रेखा पर वास्तविक संख्या — प्रश्नावली 1.4
- 5 संक्रियाएँ और हर का परिमेयकरण — प्रश्नावली 1.5
- 6 वास्तविक संख्याओं के घातांक — प्रश्नावली 1.6
- अध्याय-विजेता — सभी पाठ महारत ★
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परिमेय संख्याएँ — प्रश्नावली 1.1
Rational numbers — Exercise 1.1 · NCERT 1.1 · प्रश्नावली 1.1
N, W, Z और Qनोट्स
प्राकृत संख्याएँ 1, 2, 3, … हैं। समूह N है। शून्य जोड़ने पर पूर्ण संख्याएँ मिलती हैं। समूह W है। ऋणात्मक पूर्णांक भी जोड़ दो तो पूर्णांक मिलते हैं। समूह Z है। Z जर्मन शब्द zahlen से आया है, अर्थ है गिनना।
संख्या परिमेय है जब उसे p/q लिखा जा सके। p और q पूर्णांक हैं और q ≠ 0। 4 = 4/1 है, इसलिए हर पूर्णांक परिमेय है। 0 = 0/1 है, इसलिए शून्य भी परिमेय है। 1/2 और −3/5 भी परिमेय हैं।
दो परिमेय संख्याओं के बीच अनंत परिमेय संख्याएँ हैं। एक तरीका औसत (a + b)/2 है। उसी को दोहराते जाओ। दूसरा तरीका: समान हर बनाकर बीच के अंश भर दो।
| समूह | चिह्न | उदाहरण |
|---|---|---|
| प्राकृत | N | 1, 2, 3, … |
| पूर्ण | W | 0, 1, 2, 3, … |
| पूर्णांक | Z | …, −2, −1, 0, 1, 2, … |
| परिमेय | Q | 0, 4/1, 1/2, −3/5 |
हल किया हुआ उदाहरणउदाहरण
प्रश्न: 1 और 2 के बीच तीन परिमेय संख्याएँ लिखो।
चरण 1. समान हर 4 लो। 1 = 4/4 और 2 = 8/4।
चरण 2. अंश 4 और 8 के बीच 5, 6, 7 हैं।
चरण 3. संख्याएँ 5/4, 6/4 और 7/4 हैं। 6/4 = 3/2।
जाँच: 1 < 5/4 < 3/2 < 7/4 < 2। तीनों p/q में हैं और हर शून्य नहीं है।
10-सेकंड रिवीजन
- Q = p/q, q ≠ 0
- हर पूर्णांक परिमेय है, क्योंकि n = n/1
- दो परिमेयों के बीच अनंत परिमेय हैं
बोर्ड टिप · BSEBबोर्ड टिप
शून्य को 0/1 लिखो। q = 0 कभी मत लिखो, क्योंकि शून्य से भाग नहीं होता।
बोर्ड टिप · CBSEबोर्ड टिप
सही-गलत में कारण दो। हर प्राकृत संख्या पूर्ण है, पर हर पूर्णांक पूर्ण नहीं।
समझ जाँचोसब सही = महारत ★
2
हर पूर्णांक एक पूर्ण संख्या है।
समझो:
गलत। −3 पूर्णांक है, पर पूर्ण संख्या नहीं। पूर्ण संख्याएँ 0, 1, 2, … हैं।
3
परिमेय संख्याओं के समूह का चिह्न ______ है।
💡 संकेत:
quotient से जुड़ा अक्षर।
समझो:
चिह्न Q है।
4
3 और 4 के बीच एक परिमेय संख्या है —
💡 संकेत:
औसत (3+4)/2 निकालो।
समझो:
(3+4)/2 = 7/2 = 3.5, जो 3 और 4 के बीच है।
5
1/2 और 3/4 के बीच एक परिमेय संख्या औसत से निकालो। चरण दिखाओ।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
औसत = (1/2 + 3/4)/2। पहले योग: 1/2 = 2/4, अतः 2/4 + 3/4 = 5/4। फिर (5/4)/2 = 5/8। 1/2 = 4/8 < 5/8 < 6/8 = 3/4।
अपना उत्तर जाँचो:
अपरिमेय संख्या और वर्गमूल सर्पिल — प्रश्नावली 1.2
Irrational numbers and the square-root spiral — Exercise 1.2 · NCERT 1.2 · प्रश्नावली 1.2 · कक्षा-कार्य
जिसे p/q नहीं लिख सकतेनोट्स
संख्या अपरिमेय है जब उसे p/q के रूप में न लिखा जा सके, जहाँ p, q पूर्णांक हैं और q ≠ 0। √2, √3, √5 और π अपरिमेय हैं। 0.10110111011110… जैसा दशमलव, जिसमें 1 की गिनती बढ़ती जाती है, भी अपरिमेय है।
हर अपरिमेय संख्या वास्तविक है। हर वास्तविक संख्या अपरिमेय नहीं है, क्योंकि 1/2 वास्तविक भी है और परिमेय भी। संख्या रेखा का हर बिंदु √m नहीं है। m प्राकृत हो तो √m धनात्मक या शून्य रहता है। ऋणात्मक बिंदु और 1/2 इस रूप में नहीं आते।
√4 = 2 और √9 = 3 परिमेय हैं। इसलिए यह कहना गलत है कि हर धनात्मक पूर्णांक का वर्गमूल अपरिमेय होता है।
प्रश्नावली 1.2 का कक्षा-कार्य — वर्गमूल सर्पिलक्रियाकलाप
बड़ा कागज़ लो। बिंदु O से इकाई लंबाई का OP₁ खींचो। P₁P₂ को OP₁ पर लंब खींचो, लंबाई फिर 1 इकाई। तब OP₂ कर्ण है। पाइथागोरस से OP₂ = √(1² + 1²) = √2।
अब P₂P₃ को OP₂ पर लंब खींचो, लंबाई 1। OP₃ = √((√2)² + 1²) = √3। इसी तरह अगला लंब OP₄ = √4 = 2 देता है। आगे OPₙ = √n। बिंदुओं को जोड़ते जाओ तो √2, √3, √4, … की सर्पिल बनती है।
हल किया हुआ उदाहरणउदाहरण
प्रश्न: सिद्ध करो कि √2 अपरिमेय है।
चरण 1. मान लो √2 = p/q, जहाँ p, q पूर्णांक हैं, q ≠ 0, और 1 के सिवा उनका कोई सार्व गुणनखंड नहीं।
चरण 2. वर्ग लो: p² = 2q²। अतः p² सम है, इसलिए p सम है। p = 2m लिखो।
चरण 3. (2m)² = 2q² देता है 4m² = 2q², अतः q² = 2m²। q² सम है, इसलिए q सम है।
चरण 4. p और q दोनों सम हैं, यानी 2 दोनों का गुणनखंड है। यह सहअभाज्य होने से टकराता है। अतः मान गलत है। √2 अपरिमेय है।
10-सेकंड रिवीजन
- अपरिमेय = p/q में नहीं
- √2 अपरिमेय है, √4 = 2 परिमेय है
- सर्पिल में OPₙ = √n
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प्रमाण में मान लो कि वह परिमेय है, फिर दोनों के सम होने का विरोध दिखाओ।
बोर्ड टिप · CBSEबोर्ड टिप
√m वाला कथन केवल प्राकृत m के लिए धनात्मक जड़ है। ऋणात्मक बिंदु अलग हैं।
समझ जाँचोसब सही = महारत ★
1
हर अपरिमेय संख्या एक वास्तविक संख्या है।
समझो:
सही। वास्तविक संख्याएँ = परिमेय + अपरिमेय।
2
निम्न में परिमेय है —
💡 संकेत:
किसका वर्ग पूर्ण वर्ग है?
समझो:
√9 = 3 = 3/1, परिमेय है। √2, √3 और π अपरिमेय हैं।
3
वर्गमूल सर्पिल में OP₃ की लंबाई ______ इकाई है।
💡 संकेत:
पिछली लंब भुजा 1 है और OP₂ = √2।
समझो:
√((√2)² + 1²) = √3।
4
क्या हर धनात्मक पूर्णांक का वर्गमूल अपरिमेय है? एक उदाहरण से उत्तर दो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
नहीं। √4 = 2 = 2/1, जो परिमेय है। √9 = 3 भी परिमेय है। √2 जैसा वर्गमूल अपरिमेय है, पर पूर्ण वर्ग का वर्गमूल पूर्णांक होता है।
अपना उत्तर जाँचो:
दशमलव प्रसार — प्रश्नावली 1.3
Decimal expansions — Exercise 1.3 · NCERT 1.3 · प्रश्नावली 1.3
सांत, आवर्ती, या न तोनोट्स
p को q से भाग दो। शेष या तो 0 हो जाता है या दोहराने लगता है। शेष 0 हो तो दशमलव सांत है। 7/8 = 0.875 और 1/2 = 0.5। शेष दोहराए तो दशमलव अनवसानी आवर्ती है। 1/3 = 0.333… और 1/7 = 0.142857142857…।
दोहराते शेषों की गिनती भाजक से कम होती है। 1/3 में एक शेष है और भाजक 3 है। 1/7 में छह शेष हैं और भाजक 7 है। इसलिए 1/17 के आवर्ती ब्लॉक में अधिक से अधिक 16 अंक हो सकते हैं।
परिमेय का दशमलव सांत या अनवसानी आवर्ती होता है। उलटा भी सही है। जो दशमलव न खत्म हो और न दोहराए, वह अपरिमेय है।
हल किया हुआ उदाहरणउदाहरण
प्रश्न: 0.999… को p/q में लिखो।
चरण 1. x = 0.999… रखो।
चरण 2. एक अंक दोहराता है, इसलिए 10 से गुणा करो: 10x = 9.999…।
चरण 3. घटाओ: 10x − x = 9.999… − 0.999… = 9। अतः 9x = 9।
चरण 4. x = 9/9 = 1 = 1/1। इसलिए 0.999… और 1 एक ही परिमेय संख्या हैं।
10-सेकंड रिवीजन
- सांत या आवर्ती दशमलव = परिमेय
- न सांत न आवर्ती = अपरिमेय
- 0.999… = 1
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आवर्ती ब्लॉक पर बार लगाओ। 1/7 का ब्लॉक 142857 है, केवल 1 नहीं।
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1/17 जैसे प्रश्न में भाग पूरा मत करो। अधिकतम अंक भाजक से 1 कम लिखो।
समझ जाँचोसब सही = महारत ★
1
7/8 का दशमलव है —
💡 संकेत:
8 से भाग दो तो शेष 0 आता है।
समझो:
7/8 = 0.875, जो सांत है। अतः परिमेय है।
2
0.10110111011110… अपरिमेय है, क्योंकि न यह खत्म होता है न ब्लॉक दोहराता है।
समझो:
सही। 1 की गिनती बढ़ती जाती है, इसलिए एक ही ब्लॉक नहीं दोहरता।
3
1/3 = 0.______… जहाँ एक ही अंक दोहराता है।
💡 संकेत:
3 से भाग देने पर शेष 1 ही रहता है।
समझो:
1/3 = 0.333…।
4
0.999… बराबर है —
💡 संकेत:
x = 0.999… और 10x − x।
समझो:
9x = 9, अतः x = 1।
5
1/17 के आवर्ती ब्लॉक में अधिक से अधिक ______ अंक हो सकते हैं।
💡 संकेत:
गिनती भाजक से कम होती है।
समझो:
भाजक 17 है, इसलिए अधिक से अधिक 16 अंक।
6
0.454545… को p/q में बदलो। हर चरण लिखो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
x = 0.454545…। दो अंक दोहराते हैं, इसलिए 100x = 45.454545…। 100x − x = 45, अतः 99x = 45। x = 45/99 = 5/11।
अपना उत्तर जाँचो:
संख्या रेखा पर वास्तविक संख्या — प्रश्नावली 1.4
Real numbers on the number line — Exercise 1.4 · NCERT 1.4 · प्रश्नावली 1.4 · √2
एक बिंदु, एक संख्यानोट्स
परिमेय और अपरिमेय मिलकर वास्तविक संख्याएँ हैं। हर वास्तविक संख्या का संख्या रेखा पर ठीक एक बिंदु है। हर बिंदु ठीक एक वास्तविक संख्या है।
दशमलव को पास से देखने का नाम क्रमिक आवर्धन है। 3.765 के लिए पहले 3 और 4 के बीच देखो, फिर 3.7 और 3.8 के बीच, फिर 3.76 और 3.77 के बीच। बिंदु 3.765 उस आखिरी अंतराल में पड़ता है। 4.2626… को चार दशमलव स्थान तक इसी तरह बड़ा करके देखते हैं।
1/2 परिमेय है और √2 अपरिमेय है। दोनों का रेखा पर अपना बिंदु है। 1/2, 0 और 1 के बीच है। √2, 1 और 2 के बीच है, क्योंकि 1² = 1 < 2 < 4 = 2²।
हल किया हुआ उदाहरणउदाहरण
प्रश्न: संख्या रेखा पर √2 अंकित करो। इकाई वही लो जो रेखा पर 0 से 1 तक है।
चरण 1. रेखा पर OA = 1 इकाई खींचो। O मूल बिंदु है।
चरण 2. A पर लंब AB = 1 इकाई खींचो।
सूत्र: पाइथागोरस, OB² = OA² + AB²।
प्रतिस्थापन: OB² = 1² + 1² = 2। अतः OB = √2 इकाई, क्योंकि लंबाई धनात्मक है।
चरण 3. परकार का केंद्र O और त्रिज्या OB लो। रेखा को धनात्मक दिशा में P पर काटो। P ही √2 है।
10-सेकंड रिवीजन
- वास्तविक = परिमेय + अपरिमेय
- √2, 1 और 2 के बीच है
- 3.765 को 3–4, फिर 3.7–3.8, फिर 3.76–3.77 में देखो
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आवर्धन में पहला अंतराल पूर्णांक वाला लिखो। 3.765 का पहला घर 3 और 4 है।
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√5 के लिए पहले √4 = 2 तक जाओ, फिर इकाई लंब जोड़कर कर्ण √5 लो।
समझ जाँचोसब सही = महारत ★
1
√2 संख्या रेखा पर कहाँ है?
💡 संकेत:
1² = 1 और 2² = 4। 2 इनके बीच है।
समझो:
1 < √2 < 2, क्योंकि 1 < 2 < 4।
2
संख्या रेखा का हर बिंदु √m के रूप का है, जहाँ m प्राकृत संख्या है।
समझो:
गलत। 1/2 और −1 ऐसे नहीं लिखे जा सकते। √m ऋण नहीं होता।
3
इकाई भुजा वाले समकोण त्रिभुज का कर्ण ______ इकाई है।
💡 संकेत:
1² + 1²।
समझो:
√(1+1) = √2 इकाई।
4
3.765 के क्रमिक आवर्धन का पहला अंतराल है —
💡 संकेत:
पूर्णांक भाग 3 है।
समझो:
3.765, 3 और 4 के बीच है। फिर 3.7 और 3.8 के बीच।
5
3.765 को संख्या रेखा पर देखने के तीन आवर्धन क्रम में लिखो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
पहले 3 और 4 के बीच। फिर 3.7 और 3.8 के बीच। फिर 3.76 और 3.77 के बीच। बिंदु 3.765 इसी तीसरे अंतराल में है।
अपना उत्तर जाँचो:
संक्रियाएँ और हर का परिमेयकरण — प्रश्नावली 1.5
Operations and rationalising the denominator — Exercise 1.5 · NCERT 1.5 · प्रश्नावली 1.5
क्या परिणाम अपरिमेय रहता हैनोट्स
दो परिमेयों का योग, अंतर, गुणन और शून्येतर भाग फिर परिमेय होता है। अपरिमेय जोड़ और गुणा के क्रम, समूह और वितरण के नियम मानते हैं। पर दो अपरिमेयों का परिणाम हमेशा अपरिमेय नहीं होता। √2 + (−√2) = 0 परिमेय है। √2 × √2 = 2 परिमेय है। √18 / √2 = √9 = 3 परिमेय है।
r परिमेय, r ≠ 0, और s अपरिमेय हो तो r + s, r − s, rs और r/s अपरिमेय हैं। इसलिए 2 + √3 और 2√3 अपरिमेय हैं।
धनात्मक a, b के लिए √(ab) = √a √b, √(a/b) = √a / √b, (√a + √b)(√a − √b) = a − b, (a + √b)(a − √b) = a² − b, और (√a + √b)² = a + 2√(ab) + b। हर को परिमेय बनाने के लिए संयुग्मी से गुणा करते हैं। π = c/d दिखता है, पर c और d दोनों पूर्णांक नहीं हैं, इसलिए π परिमेय नहीं बन जाता।
हल किया हुआ उदाहरणउदाहरण
प्रश्न: 1/(√5 − √2) का हर परिमेय करो।
सूत्र: (√a − √b)(√a + √b) = a − b। यहाँ a = 5 और b = 2।
चरण 1. संयुग्मी √5 + √2 से गुणा और भाग करो। यह 1 से गुणा है।
चरण 2. अंश = √5 + √2।
चरण 3. हर = (√5)² − (√2)² = 5 − 2 = 3।
उत्तर: (√5 + √2)/3। हर 3 परिमेय है।
10-सेकंड रिवीजन
- शून्येतर परिमेय × अपरिमेय = अपरिमेय
- दो अपरिमेयों का योग परिमेय भी हो सकता है
- 1/(√a − √b) का संयुग्मी √a + √b है
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π = परिधि/व्यास लिखते समय यह जोड़ो कि दोनों लंबाइयाँ पूर्णांक नहीं हैं।
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हर में √ हो तो उत्तर में हर परिमेय होना चाहिए। केवल ऊपर-नीचे उलटना काफी नहीं।
समझ जाँचोसब सही = महारत ★
1
2 + √3 है —
💡 संकेत:
परिमेय + अपरिमेय।
समझो:
2 परिमेय है और √3 अपरिमेय है, इसलिए योग अपरिमेय है।
2
√2 × √8 एक परिमेय संख्या है।
समझो:
सही। √2 × √8 = √16 = 4 = 4/1। दो अपरिमेयों का गुणन परिमेय हो सकता है।
3
1/√2 का परिमेय हर वाला रूप ______ है।
💡 संकेत:
√2/√2 से गुणा करो।
समझो:
1/√2 × √2/√2 = √2/2।
4
π = c/d होने पर भी π अपरिमेय रहता है, क्योंकि —
💡 संकेत:
p/q में p और q पूर्णांक चाहिए।
समझो:
परिधि और व्यास वास्तविक लंबाइयाँ हैं। उनका अनुपात पूर्णांकों का अनुपात नहीं है।
5
दो अपरिमेय संख्याओं का योग हमेशा अपरिमेय होता है।
समझो:
गलत। √2 + (−√2) = 0, जो परिमेय है।
6
1/(√7 − √3) का हर परिमेय करो। सूत्र, प्रतिस्थापन और उत्तर लिखो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
सूत्र (√a − √b)(√a + √b) = a − b। a = 7, b = 3। गुणा √7 + √3 से। अंश √7 + √3। हर 7 − 3 = 4। उत्तर (√7 + √3)/4।
अपना उत्तर जाँचो:
वास्तविक संख्याओं के घातांक — प्रश्नावली 1.6
Laws of exponents for real numbers — Exercise 1.6 · NCERT 1.6 · प्रश्नावली 1.6
a > 0 और परिमेय घातांकनोट्स
a > 0 वास्तविक हो और n धनात्मक पूर्णांक हो। तब ⁿ√a वह धनात्मक b है जिसके लिए bⁿ = a। घातांक की भाषा में ⁿ√a = a1/n। m और n में 1 के सिवा कोई सार्व गुणनखंड न हो और n > 0 हो तो am/n = (ⁿ√a)m = ⁿ√(am)।
a > 0 हो और p, q परिमेय हों। तब ap · aq = ap+q, (ap)q = apq, ap / aq = ap−q और ap bp = (ab)p। साथ में a0 = 1 और a−n = 1/an।
43/2 के दो रास्ते एक ही उत्तर देते हैं। (√4)3 = 23 = 8 और √(43) = √64 = 8। ऋणात्मक आधार पर भिन्न घातांक इस अध्याय में नहीं लगाते।
हल किया हुआ उदाहरणउदाहरण
प्रश्न: 322/5 निकालो।
चरण 1. 32 = 25 लिखो।
सूत्र: am/n = (a1/n)m।
प्रतिस्थापन: 321/5 = (25)1/5 = 2।
चरण 2. 322/5 = (321/5)2 = 22 = 4।
जाँच: 45 = (22)5 = 210 = 1024 और 322 = 1024। दोनों रास्ते मिलते हैं।
10-सेकंड रिवीजन
- a > 0 चाहिए
- a^p · a^q = a^(p+q)
- 32^(2/5) = 4
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पहले घातांक जोड़ो या घटाओ, फिर सरल संख्या निकालो। 2^(2/3) · 2^(1/3) = 2^1 = 2।
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ऋणात्मक घातांक को 1/a^n लिखो। 125^(−1/3) = 1/5।
समझ जाँचोसब सही = महारत ★
1
641/2 बराबर है —
💡 संकेत:
धनात्मक वर्गमूल।
समझो:
641/2 = √64 = 8।
2
93/2 = ______।
💡 संकेत:
(√9)³।
समझो:
(√9)³ = 3³ = 27।
3
a > 0 हो तो a0 = 1।
समझो:
सही। शून्य घातांक का मान 1 है, जब आधार धनात्मक हो।
4
22/3 · 21/3 को सरल करो। नियम और प्रतिस्थापन लिखो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
नियम a^p · a^q = a^(p+q)। यहाँ a = 2, p = 2/3, q = 1/3। घातांक 2/3 + 1/3 = 1। अतः 2^1 = 2।
अपना उत्तर जाँचो:
❓ पूरा प्रश्न बैंक — उत्तर व व्याख्या सहित — 59 प्रश्न
प्रकार चुनो। पाठों के 30 जाँच-प्रश्न अलग हैं — हर पाठ में जितने उसके विषय माँगते हैं। सब सही होने पर महारत ★ मिलती है।
BSEB मॉडलअभ्यास · वार्षिक नहीं60 किए · 0 सहीबहुविकल्पीMCQ120 किए · 0 सहीसही / गलतसही-गलत60 किए · 0 सहीरिक्त स्थानरिक्त स्थान60 किए · 0 सहीमिलान करोमिलान20 किए · 0 सहीअभिकथन-कारणअभिकथन-कारण40 किए · 0 सहीसमीकरण संतुलनसंतुलन40 किए · 0 सहीअभिक्रिया पहचानपहचान20 किए · 0 सहीलघु / दीर्घ उत्तरीयअति लघु, लघु, दीर्घ110 किए · 0 सहीCBSE-शैलीPYQ नहीं60 किए · 0 सही
कोई भी प्रश्न «सत्यापित PYQ» नहीं है। BSEB वाला सेट मॉडल अभ्यास है। CBSE वाले प्रश्न CBSE-शैली हैं, किसी वर्ष के पेपर की प्रति नहीं।
बहुविकल्पी
0/12एक विकल्प चुनो। गलत पर संकेत मिलेगा।
1
निम्न में प्राकृत संख्या है —
💡 संकेत:
प्राकृत 1 से शुरू होती हैं।
समझो:
1 प्राकृत है। 0 पूर्ण है, −2 पूर्णांक है, 1/2 परिमेय भिन्न है।
2
0 को p/q में सही रूप है —
💡 संकेत:
हर शून्य नहीं।
समझो:
0 = 0/1। 1/0 और 0/0 मान्य नहीं।
3
√16 है —
💡 संकेत:
16 पूर्ण वर्ग है।
समझो:
√16 = 4, जो परिमेय है।
4
1/7 का आवर्ती ब्लॉक है —
💡 संकेत:
छह शेष, भाजक 7।
समझो:
1/7 = 0.142857142857…।
5
सांत दशमलव है —
💡 संकेत:
1/2 = 0.5।
समझो:
1/2 = 0.5 सांत है। 1/3 और 1/7 आवर्ती हैं। √2 अनावर्ती है।
6
√3 किसके बीच है?
💡 संकेत:
1² = 1, 2² = 4, और 1 < 3 < 4।
समझो:
1 < √3 < 2।
7
√12 / √3 बराबर है —
💡 संकेत:
√(a/b) = √a / √b उलटा।
समझो:
√12 / √3 = √(12/3) = √4 = 2।
8
125−1/3 बराबर है —
💡 संकेत:
ऋणात्मक घातांक उलट देता है।
समझो:
1251/3 = 5, अतः 125−1/3 = 1/5।
9
सर्पिल में OP₄ की लंबाई है —
💡 संकेत:
OPₙ = √n।
समझो:
OP₄ = √4 = 2 इकाई।
10
दो परिमेयों के बीच परिमेय संख्याएँ हैं —
💡 संकेत:
औसत दोहराते जाओ।
समझो:
अनंत। (a+b)/2 बार-बार नया परिमेय देता है।
11
a > 0 के लिए (a3)2 बराबर है —
💡 संकेत:
घातांक गुणा होते हैं।
समझो:
(a3)2 = a6।
12
1/(√2) को √2/2 लिखना कहलाता है —
💡 संकेत:
हर परिमेय बनता है।
समझो:
इसे हर का परिमेयकरण कहते हैं।
सही / गलत
0/61
हर प्राकृत संख्या एक पूर्ण संख्या है।
समझो:
सही। 1, 2, 3, … पूर्ण संख्याओं में हैं।
2
हर परिमेय संख्या एक पूर्ण संख्या है।
समझो:
गलत। 1/2 परिमेय है, पर पूर्ण संख्या नहीं।
3
हर वास्तविक संख्या अपरिमेय है।
समझो:
गलत। परिमेय संख्याएँ भी वास्तविक हैं।
4
π परिमेय है क्योंकि उसे c/d लिखा जाता है।
समझो:
गलत। c और d दोनों पूर्णांक नहीं हैं। π अपरिमेय है।
5
2√5 अपरिमेय है।
समझो:
सही। 2 शून्येतर परिमेय है और √5 अपरिमेय है।
6
a > 0 हो तो a5 / a2 = a3।
समझो:
सही। घातांक 5 − 2 = 3।
रिक्त स्थान
0/61
पूर्ण संख्याओं के समूह का चिह्न ______ है।
💡 संकेत:
शून्य शामिल है।
समझो:
0, 1, 2, 3, …।
2
√9 = ______।
💡 संकेत:
धनात्मक जड़।
समझो:
3² = 9।
3
1/2 का दशमलव ______ है।
💡 संकेत:
आधा।
समझो:
सांत दशमलव।
4
√2 × √2 = ______।
💡 संकेत:
√(2×2)।
समझो:
दो अपरिमेयों का गुणन परिमेय हो गया।
5
641/2 = ______।
💡 संकेत:
8 × 8 = 64।
समझो:
√64 = 8।
6
a > 0 के लिए a0 = ______।
💡 संकेत:
कोई भी धनात्मक आधार।
समझो:
शून्य घातांक।
मिलान करो
0/21
संख्या को उसके प्रकार से मिलाओ।
स्तंभ B: A. सांत परिमेय · B. आवर्ती परिमेय · C. अपरिमेय दशमलव नहीं, जड़ · D. अपरिमेय, वृत्त का अनुपात
1. √2
2. 0.875
3. 0.333…
4. π
समझो:
√2 जड़ है, 0.875 सांत है, 0.333… आवर्ती है, π अपरिमेय अनुपात है।
2
नियम को उसके रूप से मिलाओ। a > 0।
स्तंभ B: A. a^(p−q) · B. (ab)^p · C. a^(p+q) · D. a^(pq)
1. गुणा
2. घात पर घात
3. भाग
4. समान घातांक
समझो:
गुणा जोड़ता है, घात गुणा करता है, भाग घटाता है, a^p b^p = (ab)^p।
अभिकथन–कारण
0/4पहले दोनों कथन जाँचो, फिर देखो कि कारण व्याख्या है या नहीं।
1
अभिकथन (A): √2 अपरिमेय है।
कारण (R): √2 को पूर्णांकों के p/q रूप में नहीं लिखा जा सकता।
समझो:
दोनों सही हैं और R, A की व्याख्या है।
2
अभिकथन (A): 0.333… परिमेय है।
कारण (R): हर पूर्णांक परिमेय है।
समझो:
दोनों सही हैं, पर R इस दशमलव की व्याख्या नहीं है। व्याख्या यह है कि दशमलव आवर्ती है।
3
अभिकथन (A): 1 और 2 के बीच अनंत परिमेय संख्याएँ हैं।
कारण (R): √4 अपरिमेय है।
समझो:
A सही है। R गलत है, क्योंकि √4 = 2 परिमेय है।
4
अभिकथन (A): हर वास्तविक संख्या अपरिमेय है।
कारण (R): परिमेय दशमलव सांत या आवर्ती होता है।
समझो:
A गलत है। R सही है।
गुणांक अभ्यास
0/4ये समीकरण इस गणित अध्याय के परिणाम नहीं हैं। यह केवल गुणांक भरने का अभ्यास है। खाली गुणांक का अर्थ 1 है।
1
यह गुणांक का अभ्यास है, संख्या पद्धति अध्याय का परिणाम नहीं। H2 + O2 से पानी बनता है। गुणांक भरकर संतुलित करो (खाली = 1)।
H2 + O2 → H2O
समझो: 2H2 + O2 → 2H2O
2
यह गुणांक का अभ्यास है, संख्या पद्धति अध्याय का परिणाम नहीं। N2 + H2 से NH3 बनता है। गुणांक भरकर संतुलित करो (खाली = 1)।
N2 + H2 → NH3
समझो: N2 + 3H2 → 2NH3
3
यह गुणांक का अभ्यास है, संख्या पद्धति अध्याय का परिणाम नहीं। C + O2 से CO2 बनता है। गुणांक भरकर संतुलित करो (खाली = 1)।
C + O2 → CO2
समझो: C + O2 → CO2
4
यह गुणांक का अभ्यास है, संख्या पद्धति अध्याय का परिणाम नहीं। H2 + Cl2 से HCl बनता है। गुणांक भरकर संतुलित करो (खाली = 1)।
H2 + Cl2 → HCl
समझो: H2 + Cl2 → 2HCl
वर्गीकरण
0/21
हर संख्या को परिमेय या अपरिमेय में रखो।
√4
√2
0.25
π
समझो:
√4 = 2 और 0.25 = 1/4 परिमेय हैं। √2 और π अपरिमेय हैं।
2
दशमलव का प्रकार चुनो।
7/8
1/3
√2
1/2
समझो:
7/8 और 1/2 सांत हैं। 1/3 आवर्ती है। √2 अनावर्ती है।
अति लघु उत्तरीय
0/41
परिमेय संख्या की परिभाषा एक पंक्ति में लिखो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
जिसे p/q लिखा जा सके, p और q पूर्णांक हों और q ≠ 0, वह परिमेय है।
अपना उत्तर जाँचो:
2
3 और 4 के बीच दो परिमेय संख्याएँ लिखो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
7/2 और 13/4। 7/2 = 3.5। 13/4 = 3.25। दोनों 3 और 4 के बीच हैं।
अपना उत्तर जाँचो:
3
अपरिमेय संख्या किसे कहते हैं? एक उदाहरण दो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
जिसे p/q में न लिखा जा सके वह अपरिमेय है। उदाहरण √2।
अपना उत्तर जाँचो:
4
a > 0 के लिए a0 का मान लिखो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
a0 = 1।
अपना उत्तर जाँचो:
लघु उत्तरीय
0/41
0.272727… को p/q में बदलो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
x = 0.272727…। 100x = 27.272727…। 99x = 27। x = 27/99 = 3/11।
अपना उत्तर जाँचो:
2
1/√7 का हर परिमेय करो। चरण लिखो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
1/√7 × √7/√7 = √7/7। हर 7 परिमेय है।
अपना उत्तर जाँचो:
3
163/4 निकालो। दोनों रास्ते में से एक पूरा दिखाओ।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
16 = 24। 161/4 = 2। 163/4 = 23 = 8।
अपना उत्तर जाँचो:
4
दिखाओ कि √8 × √2 परिमेय है और 3 + √2 अपरिमेय है।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
√8 × √2 = √16 = 4, परिमेय। 3 परिमेय है और √2 अपरिमेय है, इसलिए योग अपरिमेय है।
अपना उत्तर जाँचो:
दीर्घ उत्तरीय
0/31
√2 अपरिमेय है, इसका विरोध वाला प्रमाण लिखो। अंत में बताओ कि √4 इस प्रमाण में क्यों नहीं फँसता।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
मान लो √2 = p/q सहअभाज्य रूप में। तब p² = 2q², अतः p सम है। p = 2m से q² = 2m², अतः q भी सम है। यह सहअभाज्य होने से टकराता है। √4 = 2 = 2/1 पहले से p/q में है, इसलिए उसे अपरिमेय मानकर विरोध नहीं निकालते।
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2
वर्गमूल सर्पिल के पहले तीन कर्ण निकालो। फिर 3.765 के तीन आवर्धन लिखो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
OP₁ = 1। OP₂ = √(1²+1²) = √2। OP₃ = √(2+1) = √3। OP₄ = √(3+1) = √4 = 2। 3.765 पहले 3 और 4 के बीच, फिर 3.7 और 3.8 के बीच, फिर 3.76 और 3.77 के बीच है।
अपना उत्तर जाँचो:
3
घातांक के चार नियम लिखो। फिर 22/3 · 21/3 और 71/2 / 71/4 सरल करो। आधार की शर्त भी लिखो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
a > 0 और p, q परिमेय। a^p a^q = a^(p+q), (a^p)^q = a^(pq), a^p/a^q = a^(p−q), a^p b^p = (ab)^p। पहला: 2^(2/3+1/3) = 2^1 = 2। दूसरा: 7^(1/2−1/4) = 7^(1/4)।
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BSEB मॉडल प्रश्न · अभ्यास
0/6यह मॉडल सेट अभ्यास के लिए है। किसी वर्ष की वार्षिक परीक्षा का प्रश्न नहीं है।
1
निम्न में पूर्ण संख्या नहीं है —
💡 संकेत:
ऋण पूर्ण संख्या नहीं होती।
समझो:
−1 पूर्णांक है, पूर्ण संख्या नहीं।
2
0.999… का p/q रूप है —
💡 संकेत:
9x = 9।
समझो:
0.999… = 1 = 1/1।
3
321/5 = ______।
💡 संकेत:
2।
समझो:
25 = 32।
4
वर्गमूल सर्पिल में हर नया लंब 1 इकाई का है।
समझो:
सही। यही प्रश्नावली 1.2 का कक्षा-कार्य है। OPₙ = √n।
5
5 और 6 के बीच चार परिमेय संख्याएँ हर 6 पर लिखो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
5 = 30/6 और 6 = 36/6। बीच में 31/6, 32/6, 33/6, 34/6।
अपना उत्तर जाँचो:
6
परिमेय और अपरिमेय में दशमलव से अंतर लिखो। 0.5, 1/3 और √2 को वर्गीकृत करो। 0.999… पर एक वाक्य लिखो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
परिमेय दशमलव सांत या आवर्ती होता है। अपरिमेय दशमलव न सांत होता है न आवर्ती। 0.5 सांत परिमेय है, 1/3 आवर्ती परिमेय है, √2 अपरिमेय है। 0.999… = 1, इसलिए वह परिमेय है।
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CBSE-शैली प्रश्न
0/6ये योग्यता-आधारित अभ्यास प्रश्न हैं। किसी पिछले प्रश्नपत्र की प्रति नहीं हैं।
1
एक छात्र कहता है कि √9 अपरिमेय है क्योंकि जड़ का चिह्न है। सही निर्णय है —
💡 संकेत:
पूर्ण वर्ग जाँचो।
समझो:
√9 = 3 = 3/1। जड़ का चिह्न अपने आप अपरिमेय नहीं बनाता।
2
संख्या रेखा पर बिंदु A, 1 और 2 के बीच है और उसका दशमलव न खत्म होता है न दोहराता है। A है —
💡 संकेत:
दशमलव का प्रकार देखो।
समझो:
ऐसा दशमलव अपरिमेय संख्या का है। √2 इसी तरह 1 और 2 के बीच है।
3
अभिकथन (A): 2 + √5 अपरिमेय है।
कारण (R): शून्येतर परिमेय और अपरिमेय का योग अपरिमेय होता है।
समझो:
दोनों सही हैं और R, A की व्याख्या है।
4
अभिकथन (A): √2 × √8 परिमेय है।
कारण (R): दो अपरिमेय संख्याओं का गुणनफल हमेशा अपरिमेय होता है।
समझो:
A सही है क्योंकि गुणन 4 है। R गलत है।
5
रीता ने 1/(√5 − √2) का हर नहीं बदला और उत्तर 1/(√5 − √2) ही छोड़ दिया। उसे क्या करना चाहिए? अंतिम मान लिखो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
संयुग्मी √5 + √2 से गुणा और भाग करे। हर (√5)² − (√2)² = 3। उत्तर (√5 + √2)/3।
अपना उत्तर जाँचो:
6
एक प्रश्न में आधार −8 और घातांक 1/3 दिया है। इस अध्याय की शर्त के अनुसार छात्र क्या सावधानी लिखे?
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
इस अध्याय में घातांक के नियम धनात्मक वास्तविक आधार के लिए हैं। −8 धनात्मक नहीं है, इसलिए a^(m/n) वाला रूप यहाँ नहीं लगाते।
अपना उत्तर जाँचो:
🏛️ बोर्ड परीक्षा कॉर्नर — बिहार बोर्ड (BSEB)— CBSE
ऊपर «BSEB | CBSE» से बोर्ड बदलो। पाठ वही NCERT है।
BSEB मॉडल · अभ्यासबोर्ड टिप
इस पेज पर वार्षिक परीक्षा का सत्यापित प्रश्न नहीं है, क्योंकि स्रोत पृष्ठ नहीं जोड़ा गया। नीचे मॉडल सेट बोर्ड के पैटर्न पर अभ्यास के लिए है।
सत्यापित लेबल तभी लगेगा जब प्रश्न का स्रोत पृष्ठ उपलब्ध हो।
CBSE-शैली · योग्यता-आधारित
ये केस और अभिकथन-कारण अभ्यास हैं। इन्हें CBSE का पुराना प्रश्न मत समझो।
🔁 स्पेस्ड रिव्यू — आज के प्रश्न
गलत प्रश्न जल्दी लौटते हैं, सही वाले कुछ दिन बाद।
🧠 आपने क्या सीखा + समीकरण-पत्रक
आपने क्या सीखा
- परिमेय संख्या p/q है, जहाँ p, q पूर्णांक हैं और q ≠ 0। शून्य भी परिमेय है।
- अपरिमेय संख्या p/q में नहीं लिखी जा सकती। √2 अपरिमेय है और √4 = 2 परिमेय है।
- परिमेय का दशमलव सांत या अनवसानी आवर्ती होता है। अपरिमेय का दशमलव न खत्म होता है न दोहराता है।
- हर वास्तविक संख्या का संख्या रेखा पर ठीक एक बिंदु है, और हर बिंदु एक वास्तविक संख्या है।
- शून्येतर परिमेय और अपरिमेय का योग, अंतर, गुणन और भाग अपरिमेय होता है। दो अपरिमेय का परिणाम दोनों हो सकता है।
- a > 0 और p, q परिमेय हों तो घातांक के चार नियम लगते हैं। हर का परिमेयकरण संयुग्मी से होता है।
| क्या | याद रखने लायक |
|---|---|
| परिमेय | p/q, q ≠ 0 |
| अपरिमेय | not p/q, such as √2 |
| सांत | 7/8 = 0.875 |
| आवर्ती | 1/3 = 0.333… |
| हर का परिमेयकरण | 1/√2 = √2/2 |
| घातांक | a^p · a^q = a^(p+q), a > 0 |
नोट्स मूल लेखन हैं। पाठ्यपुस्तक केवल क्रम और क्रियाकलाप-संख्या के लिए संदर्भ है। «सत्यापित» केवल स्रोत पृष्ठ वाले प्रश्न पर लिखा जाएगा।