1
(−4, 0) स्थित है —
💡 संकेत:
दूसरी संख्या 0 है।
समझो:
y = 0, इसलिए x-अक्ष।
कक्षा 10 · गणित · अध्याय 7 · बिहार बोर्ड (BSEB)CBSE · NCERT 2026-27
निर्देशांक ज्यामिति
Coordinate Geometry
इस पेज को ऐसे पढ़ो:
1. पढ़ो — निर्देशांक · दूरी सूत्र · संरेख जाँच · आंतरिक विभाजन · मध्यबिंदु, चित्र, हल उदाहरण, बोर्ड टिप
2. जाँचो — हर पाठ के अपने प्रश्न; संख्या पाठ के हिसाब से
3. महारत ★ — उस पाठ के सब सही। गलत वाले «दोबारा करो»
4. याद रखने वाला चित्र दो बिंदुओं के बीच समकोण बनाकर दूरी √[(x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²] दिखाता है।
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- 1 तल पर बिंदु का पता
- 2 दूरी सूत्र
- 3 संरेख बिंदु और त्रिभुज का प्रकार
- 4 समदूरस्थ बिंदु
- 5 आंतरिक विभाजन सूत्र
- 6 मध्यबिंदु, त्रिभाजन और विकर्ण
- अध्याय-विजेता — सभी पाठ महारत ★
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तल पर बिंदु का पता
Locating a point on the plane · NCERT 7.1 · भुज x · कोटि y
एक बिंदु के लिए दो संख्याएँनोट्स
तल पर जगह बताने के लिए दो लंब अक्ष चाहिए। y-अक्ष से दूरी भुज (x) है। x-अक्ष से दूरी कोटि (y) है।
x-अक्ष का हर बिंदु (x, 0) है। y-अक्ष का हर बिंदु (0, y) है। मूलबिंदु (0, 0) है। एक ही आकार की दो संख्याएँ बिना क्रम के बिंदु नहीं बनातीं: (2, 5) और (5, 2) अलग जगह हैं।
कागज पर अक्ष खींचकर बिंदु जोड़ोक्रियाकलाप
अनुभाग 7.1 एक चित्र बनवाता है। ग्राफ कागज पर लंब अक्ष खींचो। दिए बिंदु क्रम से जोड़ो। आँख से यह देखो कि कौन-से बिंदु x-अक्ष पर बैठे हैं। वहाँ दूसरी संख्या 0 होगी। y-अक्ष पर पहली संख्या 0 होगी।
हल किया हुआ उदाहरणउदाहरण
प्रश्न: बिंदु A(4, 0), B(0, 7) और C(−3, 5) किस अक्ष पर हैं?
सूत्र: y = 0 हो तो x-अक्ष। x = 0 हो तो y-अक्ष। दोनों शून्य न हों तो कोई अक्ष नहीं।
प्रतिस्थापन: A में y = 0। B में x = 0। C में x = −3 और y = 5।
उत्तर: A, x-अक्ष पर है। B, y-अक्ष पर है। C किसी अक्ष पर नहीं है।
10-सेकंड रिवीजन
- (x, y) में x भुज है, y कोटि
- x-अक्ष पर कोटि 0 होती है
- (2, 5) और (5, 2) एक बिंदु नहीं
बोर्ड टिप · BSEBबोर्ड टिप
BSEB में भुज और कोटि दोनों शब्द लिखो। केवल x और y अधूरा पड़ता है।
बोर्ड टिप · CBSEबोर्ड टिप
CBSE में अक्ष का नाम तब लिखो जब एक निर्देशांक सच में शून्य हो।
समझ जाँचोसब सही = महारत ★
2
(3, 5) और (5, 3) एक ही बिंदु हैं।
समझो:
गलत — क्रम बदलते ही जगह बदलती है।
3
y-अक्ष के बिंदु का भुज ______ होता है।
💡 संकेत:
पहली संख्या।
समझो:
0। रूप (0, y) है।
4
कोटि मापी जाती है —
💡 संकेत:
y, x-अक्ष से ऊपर या नीचे है।
समझो:
कोटि x-अक्ष से दूरी है। भुज y-अक्ष से दूरी है।
5
मूलबिंदु और बिंदु (0, −6) किस अक्ष पर हैं? एक पंक्ति में कारण लिखो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
दोनों का भुज 0 है, इसलिए दोनों y-अक्ष पर हैं। मूलबिंदु दोनों अक्षों का कटान भी है।
अपना उत्तर जाँचो:
दूरी सूत्र
The distance formula · NCERT 7.2 · प्रश्नावली 7.1 · प्रश्न 1 और 2
पाइथागोरस से दूरीनोट्स
P(x1, y1) और Q(x2, y2) के बीच क्षैतिज कदम x2 − x1 है और ऊर्ध्वाधर कदम y2 − y1। PQ = √[(x2 − x1)² + (y2 − y1)²]
वर्ग के कारण क्रम (x1, y1) पहले हो या (x2, y2), दूरी वही रहती है। वर्गमूल का ऋण चिह्न लंबाई नहीं है। प्रश्नावली 7.1 के पहले प्रश्न जोड़े की दूरी माँगते हैं। इकाई वही रखो जो अक्ष पर दी हो।
पहले दोनों अंतर, फिर वर्ग, फिर मूलक्रियाकलाप
बिंदु (1, 2) और (4, 6) लो। अंतर 4 − 1 = 3 और 6 − 2 = 4। वर्ग 9 और 16। योग 25। धनात्मक मूल 5। अगर दोनों बिंदु एक क्षैतिज रेखा पर हों तो ऊर्ध्वाधर अंतर 0 होता है और दूरी केवल |x2 − x1| रह जाती है।
हल किया हुआ उदाहरणउदाहरण
प्रश्न: (1, 2) और (4, 6) के बीच की दूरी निकालो।
सूत्र: PQ = √[(x2 − x1)² + (y2 − y1)²]।
प्रतिस्थापन: √[(4 − 1)² + (6 − 2)²] = √[9 + 16] = √25।
उत्तर: 5 इकाई। जाँच: 3-4-5 वाला समकोण।
10-सेकंड रिवीजन
- दूरी = √[(Δx)² + (Δy)²]
- धनात्मक मूल ही लंबाई है
- एक ही क्षैतिज रेखा पर दूरी |Δx| है
बोर्ड टिप · BSEBबोर्ड टिप
BSEB में अंतर, वर्गों का योग और मूल तीन पंक्तियों में लिखो।
बोर्ड टिप · CBSEबोर्ड टिप
CBSE में √25 को 5 लिखो, और −5 को दूरी मत कहो।
समझ जाँचोसब सही = महारत ★
1
(1, 2) और (4, 6) की दूरी है —
💡 संकेत:
3² + 4² = 25।
समझो:
√25 = 5 इकाई।
2
(4, 6) से (1, 2) की दूरी, उलटी जोड़ी से अलग होती है।
समझो:
गलत — वर्ग अंतर का चिह्न मिटा देता है।
3
(0, 0) और (6, 8) की दूरी ______ इकाई है।
💡 संकेत:
36 + 64 = 100।
समझो:
√100 = 10 इकाई।
4
(2, 5) और (2, −2) के बीच की दूरी निकालो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
Δx = 0 और Δy = −2 − 5 = −7। दूरी √[0 + 49] = 7 इकाई। एक ही ऊर्ध्वाधर रेखा पर यह |Δy| है।
अपना उत्तर जाँचो:
संरेख बिंदु और त्रिभुज का प्रकार
Collinear points and the type of triangle · प्रश्नावली 7.1 · प्रश्न 3 से 6
तीन दूरियाँ तय करती हैंनोट्स
तीन बिंदुओं की तीन दूरियाँ निकालो। दो छोटी दूरियों का योग सबसे बड़ी के बराबर हो तो बिंदु संरेख हैं। योग बड़ा हो तो वे त्रिभुज बनाते हैं।
दो भुजाएँ बराबर हों तो समद्विबाहु। तीनों बराबर हों तो समबाहु। सबसे बड़ी भुजा का वर्ग बाकी दो के वर्गों के योग के बराबर हो तो समकोण। प्रश्नावली 7.1 के प्रश्न 3 से 6 यही जाँच हैं। वर्ग के लिए चारों भुजाएँ बराबर और दोनों विकर्ण बराबर होने चाहिए।
सबसे बड़ी दूरी को एक तरफ रखोक्रियाकलाप
(0, 0), (1, 1) और (2, 2) की दूरियाँ √2, √2 और 2√2 हैं। √2 + √2 = 2√2, इसलिए संरेख। (0, 0), (4, 0) और (2, 3) में भुजाएँ 4, √13 और √13 हैं। √13 + √13 > 4, इसलिए त्रिभुज है, और दो भुजाएँ बराबर हैं, इसलिए समद्विबाहु।
हल किया हुआ उदाहरणउदाहरण
प्रश्न: (0, 0), (4, 0) और (2, 3) किस प्रकार का त्रिभुज बनाते हैं?
सूत्र: दूरी √[(Δx)² + (Δy)²], फिर भुजाओं की तुलना।
प्रतिस्थापन: आधार √[(4 − 0)² + 0] = 4। अन्य दो √[(2 − 0)² + (3 − 0)²] = √13 और √[(2 − 4)² + (3 − 0)²] = √13।
उत्तर: दो भुजाएँ √13 इकाई हैं, इसलिए समद्विबाहु त्रिभुज। समबाहु नहीं, क्योंकि आधार 4 है।
10-सेकंड रिवीजन
- संरेख: छोटी + छोटी = बड़ी
- दो बराबर भुजाएँ समद्विबाहु
- वर्ग में भुजा और विकर्ण दोनों जाँचो
बोर्ड टिप · BSEBबोर्ड टिप
BSEB में तीनों दूरियाँ संख्या में लिखो, फिर योग की पंक्ति।
बोर्ड टिप · CBSEबोर्ड टिप
CBSE में “लगभग बराबर” से समद्विबाहु मत कहो। वर्गमूल ठीक बराबर होना चाहिए।
समझ जाँचोसब सही = महारत ★
1
(0, 0), (1, 1), (2, 2) हैं —
💡 संकेत:
√2 + √2 = 2√2।
समझो:
दूरियों का योग बड़ी दूरी के बराबर है, इसलिए संरेख।
2
(0, 0), (4, 0) और (2, 3) समबाहु त्रिभुज बनाते हैं।
समझो:
गलत — दो भुजाएँ √13 हैं और आधार 4 है। समद्विबाहु है।
3
(0, 0) और (4, 0) की दूरी ______ इकाई है।
💡 संकेत:
केवल x का अंतर।
समझो:
4 इकाई।
4
वर्ग कहने से पहले काफी नहीं है —
💡 संकेत:
समचतुर्भुज की भुजाएँ भी बराबर होती हैं।
समझो:
भुजाओं के साथ विकर्ण भी बराबर होने चाहिए।
5
(1, 1), (1, 3), (3, 3), (3, 1) एक वर्ग के शीर्ष हैं।
समझो:
सही — हर भुजा 2 इकाई और दोनों विकर्ण 2√2 इकाई।
6
(0, 0), (3, 0) और (0, 4) समकोण त्रिभुज है या नहीं? दूरियाँ दिखाओ।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
भुजाएँ 3, 4 और 5 इकाई। 3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5²। सबसे बड़ी भुजा के सामने समकोण है।
अपना उत्तर जाँचो:
समदूरस्थ बिंदु
A point the same distance away · प्रश्नावली 7.1 · प्रश्न 7 से 10
दो दूरियाँ बराबर रखोनोट्स
x-अक्ष पर बिंदु (x, 0) होता है। यदि वह (x1, y1) और (x2, y2) से समदूरस्थ हो तो (x − x1)² + (0 − y1)² = (x − x2)² + (0 − y2)²।
y अज्ञात हो और दूरी दी हो तो (Δx)² + (Δy)² = (दूरी)²। वर्ग समीकरण के दो मूल हो सकते हैं। दोनों लिखो, जब तक प्रश्न एक ही माँगे। प्रश्नावली 7.1 के आखिरी प्रश्न यही हैं।
अक्ष का बिंदु लिखकर समीकरण बनाओक्रियाकलाप
(2, −5) और (−2, 9) से समदूरस्थ x-अक्ष का बिंदु (x, 0) है। (x − 2)² + 25 = (x + 2)² + 81। वर्ग खोलो। x² दोनों तरफ कट जाता है। −4x + 29 = 4x + 85। x = −7। बिंदु (−7, 0)। दूरी दोनों तरफ √106 इकाई निकलती है।
हल किया हुआ उदाहरणउदाहरण
प्रश्न: P(2, −3) और Q(10, y) की दूरी 10 इकाई है। y निकालो।
सूत्र: (x2 − x1)² + (y2 − y1)² = (दूरी)²।
प्रतिस्थापन: (10 − 2)² + (y + 3)² = 10²। 64 + (y + 3)² = 100। (y + 3)² = 36।
उत्तर: y + 3 = 6 या y + 3 = −6। इसलिए y = 3 या y = −9। दोनों दूरियाँ 10 इकाई हैं।
10-सेकंड रिवीजन
- x-अक्ष पर बिंदु (x, 0) लिखो
- समदूरस्थ का अर्थ दोनों दूरियों के वर्ग बराबर
- ± दोनों मूल रखो जब दोनों दूरी दें
बोर्ड टिप · BSEBबोर्ड टिप
BSEB में x² के कटने के बाद की पंक्ति दिखाओ। सीधे x = −7 मत लिखो।
बोर्ड टिप · CBSEबोर्ड टिप
CBSE में एक ही मूल लिखना अधूरा है जब (y + 3)² = 36 हो।
समझ जाँचोसब सही = महारत ★
1
(2, −5) और (−2, 9) से समदूरस्थ x-अक्ष का बिंदु है —
💡 संकेत:
(x − 2)² + 25 = (x + 2)² + 81।
समझो:
x = −7। बिंदु (−7, 0)।
2
P(2, −3) से 10 इकाई दूर Q(10, y) के लिए y का केवल एक मान है।
समझो:
गलत — y = 3 और y = −9 दोनों सही हैं।
3
(3, 4) की मूलबिंदु से दूरी ______ इकाई है।
💡 संकेत:
√(9 + 16)।
समझो:
5 इकाई।
4
मूलबिंदु से (5, 12) की दूरी है —
💡 संकेत:
25 + 144 = 169।
समझो:
√169 = 13 इकाई।
5
x-अक्ष पर वह बिंदु निकालो जो (0, 4) और (6, −2) से समदूरस्थ हो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
बिंदु (x, 0)। (x − 0)² + (0 − 4)² = (x − 6)² + (0 + 2)²। x² + 16 = x² − 12x + 36 + 4। 12x = 24। x = 2। बिंदु (2, 0)। दोनों दूरियाँ √20 इकाई हैं।
अपना उत्तर जाँचो:
आंतरिक विभाजन सूत्र
The internal section formula · NCERT 7.3 · प्रश्नावली 7.2 · प्रश्न 1, 4, 5
m1 दूसरे बिंदु के साथनोट्स
P, बिंदु A(x1, y1) और B(x2, y2) को अंदर से m1 : m2 में बाँटे, और AP : PB = m1 : m2 हो। x = (m1 x2 + m2 x1) / (m1 + m2), y = (m1 y2 + m2 y1) / (m1 + m2)
m1, B के अंकों के साथ जाता है। अनुपात पलटने से बिंदु दूसरी जगह चला जाता है। यह किताब बाहरी विभाजन नहीं पढ़ाती। प्रश्नावली 7.2 के शुरू के प्रश्न आंतरिक अनुपात के हैं। x-अक्ष पर काटने वाले बिंदु की कोटि 0 होती है।
अनुपात के हिस्से को अक्षरों से बाँधोक्रियाकलाप
A(2, 3), B(8, 15), अनुपात 1 : 2। m1 = 1, B के साथ। m2 = 2, A के साथ। x = (1×8 + 2×2) / 3 = 4। y = (1×15 + 2×3) / 3 = 7। बिंदु (4, 7)। जाँच: AP = 2√5 और PB = 4√5, अनुपात 1 : 2।
हल किया हुआ उदाहरणउदाहरण
प्रश्न: A(1, −2) और B(4, 4) को जोड़ने वाला खंड x-अक्ष से किस अनुपात में कटता है? बिंदु भी निकालो।
सूत्र: y = (m1 y2 + m2 y1) / (m1 + m2) = 0।
प्रतिस्थापन: (m1×4 + m2×(−2)) / (m1 + m2) = 0। 4 m1 = 2 m2। m1 : m2 = 1 : 2। x = (1×4 + 2×1) / 3 = 2।
उत्तर: अनुपात 1 : 2। बिंदु (2, 0)। कोटि 0 है, इसलिए यह x-अक्ष पर है।
10-सेकंड रिवीजन
- AP : PB = m1 : m2
- m1, B के साथ और m2, A के साथ
- बाहरी विभाजन इस अध्याय में नहीं
बोर्ड टिप · BSEBबोर्ड टिप
BSEB में “आंतरिक” शब्द और AP : PB की पंक्ति दोनों लिखो।
बोर्ड टिप · CBSEबोर्ड टिप
CBSE में m1 और m2 अदला-बदली एक आम गलती है। अनुपात 2 : 1 को 1 : 2 मत पढ़ो।
समझ जाँचोसब सही = महारत ★
1
A(2, 3) और B(8, 15) को 1 : 2 में बाँटने वाला बिंदु है —
💡 संकेत:
m1 = 1, B के साथ।
समझो:
x = 12/3 = 4, y = 21/3 = 7।
2
इस अध्याय का विभाजन सूत्र बाहरी बिंदु के लिए भी है।
समझो:
गलत — किताब केवल आंतरिक विभाजन देती है।
3
A(1, −2) और B(4, 4) का खंड x-अक्ष को अनुपात ______ में काटता है।
💡 संकेत:
4 m1 = 2 m2।
समझो:
1 : 2। बिंदु (2, 0)।
4
(3, 4), A(1, 2) और B(7, 8) को किस अनुपात में बाँटता है?
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
मान लो AP : PB = k : 1। (7k + 1) / (k + 1) = 3। 7k + 1 = 3k + 3। 4k = 2। k = 1/2। अनुपात 1 : 2। y की जाँच: (1×8 + 2×2) / 3 = 4।
अपना उत्तर जाँचो:
मध्यबिंदु, त्रिभाजन और विकर्ण
Midpoint, trisection and diagonals · प्रश्नावली 7.2 · प्रश्न 2 और 6 से 10
1 : 1 वाला विभाजन मध्यबिंदु हैनोट्स
P(x1, y1) और Q(x2, y2) का मध्यबिंदु ((x1 + x2)/2, (y1 + y2)/2) है।
त्रिभाजन के बिंदु अनुपात 1 : 2 और 2 : 1 देते हैं। चार बराबर भागों के लिए 1 : 3, 1 : 1 और 3 : 1। समांतर चतुर्भुज में विकर्ण एक ही मध्यबिंदु पर काटते हैं। व्यास AB का केंद्र वही मध्यबिंदु है। प्रश्नावली 7.2 का समचतुर्भुज वाला प्रश्न विकर्णों की दूरी माँगता है। क्षेत्रफल = (1/2) × विकर्ण₁ × विकर्ण₂।
मध्यबिंदु को दोनों विकर्णों पर अलग-अलग निकालोक्रियाकलाप
शीर्ष क्रम से (1, 2), (4, y), (x, 6), (3, 5) हों तो विकर्ण (1, 2) से (x, 6) और (4, y) से (3, 5) हैं। मध्य ((1 + x)/2, 4) और (7/2, (y + 5)/2)। बराबर करने पर x = 6 और y = 3। व्यास में केंद्र दिया हो तो वही जोड़ उलटा चलता है।
| माँग | अनुपात | उदाहरण |
|---|---|---|
| मध्यबिंदु | 1 : 1 | (0, 0) और (8, 0) का (4, 0) |
| त्रिभाजन | 1 : 2 और 2 : 1 | (3, 0) और (6, 0) |
| चार भाग | 1 : 3, 1 : 1, 3 : 1 | (2, 0), (4, 0), (6, 0) |
हल किया हुआ उदाहरणउदाहरण
प्रश्न: वृत्त का केंद्र (2, −3) है और व्यास का एक सिरा B(1, 4) है। दूसरा सिरा A निकालो।
सूत्र: केंद्र = ((x + 1)/2, (y + 4)/2)।
प्रतिस्थापन: (x + 1)/2 = 2, इसलिए x + 1 = 4। (y + 4)/2 = −3, इसलिए y + 4 = −6।
उत्तर: A(3, −10)। जाँच: मध्य ((3 + 1)/2, (−10 + 4)/2) = (2, −3)।
10-सेकंड रिवीजन
- मध्यबिंदु निर्देशांकों का औसत है
- त्रिभाजन 1 : 2 और 2 : 1
- समचतुर्भुज का क्षेत्रफल आधा गुणन विकर्णों का
बोर्ड टिप · BSEBबोर्ड टिप
BSEB में व्यास वाले प्रश्न में मध्यबिंदु की जाँच की पंक्ति अंत में लिखो।
बोर्ड टिप · CBSEबोर्ड टिप
CBSE में त्रिभाजन के दोनों बिंदु लिखो। केवल मध्यबिंदु अधूरा है।
समझ जाँचोसब सही = महारत ★
1
(2, −4) और (8, 6) का मध्यबिंदु है —
💡 संकेत:
औसत लो।
समझो:
((2+8)/2, (−4+6)/2) = (5, 1)।
2
(0, 0) और (9, 0) के त्रिभाजन बिंदु (3, 0) और (6, 0) हैं।
समझो:
सही — अनुपात 1 : 2 और 2 : 1।
3
केंद्र (2, −3) और B(1, 4) हो तो व्यास का दूसरा सिरा ______ है।
💡 संकेत:
मध्यबिंदु उलटा।
समझो:
A(3, −10)।
4
शीर्ष (1, 2), (4, y), (x, 6), (3, 5) वाले समांतर चतुर्भुज में x और y हैं —
💡 संकेत:
विकर्णों का एक मध्यबिंदु।
समझो:
x = 6 और y = 3।
5
समचतुर्भुज का क्षेत्रफल उसके विकर्णों के गुणनफल का आधा होता है।
समझो:
सही — प्रश्नावली 7.2 का संकेत यही है।
6
शीर्ष (2, 0), (0, 2), (−2, 0), (0, −2) वाले समचतुर्भुज का क्षेत्रफल निकालो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
विकर्ण (2, 0) से (−2, 0) तक 4 इकाई, और (0, 2) से (0, −2) तक 4 इकाई। क्षेत्रफल = (1/2) × 4 × 4 = 8 वर्ग इकाई।
अपना उत्तर जाँचो:
❓ पूरा प्रश्न बैंक — उत्तर व व्याख्या सहित — 65 प्रश्न
प्रकार चुनो। पाठों के 30 जाँच-प्रश्न अलग हैं — हर पाठ में जितने उसके विषय माँगते हैं। सब सही होने पर महारत ★ मिलती है।
BSEB मॉडलअभ्यास · वार्षिक नहीं60 किए · 0 सहीबहुविकल्पीMCQ120 किए · 0 सहीसही / गलतसही-गलत80 किए · 0 सहीरिक्त स्थानरिक्त स्थान80 किए · 0 सहीमिलान करोमिलान20 किए · 0 सहीअभिकथन-कारणअभिकथन-कारण50 किए · 0 सहीसमीकरण संतुलनसंतुलन40 किए · 0 सहीअभिक्रिया पहचानपहचान20 किए · 0 सहीलघु / दीर्घ उत्तरीयअति लघु, लघु, दीर्घ120 किए · 0 सहीCBSE-शैलीPYQ नहीं60 किए · 0 सही
कोई भी प्रश्न «सत्यापित PYQ» नहीं है। BSEB वाला सेट मॉडल अभ्यास है। CBSE वाले प्रश्न CBSE-शैली हैं, किसी वर्ष के पेपर की प्रति नहीं।
बहुविकल्पी
0/12एक विकल्प चुनो। गलत पर संकेत मिलेगा।
1
y-अक्ष पर बिंदु का रूप है —
💡 संकेत:
भुज शून्य।
समझो:
(0, y)।
2
(1, 2) और (4, 6) की दूरी है —
💡 संकेत:
9 + 16।
समझो:
5 इकाई।
3
(0, 0), (1, 1), (2, 2) —
💡 संकेत:
√2 + √2 = 2√2।
समझो:
संरेख हैं।
4
(3, 4) की मूल से दूरी है —
💡 संकेत:
√(9+16)।
समझो:
5 इकाई।
5
(2, −5) और (−2, 9) से समदूरस्थ x-अक्ष बिंदु है —
💡 संकेत:
वर्ग बराबर करो।
समझो:
(−7, 0)।
6
A(2, 3), B(8, 15), अनुपात 1 : 2 का बिंदु है —
💡 संकेत:
m1 दूसरे बिंदु के साथ।
समझो:
(4, 7)।
7
(2, −4) और (8, 6) का मध्यबिंदु है —
💡 संकेत:
औसत।
समझो:
(5, 1)।
8
केंद्र (2, −3), सिरा (1, 4) हो तो दूसरा सिरा है —
💡 संकेत:
मध्यबिंदु उलटा।
समझो:
(3, −10)।
9
(0, 0) और (4, 0) तथा (2, 3) बनाते हैं —
💡 संकेत:
दो भुजाएँ √13।
समझो:
समद्विबाहु त्रिभुज।
10
P(2, −3) से Q(10, y) की दूरी 10 हो तो y है —
💡 संकेत:
(y+3)² = 36।
समझो:
y = 3 या y = −9।
11
x-अक्ष, A(1, −2) और B(4, 4) को काटता है —
💡 संकेत:
कोटि 0।
समझो:
अनुपात 1 : 2 और बिंदु (2, 0)।
12
समचतुर्भुज (2, 0), (0, 2), (−2, 0), (0, −2) का क्षेत्रफल है —
💡 संकेत:
(1/2)×4×4।
समझो:
8 वर्ग इकाई।
सही / गलत
0/81
(4, 0) x-अक्ष पर है।
समझो:
सही — कोटि 0 है।
2
दूरी का ऋण वर्गमूल भी मान्य लंबाई है।
समझो:
गलत — दूरी धनात्मक होती है।
3
(1, 1), (1, 3), (3, 3), (3, 1) एक वर्ग है।
समझो:
सही — भुजा 2, विकर्ण 2√2।
4
इस अध्याय में बाहरी विभाजन का सूत्र है।
समझो:
गलत — केवल आंतरिक विभाजन है।
5
मध्यबिंदु अनुपात 1 : 1 है।
समझो:
सही।
6
(0, 0), (3, 0), (0, 4) संरेख हैं।
समझो:
गलत — भुजाएँ 3, 4, 5 हैं, यह समकोण त्रिभुज है।
7
m1 विभाजन सूत्र में पहले बिंदु A के साथ गुणा होता है।
समझो:
गलत — m1, B के साथ जाता है।
8
(5, 12) की मूल से दूरी 13 इकाई है।
समझो:
सही — 25 + 144 = 169।
रिक्त स्थान
0/81
(0, 5) का भुज ______ है।
💡 संकेत:
0।
समझो:
y-अक्ष।
2
(0, 0) और (6, 8) की दूरी ______ इकाई है।
💡 संकेत:
10 इकाई।
समझो:
√100।
3
(2, −4) और (8, 6) का मध्य y-निर्देशांक ______ है।
💡 संकेत:
1।
समझो:
(−4+6)/2।
4
A(2, 3) और B(8, 15) को 1 : 2 में बाँटने पर x = ______।
💡 संकेत:
4।
समझो:
(8+4)/3।
5
(3, 4) की मूल से दूरी ______ इकाई है।
💡 संकेत:
5 इकाई।
समझो:
3-4-5।
6
व्यास का केंद्र मध्यबिंदु हो और एक सिरा (1, 4), केंद्र (2, −3) हो तो दूसरे सिरे का x ______ है।
💡 संकेत:
3।
समझो:
(x+1)/2 = 2।
7
(0, 0) और (9, 0) का एक त्रिभाजन बिंदु (3, ______) है।
💡 संकेत:
0।
समझो:
दोनों y शून्य हैं।
8
विकर्ण 4 और 4 वाले समचतुर्भुज का क्षेत्रफल ______ वर्ग इकाई है।
💡 संकेत:
8।
समझो:
आधा गुणन।
मिलान करो
0/21
नाम को सूत्र से मिलाओ।
स्तंभ B: A. ((x1+x2)/2, (y1+y2)/2) · B. √[(x2−x1)²+(y2−y1)²] · C. √(x²+y²) · D. (m1x2+m2x1)/(m1+m2)
1. दूरी
2. मूल से दूरी
3. विभाजन
4. मध्यबिंदु
समझो:
दूरी दोनों अंतरों की है, मूल से दूरी √(x²+y²) है, विभाजन भार वाला औसत है, मध्यबिंदु सादा औसत है।
2
प्रश्नावली के हिस्से को उसके काम से मिलाओ।
स्तंभ B: A. केंद्र मध्यबिंदु है · B. दो बिंदुओं की दूरी · C. छोटी + छोटी = बड़ी · D. m1, B के साथ
1. 7.1 के पहले प्रश्न
2. 7.1 की संरेख जाँच
3. 7.2 का आंतरिक अनुपात
4. 7.2 का व्यास
समझो:
7.1 दूरी और संरेख है। 7.2 विभाजन और मध्यबिंदु है।
अभिकथन–कारण
0/5पहले दोनों कथन जाँचो, फिर देखो कि कारण व्याख्या है या नहीं।
1
अभिकथन (A): (1, 2) और (4, 6) की दूरी 5 इकाई है।
कारण (R): दूरी √[(Δx)² + (Δy)²] है और 3² + 4² = 25।
समझो:
दोनों सही हैं और R गणना का आधार है।
2
अभिकथन (A): (4, 0) x-अक्ष पर है।
कारण (R): मध्यबिंदु निर्देशांकों का औसत होता है।
समझो:
दोनों सही हैं, पर R इस बात की व्याख्या नहीं कि बिंदु अक्ष पर क्यों है।
3
अभिकथन (A): (0, 0), (4, 0), (2, 3) समद्विबाहु त्रिभुज है।
कारण (R): तीनों भुजाएँ 4 इकाई हैं।
समझो:
A सही है। R गलत है, केवल दो भुजाएँ √13 हैं।
4
अभिकथन (A): इस अध्याय में बाहरी विभाजन का सूत्र पढ़ाया गया है।
कारण (R): आंतरिक सूत्र में m1 दूसरे बिंदु के निर्देशांक के साथ जाता है।
समझो:
A गलत है। R सही है।
5
अभिकथन (A): केंद्र (2, −3) और एक सिरा (1, 4) हो तो दूसरा सिरा (3, −10) है।
कारण (R): केंद्र व्यास का मध्यबिंदु होता है।
समझो:
दोनों सही हैं और R कारण है।
गुणांक अभ्यास
0/4ये रसायन की पंक्तियाँ इस गणित अध्याय का परिणाम नहीं हैं। केवल गुणांक भरने का अभ्यास है। खाली स्थान का अर्थ 1 है।
1
यह गुणांक अभ्यास है और इस गणित अध्याय का परिणाम नहीं। H2 + O2 से पानी बनने की पंक्ति में गुणांक भरो (खाली = 1)।
H2 + O2 → H2O
समझो: 2H2 + O2 → 2H2O
2
यह गुणांक अभ्यास है और इस गणित अध्याय का परिणाम नहीं। N2 + H2 से अमोनिया की पंक्ति में गुणांक भरो (खाली = 1)।
N2 + H2 → NH3
समझो: N2 + 3H2 → 2NH3
3
यह गुणांक अभ्यास है और इस गणित अध्याय का परिणाम नहीं। C + O2 से कार्बन डाइऑक्साइड की पंक्ति में गुणांक भरो (खाली = 1)।
C + O2 → CO2
समझो: C + O2 → CO2
4
यह गुणांक अभ्यास है और इस गणित अध्याय का परिणाम नहीं। CH4 + O2 की दहन पंक्ति में गुणांक भरो (खाली = 1)।
CH4 + O2 → CO2 + H2O
समझो: CH4 + 2O2 → CO2 + 2H2O
वर्गीकरण
0/21
हर बिंदु-समूह को उसकी जगह में रखो।
(4, 0)
(0, −6)
(−3, 5)
(0, 0)
समझो:
कोटि 0 हो तो x-अक्ष। भुज 0 हो तो y-अक्ष। मूल दोनों का कटान है।
2
हर माँग को उसके औजार में रखो।
दो बिंदु कितनी दूर हैं
खंड को 1 : 1 में बाँटना
तीन बिंदु एक रेखा पर हैं या नहीं
व्यास का दूसरा सिरा
समझो:
दूरी दूरियाँ मापती है, मध्यबिंदु आधा करता है, संरेख योग से पता चलता है, व्यास मध्यबिंदु उलटा चलता है।
अति लघु उत्तरीय
0/51
दूरी सूत्र लिखो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
P(x1, y1) और Q(x2, y2) की दूरी √[(x2−x1)² + (y2−y1)²] है।
अपना उत्तर जाँचो:
2
मूलबिंदु से (x, y) की दूरी लिखो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
√(x² + y²)।
अपना उत्तर जाँचो:
3
आंतरिक विभाजन का x लिखो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
x = (m1 x2 + m2 x1) / (m1 + m2), जहाँ AP : PB = m1 : m2।
अपना उत्तर जाँचो:
4
मध्यबिंदु का सूत्र लिखो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
((x1 + x2)/2, (y1 + y2)/2)।
अपना उत्तर जाँचो:
5
भुज और कोटि एक पंक्ति में अलग करो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
भुज x है, y-अक्ष से दूरी। कोटि y है, x-अक्ष से दूरी।
अपना उत्तर जाँचो:
लघु उत्तरीय
0/41
(−1, 4) और (2, 8) की दूरी निकालो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
Δx = 3, Δy = 4। दूरी √[9 + 16] = √25 = 5 इकाई।
अपना उत्तर जाँचो:
2
A(0, 0) और B(6, 3) को 1 : 2 में बाँटने वाला बिंदु निकालो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
x = (1×6 + 2×0)/3 = 2। y = (1×3 + 2×0)/3 = 1। बिंदु (2, 1)।
अपना उत्तर जाँचो:
3
(−2, 5) और (4, −1) का मध्यबिंदु निकालो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
((−2+4)/2, (5+(−1))/2) = (1, 2)।
अपना उत्तर जाँचो:
4
(0, 0), (6, 0), (3, 3) संरेख हैं या त्रिभुज? भुजाएँ लिखो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
भुजाएँ 6, √(9+9)=3√2 और 3√2 इकाई। 3√2 + 3√2 = 6√2 > 6, इसलिए त्रिभुज, और समद्विबाहु।
अपना उत्तर जाँचो:
दीर्घ उत्तरीय
0/31
x-अक्ष पर वह बिंदु निकालो जो (3, 4) और (3, −2) से समदूरस्थ दिखे। यदि न हो तो कारण लिखो। फिर (0, 4) और (6, −2) वाली जोड़ी का बिंदु निकालो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
पहली जोड़ी एक ही ऊर्ध्वाधर रेखा x = 3 पर है। (x−3)² + 16 = (x−3)² + 4 असंभव है, इसलिए ऐसा बिंदु नहीं। दूसरी जोड़ी: (x−0)² + 16 = (x−6)² + 4। x² + 16 = x² − 12x + 36 + 4। 12x = 24। x = 2। बिंदु (2, 0)। जाँच: दोनों दूरियाँ √(4+16)=√20 इकाई।
अपना उत्तर जाँचो:
2
A(−2, 2) और B(4, 8) को चार बराबर भागों में बाँटने वाले तीन बिंदु निकालो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
अनुपात 1 : 3, 1 : 1 और 3 : 1। 1 : 3 पर x = (1×4 + 3×(−2))/4 = −2/4 = −1/2, y = (1×8 + 3×2)/4 = 14/4 = 7/2। मध्य (1, 5)। 3 : 1 पर x = (3×4 + 1×(−2))/4 = 10/4 = 5/2, y = (3×8 + 1×2)/4 = 26/4 = 13/2। बिंदु (−1/2, 7/2), (1, 5) और (5/2, 13/2)।
अपना उत्तर जाँचो:
3
एक कस्बा मूल पर है और दूसरा (6, 8) किलोमीटर पर। सड़क की सीधी दूरी निकालो। बीच में एक टावर खंड को 1 : 3 में बाँटता है। टावर के निर्देशांक लिखो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
दूरी √[36 + 64] = √100 = 10 km। टावर: x = (1×6 + 3×0)/4 = 6/4 = 1.5, y = (1×8 + 3×0)/4 = 2। टावर (1.5, 2) km पर है। मूल के पास है, क्योंकि अनुपात 1 : 3 है।
अपना उत्तर जाँचो:
BSEB मॉडल प्रश्न-पत्र · अभ्यास
0/6यह मॉडल सेट अभ्यास के लिए है। किसी वर्ष की वार्षिक परीक्षा का प्रश्न नहीं है।
1
निम्न में y-अक्ष का बिंदु है —
💡 संकेत:
भुज 0।
समझो:
(0, −8)। (−8, 0) x-अक्ष पर है।
2
(−2, 1) और (1, 5) की दूरी है —
💡 संकेत:
3² + 4²।
समझो:
5 इकाई।
3
(8, −6) की मूल से दूरी ______ इकाई है।
💡 संकेत:
10 इकाई।
समझो:
64 + 36 = 100।
4
(1, −1) और (1, 6) की दूरी निकालो और बताओ रेखा कैसी है।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
Δx = 0, Δy = 7। दूरी 7 इकाई। x समान है, इसलिए रेखा y-अक्ष के समांतर है।
अपना उत्तर जाँचो:
5
A(2, −1) और B(8, 5) का मध्यबिंदु M निकालो। फिर M और A की दूरी निकालो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
M = ((2+8)/2, (−1+5)/2) = (5, 2)। MA = √[(5−2)² + (2−(−1))²] = √[9+9] = √18 = 3√2 इकाई। MB भी इतनी ही होगी।
अपना उत्तर जाँचो:
6
अभिकथन (A): (0, 0) और (9, 0) के त्रिभाजन बिंदु (3, 0) और (6, 0) हैं।
कारण (R): त्रिभाजन के लिए अनुपात केवल 1 : 1 होता है।
समझो:
A सही है। R गलत है। अनुपात 1 : 2 और 2 : 1 हैं। 1 : 1 मध्यबिंदु है।
CBSE-शैली प्रश्न
0/6ये योग्यता-आधारित अभ्यास प्रश्न हैं। किसी वर्ष के प्रश्नपत्र की प्रति नहीं हैं।
1
एक छात्र A(1, 2), B(7, 8) को 2 : 1 में बाँटकर (5, 6) की जगह (3, 4) लिखता है। गलती है —
💡 संकेत:
2 : 1 का अर्थ m1 = 2।
समझो:
सही बिंदु x = (2×7 + 1×1)/3 = 5, y = (2×8 + 1×2)/3 = 6। (3, 4) अनुपात 1 : 2 है।
2
एक खेल मैदान में खिलाड़ी (0, 0) और (8, 6) मीटर पर हैं। सीधी दूरी है —
💡 संकेत:
64 + 36।
समझो:
√100 = 10 m।
3
अभिकथन (A): (−7, 0), (2, −5) और (−2, 9) से समान दूरी पर है।
कारण (R): x-अक्ष के बिंदु की कोटि 0 होती है और दोनों दूरियों के वर्ग बराबर करने पर x = −7 आता है।
समझो:
दोनों सही हैं। दोनों दूरियाँ √106 इकाई हैं।
4
अभिकथन (A): प्रश्नावली 7.3 इस किताब में त्रिभुज का क्षेत्रफल पूछती है।
कारण (R): इस अध्याय की प्रश्नावली 7.1 दूरी और 7.2 आंतरिक विभाजन है।
समझो:
A गलत है। इस किताब में 7.3 नहीं है। R सही है।
5
एक ड्रोन (1, 2) से उड़कर (4, 6) पर रुकता है। सीधी दूरी मीटर में निकालो। फिर बीच का बिंदु लिखो, यदि वह आधी दूरी पर रुके।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
दूरी √[9+16] = 5 m। आधा बिंदु मध्यबिंदु ((1+4)/2, (2+6)/2) = (2.5, 4) है।
अपना उत्तर जाँचो:
6
समांतर चतुर्भुज के शीर्ष क्रम से (1, 2), (4, y), (x, 6), (3, 5) हैं। x और y निकालो। कौन-सा तथ्य लगा?
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
विकर्ण एक मध्यबिंदु पर काटते हैं। (1+x)/2 = (4+3)/2 = 7/2, इसलिए x = 6। (2+6)/2 = 4 = (y+5)/2, इसलिए y = 3।
अपना उत्तर जाँचो:
🏛️ बोर्ड परीक्षा कॉर्नर — बिहार बोर्ड (BSEB)— CBSE
ऊपर «BSEB | CBSE» से बोर्ड बदलो। पाठ वही NCERT है।
BSEB मॉडल · अभ्यासबोर्ड टिप
इस पेज पर वार्षिक परीक्षा का सत्यापित प्रश्न नहीं है, क्योंकि स्रोत पृष्ठ नहीं जोड़ा गया। नीचे मॉडल सेट बोर्ड के पैटर्न पर अभ्यास के लिए है।
सत्यापित लेबल तभी लगेगा जब प्रश्न का स्रोत पृष्ठ उपलब्ध हो।
CBSE-शैली · योग्यता-आधारित
ये केस और अभिकथन-कारण अभ्यास हैं। इन्हें CBSE का पुराना प्रश्न मत समझो।
🔁 स्पेस्ड रिव्यू — आज के प्रश्न
गलत प्रश्न जल्दी लौटते हैं, सही वाले कुछ दिन बाद।
🧠 आपने क्या सीखा + समीकरण-पत्रक
आपने क्या सीखा
- भुज x है और कोटि y है। x-अक्ष पर y = 0, y-अक्ष पर x = 0।
- दूरी √[(x2 − x1)² + (y2 − y1)²] है। केवल धनात्मक मूल लो।
- मूलबिंदु से दूरी √(x² + y²) है।
- दो छोटी दूरियों का योग सबसे बड़ी के बराबर हो तो बिंदु संरेख हैं।
- आंतरिक अनुपात m1 : m2 में m1 दूसरे बिंदु के साथ जाता है।
- मध्यबिंदु ((x1 + x2)/2, (y1 + y2)/2) है। बाहरी विभाजन इस अध्याय में नहीं है।
| क्या | याद रखने लायक |
|---|---|
| भुज / कोटि | (x, y) |
| दूरी | √[(x2−x1)²+(y2−y1)²] |
| मूलबिंदु | √(x²+y²) |
| संरेख | sum of two smaller = largest |
| विभाजन | (m1x2+m2x1)/(m1+m2) |
| मध्यबिंदु | ((x1+x2)/2, (y1+y2)/2) |
नोट्स मूल लेखन हैं। पाठ्यपुस्तक केवल क्रम और क्रियाकलाप-संख्या के लिए संदर्भ है। «सत्यापित» केवल स्रोत पृष्ठ वाले प्रश्न पर लिखा जाएगा।