1
हमेशा समरूप होते हैं —
💡 संकेत:
आकार एक है।
समझो:
सभी वृत्त समरूप हैं।
कक्षा 10 · गणित · अध्याय 6 · बिहार बोर्ड (BSEB)CBSE · NCERT 2026-27
त्रिभुज
Triangles
इस पेज को ऐसे पढ़ो:
1. पढ़ो — समरूप आकृति · आधारभूत समानुपातिकता · AAA/SSS/SAS · क्षेत्रफल · पाइथागोरस, चित्र, हल उदाहरण, बोर्ड टिप
2. जाँचो — हर पाठ के अपने प्रश्न; संख्या पाठ के हिसाब से
3. महारत ★ — उस पाठ के सब सही। गलत वाले «दोबारा करो»
4. याद रखने वाला चित्र एक त्रिभुज में आधार के समांतर रेखा और खंडों का अनुपात AD/DB = AE/EC दिखाता है।
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- 1 समरूप आकृतियाँ
- 2 आधारभूत समानुपातिकता — थेल्स
- 3 थेल्स का विलोम
- 4 कसौटी AAA, SSS और SAS
- 5 समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफल
- 6 पाइथागोरस और उसका विलोम
- अध्याय-विजेता — सभी पाठ महारत ★
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समरूप आकृतियाँ
Similar figures · NCERT 6.2 · प्रश्नावली 6.1
आकार एक, नाप जरूरी नहींनोट्स
एक ही आकार की आकृतियाँ समरूप कहलाती हैं। नाप अलग हो सकता है। सभी वृत्त समरूप हैं। सभी वर्ग समरूप हैं। सभी समबाहु त्रिभुज समरूप हैं।
सर्वांगसम आकृतियों का आकार और नाप दोनों बराबर होते हैं। हर सर्वांगसम जोड़ी समरूप है। हर समरूप जोड़ी सर्वांगसम नहीं। त्रिभुज और वर्ग समरूप नहीं, क्योंकि आकार अलग है। प्रश्नावली 6.1 यही पहचान है।
बहुभुज में दोनों शर्तें देखोक्रियाकलाप
समान भुजाओं वाले दो बहुभुज समरूप तभी हैं जब संगत कोण बराबर हों और संगत भुजाएँ एक ही अनुपात में हों। केवल कोण काफी नहीं: एक वर्ग और एक लंबा आयत, दोनों के कोण 90° हैं, पर भुजाएँ समानुपात में नहीं। केवल भुजा-अनुपात भी कोणों के बिना काफी नहीं।
हल किया हुआ उदाहरणउदाहरण
प्रश्न: दो वर्गों की भुजाएँ 4 cm और 6 cm हैं। क्या वे समरूप हैं? क्या सर्वांगसम हैं? अनुपात लिखो।
सूत्र: संगत भुजाओं का अनुपात = छोटी / बड़ी।
प्रतिस्थापन: 4/6 = 2/3।
उत्तर: दोनों वर्ग हैं, इसलिए समरूप हैं। नाप अलग है, इसलिए सर्वांगसम नहीं। यथातथ अनुपात 2:3।
10-सेकंड रिवीजन
- समरूप = समान आकार
- सर्वांगसम से समरूप निकलता है, उलटा नहीं
- बहुभुज में कोण और भुजा-अनुपात दोनों चाहिए
बोर्ड टिप · BSEBबोर्ड टिप
BSEB में “समरूप पर सर्वांगसम नहीं” वाला वाक्य उदाहरण के साथ लिखो।
बोर्ड टिप · CBSEबोर्ड टिप
CBSE में वर्ग और आयत को कोण बराबर देखकर समरूप मत मानो।
समझ जाँचोसब सही = महारत ★
2
हर समरूप जोड़ी सर्वांगसम भी होती है।
समझो:
गलत — नाप अलग हो सकता है।
3
4 cm और 6 cm वाले वर्गों की भुजाओं का अनुपात ______ है।
💡 संकेत:
4/6।
समझो:
2:3।
4
सर्वांगसम त्रिभुज —
💡 संकेत:
नाप भी बराबर है।
समझो:
सर्वांगसम से समरूप निकलता है। अनुपात 1:1 है।
5
दो समबाहु त्रिभुज समरूप क्यों हैं? वे सर्वांगसम कब होंगे?
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
तीनों कोण 60° होते हैं, इसलिए आकार एक है और वे समरूप हैं। सर्वांगसम तभी जब भुजाएँ बराबर हों, यानी अनुपात 1:1।
अपना उत्तर जाँचो:
आधारभूत समानुपातिकता — थेल्स
Basic proportionality — Thales · NCERT 6.3 · प्रश्नावली 6.2 · AD/DB = AE/EC
समांतर रेखा भुजाओं को एक अनुपात में काटती हैनोट्स
त्रिभुज ABC में यदि DE, BC के समांतर हो और D, AB पर तथा E, AC पर हो, तो AD/DB = AE/EC। साथ ही AD/AB = AE/AC।
यह आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय है। नई NCERT की प्रश्नावली 6.2 इसी पर है। रेखा भुजाओं को अलग-अलग बिंदुओं पर काटे। D को B पर मत रख देना।
पहले समांतर का निशान, फिर अनुपातक्रियाकलाप
चित्र में DE || BC लिखा हो तभी अनुपात लगाओ। AD और DB एक ही भुजा के टुकड़े हैं। AE और EC दूसरी भुजा के। AD/AE = DB/EC लिखना क्रम बिगाड़ देता है, जब तक दोनों रूप तुल्य न निकलें। इकाई सेंटीमीटर रखो।
हल किया हुआ उदाहरणउदाहरण
प्रश्न: DE || BC, AD = 3 cm, DB = 6 cm, AE = 4 cm। EC निकालो।
सूत्र: AD/DB = AE/EC।
प्रतिस्थापन: 3/6 = 4/EC। 1/2 = 4/EC। EC = 8।
उत्तर: EC = 8 cm। जाँच: AD/AB = 3/9 = 1/3 और AE/AC = 4/12 = 1/3।
10-सेकंड रिवीजन
- DE || BC दे तो AD/DB = AE/EC
- AD/AB = AE/AC भी सही है
- इकाई cm लिखो
बोर्ड टिप · BSEBबोर्ड टिप
BSEB में सूत्र की पंक्ति और प्रतिस्थापन अलग रखो। सीधे 8 cm मत लिखो।
बोर्ड टिप · CBSEबोर्ड टिप
CBSE में दोनों रूपों में से जो दिया हो वही लिखो। AD/DB और AD/AB को आपस में मत बदलो।
समझ जाँचोसब सही = महारत ★
1
AD = 3 cm, DB = 6 cm, AE = 4 cm और DE || BC हो तो EC है —
💡 संकेत:
3/6 = 4/EC।
समझो:
EC = 8 cm।
2
DE || BC हो तो AD/AB = AE/AC।
समझो:
सही — यह थेल्स का दूसरा रूप है।
3
थेल्स में AD/DB = AE/______।
💡 संकेत:
दूसरी भुजा का निचला टुकड़ा।
समझो:
EC।
4
DE || BC, AD = 2 cm, DB = 3 cm, AE = 4 cm। EC और AC निकालो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
AD/DB = AE/EC। 2/3 = 4/EC। EC = 6 cm। AC = AE + EC = 10 cm। जाँच: AD/AB = 2/5 और AE/AC = 4/10 = 2/5।
अपना उत्तर जाँचो:
थेल्स का विलोम
The converse of Thales · समान अनुपात हो तो रेखा समांतर
अनुपात बराबर हो तो समांतर सिद्धनोट्स
यदि कोई रेखा त्रिभुज की दो भुजाओं को एक ही अनुपात में बाँटे, तो वह तीसरी भुजा के समांतर होती है। AD/DB = AE/EC हो तो DE || BC।
यह प्रमेय का विलोम है। सीधा प्रमेय समांतर मानकर अनुपात देता है। विलोम अनुपात मानकर समांतर देता है। अनुपात असमान हो तो रेखा समांतर नहीं मानी जाती।
दो भिन्न बनाकर तुलना करोक्रियाकलाप
AD = 2 cm, DB = 4 cm, AE = 3 cm, EC = 6 cm। 2/4 = 1/2 और 3/6 = 1/2। बराबर हैं, इसलिए DE || BC। यदि EC = 5 cm होता तो 3/5 ≠ 1/2, और समांतर नहीं कहते।
हल किया हुआ उदाहरणउदाहरण
प्रश्न: AD = 2 cm, DB = 4 cm, AE = 3 cm, EC = 6 cm। क्या DE || BC?
सूत्र: विलोम — AD/DB = AE/EC हो तो DE || BC।
प्रतिस्थापन: AD/DB = 2/4 = 1/2। AE/EC = 3/6 = 1/2।
उत्तर: दोनों अनुपात 1/2 हैं, इसलिए DE, BC के समांतर है।
10-सेकंड रिवीजन
- बराबर अनुपात से समांतर
- असमान अनुपात से समांतर नहीं
- सीधा प्रमेय और विलोम अलग दिशा में चलते हैं
बोर्ड टिप · BSEBबोर्ड टिप
BSEB में दोनों भिन्नों को सरलतम रूप में लिखो, फिर बराबर का चिह्न।
बोर्ड टिप · CBSEबोर्ड टिप
CBSE में “लगभग बराबर” स्वीकार्य नहीं। 1/2 और 3/5 बराबर नहीं हैं।
समझ जाँचोसब सही = महारत ★
1
AD/DB = AE/EC = 1/2 हो तो —
💡 संकेत:
विलोम।
समझो:
DE, BC के समांतर है।
2
AD/DB = 1/2 और AE/EC = 3/5 हो तो DE || BC।
समझो:
गलत — अनुपात बराबर नहीं।
3
2/4 और 3/6 दोनों ______ के बराबर हैं।
💡 संकेत:
सरलतम रूप।
समझो:
1/2।
4
थेल्स का सीधा प्रमेय शुरू होता है —
💡 संकेत:
विलोम अनुपात से शुरू होता है।
समझो:
सीधा प्रमेय समांतर मानता है और अनुपात देता है।
5
विलोम में निष्कर्ष रेखा का समांतर होना है।
समझो:
सही — अनुपात दिया है, समांतर साबित करना है।
6
AD = 4 cm, DB = 6 cm, AE = 6 cm, EC = 9 cm। DE और BC के बारे में क्या कहोगे?
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
AD/DB = 4/6 = 2/3। AE/EC = 6/9 = 2/3। विलोम से DE || BC।
अपना उत्तर जाँचो:
कसौटी AAA, SSS और SAS
The criteria AAA, SSS and SAS · NCERT 6.4 · प्रश्नावली 6.3 · ΔABC ~ ΔDEF
अक्षरों का क्रम संगतता हैनोट्स
दो त्रिभुज समरूप होते हैं यदि संगत कोण बराबर हों। तीसरा कोण 180° से खुद बन जाता है, इसलिए AA भी काफी है। इसे AAA कसौटी कहते हैं।
SSS: तीनों संगत भुजाएँ एक अनुपात में हों। SAS: एक कोण बराबर हो और उसकी दोनों बाँहें एक अनुपात में हों। ΔABC ~ ΔDEF का अर्थ A↔D, B↔E, C↔F है। नई प्रश्नावली 6.3 इन्हीं कसौटियों पर है। सर्वांगसमता का SAS भुजाओं की बराबर लंबाई माँगता है; समरूपता का SAS अनुपात माँगता है।
पहले संगत अक्षर लिखोक्रियाकलाप
भुजा 3, 4, 5 और 6, 8, 10 हों तो अनुपात 1:2 है। SSS से समरूप। सर्वांगसम नहीं, क्योंकि लंबाइयाँ बराबर नहीं। कोण 50°, 60°, 70° दोनों त्रिभुजों में हों तो AA से समरूप, भुजा नापे बिना।
हल किया हुआ उदाहरणउदाहरण
प्रश्न: ΔABC ~ ΔPQR, AB = 4 cm, PQ = 6 cm। AB किस भुजा की संगत है, और अनुपात क्या है?
सूत्र: क्रम A↔P, B↔Q, C↔R, इसलिए AB/PQ।
प्रतिस्थापन: AB/PQ = 4/6 = 2/3।
उत्तर: AB, PQ की संगत है। यथातथ अनुपात 2:3। QR से भाग नहीं करना।
10-सेकंड रिवीजन
- AA त्रिभुज के लिए काफी है
- SSS में तीनों भुजाओं का एक अनुपात
- ~ के अक्षरों का क्रम संगतता है
बोर्ड टिप · BSEBबोर्ड टिप
BSEB में कसौटी का नाम और संगतता दोनों लिखो। केवल ~ चिह्न अधूरा है।
बोर्ड टिप · CBSEबोर्ड टिप
CBSE में SAS समरूपता को SAS सर्वांगसमता मत लिखो। एक अनुपात माँगता है, दूसरा बराबर लंबाई।
समझ जाँचोसब सही = महारत ★
1
कोण 50°, 60°, 70° वाले दो त्रिभुज समरूप हैं —
💡 संकेत:
कोण बराबर हैं।
समझो:
AAA या AA।
2
भुजाएँ 3, 4, 5 और 6, 8, 10 वाले त्रिभुज सर्वांगसम हैं।
समझो:
गलत — अनुपात 1:2 है, इसलिए समरूप हैं, सर्वांगसम नहीं।
3
ΔABC ~ ΔPQR में AB की संगत भुजा ______ है।
💡 संकेत:
पहले दो अक्षर।
समझो:
PQ।
4
समरूपता का SAS माँगता है —
💡 संकेत:
कोण शामिल हो।
समझो:
एक कोण बराबर और उसकी बाँहें एक अनुपात में।
5
ΔABC ~ ΔDEF और AB = 5 cm, DE = 15 cm। अनुपात लिखो और बताओ कौन संगत है।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
A↔D और B↔E, इसलिए AB की संगत DE है। AB/DE = 5/15 = 1/3। यथातथ अनुपात 1:3।
अपना उत्तर जाँचो:
समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफल
Areas of similar triangles · पुरानी बिहार प्रश्नावली 6.4 · (भुजा)²
क्षेत्रफल का अनुपात भुजा के वर्ग के बराबर हैनोट्स
यदि ΔABC ~ ΔDEF हो तो ar(ABC)/ar(DEF) = (AB/DE)²। वर्ग भुजा का है, क्षेत्रफल का नहीं।
यह पुरानी बिहार किताब का प्रमेय 6.6 और प्रश्नावली 6.4 है। नई NCERT की अध्याय-6 प्रश्नावली कसौटी 6.3 पर रुकती है। क्षेत्रफल वर्ग सेंटीमीटर में लिखो। अनुपात 2:3 हो तो क्षेत्रफल का अनुपात 4:9 होगा।
पहले वर्गमूल, फिर भुजाक्रियाकलाप
क्षेत्रफल 16 cm² और 36 cm² हों तो अनुपात 16/36 = 4/9। भुजाओं का अनुपात √(4/9) = 2/3। छोटी संगत भुजा 4 cm हो तो बड़ी 4 × 3/2 = 6 cm। वर्गमूल से पहले यह देखो कि त्रिभुज समरूप दिए हैं।
हल किया हुआ उदाहरणउदाहरण
प्रश्न: ΔABC ~ ΔDEF, क्षेत्रफल 16 cm² और 36 cm² हैं। AB = 4 cm और AB, DE की संगत है। DE निकालो।
सूत्र: ar(ABC)/ar(DEF) = (AB/DE)²।
प्रतिस्थापन: 16/36 = (4/DE)²। 4/9 = (4/DE)²। 2/3 = 4/DE।
उत्तर: DE = 6 cm। जाँच: (4/6)² = 4/9 और 16/36 = 4/9।
10-सेकंड रिवीजन
- क्षेत्रफल का अनुपात = (भुजा का अनुपात)²
- 2:3 भुजा से 4:9 क्षेत्रफल
- इकाई cm² है
बोर्ड टिप · BSEBबोर्ड टिप
BSEB में वर्ग की पंक्ति अलग लिखो। 16/36 को सीधे भुजा का अनुपात मत कहो।
बोर्ड टिप · CBSEबोर्ड टिप
CBSE की वर्तमान प्रश्नावली 6.3 में यह परिणाम नहीं पूछा जाता। पुरानी किताब की 6.4 में पूछा जाता है।
समझ जाँचोसब सही = महारत ★
1
भुजाओं का अनुपात 2:3 हो तो क्षेत्रफलों का अनुपात है —
💡 संकेत:
वर्ग लो।
समझो:
4:9।
2
समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफल संगत भुजाओं के अनुपात के बराबर होते हैं।
समझो:
गलत — भुजाओं के वर्गों का अनुपात होता है।
3
16 cm² और 36 cm² का भुजा-अनुपात ______ है।
💡 संकेत:
4/9 का वर्गमूल।
समझो:
2:3।
4
AB = 4 cm और भुजा-अनुपात 2:3 हो तो बड़ी संगत भुजा है —
💡 संकेत:
4 × 3/2।
समझो:
6 cm।
5
समान क्षेत्रफल वाले समरूप त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं।
समझो:
सही — भुजा-अनुपात 1 है, इसलिए नाप भी बराबर है।
6
दो समरूप त्रिभुजों की संगत भुजाएँ 3 cm और 5 cm हैं। छोटे का क्षेत्रफल 18 cm² है। बड़े का क्षेत्रफल निकालो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
ar1/ar2 = (3/5)² = 9/25। 18/ar2 = 9/25। ar2 = 18 × 25/9 = 50। बड़ा क्षेत्रफल 50 cm²।
अपना उत्तर जाँचो:
पाइथागोरस और उसका विलोम
Pythagoras and the converse · पुरानी बिहार प्रश्नावली 6.5 · a² + b² = c²
कर्ण का वर्ग, शेष दो का योगनोट्स
समकोण त्रिभुज में कर्ण² = आधार² + लंब²। विलोम: यदि एक भुजा का वर्ग बाकी दो के वर्गों के योग के बराबर हो, तो सबसे बड़ी भुजा के सामने समकोण है।
पुरानी बिहार किताब की प्रश्नावली 6.5 यही है। समकोण के शीर्ष से कर्ण पर लंब खींचो तो दोनों छोटे त्रिभुज पूरे त्रिभुज के समरूप होते हैं। किताब पाइथागोरस इसी समरूपता से निकालती है। नई NCERT का अध्याय 6 कसौटियों के बाद सारांश पर चला जाता है।
सबसे बड़ी भुजा को कर्ण की जगह रखोक्रियाकलाप
6 cm, 8 cm, 10 cm में सबसे बड़ी 10 cm है। जाँच 6² + 8² और 10² की। बराबर हों तो कोण समकोण है। 5, 12, 13 में भी यही जाँच है: 25 + 144 = 169। इकाई सेंटीमीटर भुजा पर और वर्ग सेंटीमीटर वर्ग पर।
हल किया हुआ उदाहरणउदाहरण
प्रश्न: समकोण त्रिभुज की भुजाएँ 6 cm और 8 cm हैं। कर्ण निकालो।
सूत्र: c² = a² + b²।
प्रतिस्थापन: c² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100।
उत्तर: c = 10 cm, क्योंकि लंबाई धनात्मक है। जाँच: 36 + 64 = 100।
10-सेकंड रिवीजन
- c² = a² + b²
- विलोम सबसे बड़ी भुजा के सामने समकोण देता है
- ऋणात्मक लंबाई नहीं लेते
बोर्ड टिप · BSEBबोर्ड टिप
BSEB की पुरानी प्रश्नावली 6.5 में वर्गों की जोड़ की पंक्ति दिखनी चाहिए।
बोर्ड टिप · CBSEबोर्ड टिप
CBSE की वर्तमान अध्याय-6 प्रश्नावली में पाइथागोरस अलग से नहीं है। वहाँ समरूपता की कसौटी लिखो।
समझ जाँचोसब सही = महारत ★
1
6 cm और 8 cm वाले समकोण त्रिभुज का कर्ण है —
💡 संकेत:
36 + 64 = 100।
समझो:
10 cm।
2
5 cm, 12 cm, 13 cm वाली त्रिभुज समकोण है।
समझो:
सही — 25 + 144 = 169 = 13²।
3
6² + 8² = ______।
💡 संकेत:
36 + 64।
समझो:
100। कर्ण 10 cm।
4
7 cm, 24 cm और 25 cm वाली त्रिभुज समकोण है या नहीं? विलोम से जाँचो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
7² + 24² = 49 + 576 = 625 = 25²। विलोम से 25 cm के सामने समकोण है।
अपना उत्तर जाँचो:
❓ पूरा प्रश्न बैंक — उत्तर व व्याख्या सहित — 64 प्रश्न
प्रकार चुनो। पाठों के 30 जाँच-प्रश्न अलग हैं — हर पाठ में जितने उसके विषय माँगते हैं। सब सही होने पर महारत ★ मिलती है।
BSEB मॉडलअभ्यास · वार्षिक नहीं60 किए · 0 सहीबहुविकल्पीMCQ120 किए · 0 सहीसही / गलतसही-गलत80 किए · 0 सहीरिक्त स्थानरिक्त स्थान80 किए · 0 सहीमिलान करोमिलान20 किए · 0 सहीअभिकथन-कारणअभिकथन-कारण50 किए · 0 सहीसमीकरण संतुलनसंतुलन40 किए · 0 सहीअभिक्रिया पहचानपहचान20 किए · 0 सहीलघु / दीर्घ उत्तरीयअति लघु, लघु, दीर्घ110 किए · 0 सहीCBSE-शैलीPYQ नहीं60 किए · 0 सही
कोई भी प्रश्न «सत्यापित PYQ» नहीं है। BSEB वाला सेट मॉडल अभ्यास है। CBSE वाले प्रश्न CBSE-शैली हैं, किसी वर्ष के पेपर की प्रति नहीं।
बहुविकल्पी
0/12एक विकल्प चुनो। गलत पर संकेत मिलेगा।
1
हमेशा समरूप होते हैं —
💡 संकेत:
आकार एक।
समझो:
सभी वर्ग समरूप हैं।
2
AD = 3 cm, DB = 6 cm, AE = 4 cm, DE || BC हो तो EC है —
💡 संकेत:
3/6 = 4/EC।
समझो:
8 cm।
3
AD/DB = AE/EC हो तो —
💡 संकेत:
विलोम।
समझो:
DE, BC के समांतर है।
4
ΔABC ~ ΔPQR में AB की संगत है —
💡 संकेत:
अक्षरों का क्रम।
समझो:
PQ।
5
भुजा-अनुपात 2:3 हो तो क्षेत्रफल-अनुपात है —
💡 संकेत:
वर्ग।
समझो:
4:9।
6
6 cm और 8 cm का कर्ण है —
💡 संकेत:
36 + 64।
समझो:
10 cm।
7
3, 4, 5 और 6, 8, 10 वाली त्रिभुज हैं —
💡 संकेत:
अनुपात 1:2।
समझो:
SSS से समरूप, नाप अलग होने से सर्वांगसम नहीं। दोनों समकोण भी हैं।
8
4 cm और 6 cm वाले वर्ग हैं —
💡 संकेत:
सभी वर्ग समरूप।
समझो:
समरूप, अनुपात 2:3। सर्वांगसम नहीं।
9
क्षेत्रफल 16 cm² और 36 cm² तथा छोटी भुजा 4 cm हो तो बड़ी संगत भुजा है —
💡 संकेत:
2:3।
समझो:
6 cm।
10
5, 12, 13 में समकोण है क्योंकि —
💡 संकेत:
वर्गों का योग।
समझो:
25 + 144 = 169 = 13²।
11
बहुभुज समरूप होने के लिए काफी नहीं है —
💡 संकेत:
आयत और वर्ग।
समझो:
केवल कोण काफी नहीं। भुजा-अनुपात भी चाहिए।
12
AA त्रिभुज के लिए काफी है क्योंकि —
💡 संकेत:
कोणों का योग।
समझो:
तीसरा कोण तय है, इसलिए AAA और AA एक ही बात है।
सही / गलत
0/81
सभी वृत्त समरूप हैं।
समझो:
सही — आकार एक है।
2
समरूप त्रिभुज हमेशा सर्वांगसम होते हैं।
समझो:
गलत — नाप अलग हो सकता है।
3
DE || BC हो तो AD/DB = AE/EC।
समझो:
सही — थेल्स।
4
अनुपात असमान हों तो भी विलोम से रेखा समांतर होती है।
समझो:
गलत — अनुपात बराबर होना चाहिए।
5
ΔABC ~ ΔDEF में AB की संगत EF है।
समझो:
गलत — AB की संगत DE है।
6
समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात संगत भुजाओं के वर्ग के बराबर है।
समझो:
सही।
7
6² + 8² = 10²।
समझो:
सही — 36 + 64 = 100।
8
एक वर्ग और एक लंबा आयत कोण बराबर होने से समरूप हैं।
समझो:
गलत — भुजाएँ समानुपात में नहीं।
रिक्त स्थान
0/81
DE || BC हो तो AD/DB = AE/______।
💡 संकेत:
EC।
समझो:
निचला टुकड़ा।
2
4 cm और 6 cm का अनुपात ______ है।
💡 संकेत:
2:3।
समझो:
4/6।
3
भुजा 2:3 हो तो क्षेत्रफल ______।
💡 संकेत:
4:9।
समझो:
वर्ग।
4
6² + 8² = ______।
💡 संकेत:
100।
समझो:
कर्ण का वर्ग।
5
ΔABC ~ ΔDEF में कोण B की संगत ______ है।
💡 संकेत:
कोण E।
समझो:
दूसरा अक्षर।
6
16/36 का धनात्मक वर्गमूल ______ है।
💡 संकेत:
2/3।
समझो:
4/6 सरल रूप में।
7
5² + 12² = ______।
💡 संकेत:
169।
समझो:
13²।
8
सर्वांगसम आकृतियों का भुजा-अनुपात ______ होता है।
💡 संकेत:
1:1।
समझो:
नाप बराबर।
मिलान करो
0/21
नाम को उसके अर्थ से मिलाओ।
स्तंभ B: A. a² + b² = c² · B. AD/DB = AE/EC · C. समान कोण · D. (भुजा)²
1. थेल्स
2. AAA
3. क्षेत्रफल
4. पाइथागोरस
समझो:
थेल्स अनुपात है, AAA कोण है, क्षेत्रफल वर्ग है, पाइथागोरस कर्ण का वर्ग है।
2
प्रश्नावली को उसके काम से मिलाओ।
स्तंभ B: A. पाइथागोरस · B. समरूप आकृतियाँ · C. थेल्स का अनुपात · D. AAA, SSS, SAS
1. 6.1
2. 6.2
3. 6.3
4. 6.5 पुरानी किताब
समझो:
6.1 समरूप आकृति, 6.2 थेल्स, 6.3 कसौटियाँ। पाइथागोरस पुरानी किताब की 6.5 है।
अभिकथन–कारण
0/5पहले दोनों कथन जाँचो, फिर देखो कि कारण व्याख्या है या नहीं।
1
अभिकथन (A): DE || BC और AD = 3 cm, DB = 6 cm, AE = 4 cm हो तो EC = 8 cm।
कारण (R): AD/DB = AE/EC।
समझो:
दोनों सही हैं और R गणना का आधार है।
2
अभिकथन (A): सभी वृत्त समरूप हैं।
कारण (R): समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात भुजाओं के वर्ग के बराबर होता है।
समझो:
दोनों सही हैं, पर R वृत्तों की समरूपता की व्याख्या नहीं है।
3
अभिकथन (A): भुजाएँ 3, 4, 5 और 6, 8, 10 वाली त्रिभुज समरूप हैं।
कारण (R): वे सर्वांगसम भी हैं।
समझो:
A सही है, SSS और अनुपात 1:2। R गलत है।
4
अभिकथन (A): 6 cm, 8 cm, 11 cm एक समकोण त्रिभुज की भुजाएँ हैं।
कारण (R): विलोम में सबसे बड़ी भुजा का वर्ग बाकी दो के वर्गों के योग के बराबर होना चाहिए।
समझो:
A गलत है, 36 + 64 = 100 ≠ 121। R सही है।
5
अभिकथन (A): 4 cm और 6 cm वाले वर्ग समरूप हैं पर सर्वांगसम नहीं।
कारण (R): आकार एक है और नाप का अनुपात 2:3 है, 1:1 नहीं।
समझो:
दोनों सही हैं और R व्याख्या है।
गुणांक अभ्यास
0/4ये रसायन की पंक्तियाँ इस गणित अध्याय का परिणाम नहीं हैं। केवल गुणांक भरने का अभ्यास है। खाली स्थान का अर्थ 1 है।
1
यह गुणांक अभ्यास है और इस गणित अध्याय का परिणाम नहीं। H2 + O2 से पानी बनने की पंक्ति में गुणांक भरो (खाली = 1)।
H2 + O2 → H2O
समझो: 2H2 + O2 → 2H2O
2
यह गुणांक अभ्यास है और इस गणित अध्याय का परिणाम नहीं। N2 + H2 से अमोनिया की पंक्ति में गुणांक भरो (खाली = 1)।
N2 + H2 → NH3
समझो: N2 + 3H2 → 2NH3
3
यह गुणांक अभ्यास है और इस गणित अध्याय का परिणाम नहीं। C + O2 से कार्बन डाइऑक्साइड की पंक्ति में गुणांक भरो (खाली = 1)।
C + O2 → CO2
समझो: C + O2 → CO2
4
यह गुणांक अभ्यास है और इस गणित अध्याय का परिणाम नहीं। CH4 + O2 की दहन पंक्ति में गुणांक भरो (खाली = 1)।
CH4 + O2 → CO2 + H2O
समझो: CH4 + 2O2 → CO2 + 2H2O
वर्गीकरण
0/21
हर जोड़ी को समरूप, सर्वांगसम या इनमें से कोई नहीं में रखो।
4 cm और 6 cm वाले वर्ग
समान नाप के दो वृत्त
एक त्रिभुज और एक वर्ग
भुजा 3, 4, 5 और 6, 8, 10
समझो:
वर्ग समरूप हैं। बराबर वृत्त सर्वांगसम भी हैं। त्रिभुज और वर्ग अलग आकार हैं। 3-4-5 और 6-8-10 समरूप हैं।
2
हर कसौटी को उसके निशान में रखो।
तीनों संगत कोण बराबर
तीनों भुजाएँ एक अनुपात में
एक कोण और उसकी बाँहों का अनुपात
कर्ण² = शेष दो के वर्गों का योग
समझो:
कोण AAA, तीन भुजाएँ SSS, शामिल कोण SAS, कर्ण पाइथागोरस।
अति लघु उत्तरीय
0/41
समरूप आकृति की परिभाषा एक पंक्ति में लिखो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
एक ही आकार की आकृतियाँ समरूप हैं, नाप बराबर होना जरूरी नहीं।
अपना उत्तर जाँचो:
2
थेल्स का अनुपात लिखो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
DE || BC हो तो AD/DB = AE/EC।
अपना उत्तर जाँचो:
3
समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफल का सूत्र लिखो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
ar(ABC)/ar(DEF) = (AB/DE)², जब ΔABC ~ ΔDEF।
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4
पाइथागोरस प्रमेय लिखो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
समकोण त्रिभुज में कर्ण² = शेष दो भुजाओं के वर्गों का योग।
अपना उत्तर जाँचो:
लघु उत्तरीय
0/41
DE || BC, AD = 5 cm, DB = 10 cm, EC = 8 cm। AE निकालो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
AD/DB = AE/EC। 5/10 = AE/8। 1/2 = AE/8। AE = 4 cm।
अपना उत्तर जाँचो:
2
ΔABC ~ ΔDEF, AB = 6 cm, DE = 9 cm, BC = 8 cm। EF निकालो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
AB/DE = BC/EF। 6/9 = 8/EF। 2/3 = 8/EF। EF = 12 cm।
अपना उत्तर जाँचो:
3
समरूप त्रिभुजों की संगत भुजाएँ 4 cm और 6 cm हैं। छोटे का क्षेत्रफल 24 cm² है। बड़े का क्षेत्रफल निकालो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
(4/6)² = 16/36 = 4/9। 24/ar = 4/9। ar = 24 × 9/4 = 54। बड़ा क्षेत्रफल 54 cm²।
अपना उत्तर जाँचो:
4
9 cm और 12 cm वाली समकोण भुजाओं का कर्ण निकालो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
c² = 81 + 144 = 225। c = 15 cm।
अपना उत्तर जाँचो:
दीर्घ उत्तरीय
0/31
त्रिभुज ABC में DE || BC, AD = 4 cm, DB = 4 cm, AE = 5 cm। EC निकालो। फिर बताओ कि AD/AB और AE/AC क्या देते हैं।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
AD/DB = AE/EC। 4/4 = 5/EC। EC = 5 cm। AB = 8 cm, AC = 10 cm। AD/AB = 4/8 = 1/2 और AE/AC = 5/10 = 1/2। दोनों रूप एक ही अनुपात देते हैं।
अपना उत्तर जाँचो:
2
दो त्रिभुजों की भुजाएँ 5, 12, 13 cm और 10, 24, 26 cm हैं। समरूपता की कसौटी, अनुपात, और क्या वे समकोण हैं, यह लिखो। क्षेत्रफलों का अनुपात भी निकालो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
10/5 = 24/12 = 26/13 = 2। SSS से समरूप, अनुपात 1:2। 25 + 144 = 169 = 13², इसलिए पहली समकोण है और दूसरी भी, क्योंकि 100 + 576 = 676 = 26²। क्षेत्रफलों का अनुपात (1/2)² = 1:4।
अपना उत्तर जाँचो:
3
एक खंभे की छाया 6 m है और उसी समय 2 m ऊँची खूँटी की छाया 1.5 m है। खंभे की ऊँचाई निकालो। कौन-सी समरूपता लगी?
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
धूप एक ही कोण बनाती है, इसलिए त्रिभुज AA से समरूप हैं। ऊँचाई/छाया बराबर: h/6 = 2/1.5। h = 6 × 2/1.5 = 6 × 4/3 = 8। खंभे की ऊँचाई 8 m।
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BSEB मॉडल प्रश्न-पत्र · अभ्यास
0/6यह मॉडल सेट अभ्यास के लिए है। किसी वर्ष की वार्षिक परीक्षा का प्रश्न नहीं है।
1
निम्न में सर्वांगसम जोड़ी है —
💡 संकेत:
नाप भी एक।
समझो:
समान त्रिज्या के वृत्त सर्वांगसम हैं।
2
AD = 2 cm, DB = 3 cm, AE = 4 cm, DE || BC हो तो EC है —
💡 संकेत:
2/3 = 4/EC।
समझो:
EC = 6 cm।
3
9² + 12² = ______।
💡 संकेत:
225।
समझो:
कर्ण 15 cm।
4
AD = 3 cm, DB = 5 cm, AE = 4 cm, EC = 6 cm। क्या DE || BC? अनुपात दिखाओ।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
AD/DB = 3/5। AE/EC = 4/6 = 2/3। 3/5 ≠ 2/3, इसलिए DE, BC के समांतर नहीं है।
अपना उत्तर जाँचो:
5
समकोण त्रिभुज का लंब 8 cm और कर्ण 17 cm है। आधार निकालो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
17² = 8² + b²। 289 = 64 + b²। b² = 225। b = 15 cm।
अपना उत्तर जाँचो:
6
अभिकथन (A): सभी समबाहु त्रिभुज समरूप हैं।
कारण (R): उनकी भुजाएँ हमेशा बराबर होती हैं, इसलिए वे सर्वांगसम हैं।
समझो:
A सही है, कोण 60° हैं। R गलत है, भुजाएँ अलग हो सकती हैं।
CBSE-शैली प्रश्न
0/6ये योग्यता-आधारित अभ्यास प्रश्न हैं। किसी वर्ष के प्रश्नपत्र की प्रति नहीं हैं।
1
एक छात्र ΔABC ~ ΔDEF में AB/EF लिखता है। AB = 4 cm, DE = 8 cm, EF = 10 cm। सही संगत अनुपात है —
💡 संकेत:
अक्षरों का क्रम A-D, B-E।
समझो:
AB की संगत DE है। 4/8 = 1/2। EF संगत नहीं।
2
एक दीवार की छाया 9 m है। उसी समय 1.5 m की लाठी की छाया 1 m है। दीवार की ऊँचाई है —
💡 संकेत:
h/9 = 1.5/1।
समझो:
h = 9 × 1.5 = 13.5 m। AA समरूपता।
3
अभिकथन (A): क्षेत्रफल 16 cm² और 36 cm² वाले समरूप त्रिभुजों की संगत भुजाओं का अनुपात 2:3 है।
कारण (R): क्षेत्रफलों का अनुपात भुजाओं के अनुपात का वर्ग होता है।
समझो:
दोनों सही हैं। 16/36 = 4/9 = (2/3)²।
4
अभिकथन (A): किसी भी दो आयतों की जोड़ी समरूप होती है।
कारण (R): बहुभुज में संगत कोणों के साथ संगत भुजाओं का अनुपात भी चाहिए।
समझो:
A गलत है। वर्ग और लंबा आयत समरूप नहीं। R सही है।
5
एक सीढ़ी दीवार से 8 m दूर जमीन पर टिकी है और दीवार पर 15 m की ऊँचाई तक पहुँचती है। सीढ़ी की लंबाई निकालो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
समकोण है। c² = 8² + 15² = 64 + 225 = 289। c = 17 m।
अपना उत्तर जाँचो:
6
नई किताब की प्रश्नावली 6.3 क्या पूछती है? पुरानी किताब में क्षेत्रफल और पाइथागोरस किस संख्या पर हैं?
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
नई NCERT की 6.3 समरूपता की कसौटी AAA, SSS और SAS पूछती है। क्षेत्रफल पुरानी बिहार प्रश्नावली 6.4 है और पाइथागोरस 6.5।
अपना उत्तर जाँचो:
🏛️ बोर्ड परीक्षा कॉर्नर — बिहार बोर्ड (BSEB)— CBSE
ऊपर «BSEB | CBSE» से बोर्ड बदलो। पाठ वही NCERT है।
BSEB मॉडल · अभ्यासबोर्ड टिप
इस पेज पर वार्षिक परीक्षा का सत्यापित प्रश्न नहीं है, क्योंकि स्रोत पृष्ठ नहीं जोड़ा गया। नीचे मॉडल सेट बोर्ड के पैटर्न पर अभ्यास के लिए है।
सत्यापित लेबल तभी लगेगा जब प्रश्न का स्रोत पृष्ठ उपलब्ध हो।
CBSE-शैली · योग्यता-आधारित
ये केस और अभिकथन-कारण अभ्यास हैं। इन्हें CBSE का पुराना प्रश्न मत समझो।
🔁 स्पेस्ड रिव्यू — आज के प्रश्न
गलत प्रश्न जल्दी लौटते हैं, सही वाले कुछ दिन बाद।
🧠 आपने क्या सीखा + समीकरण-पत्रक
आपने क्या सीखा
- समरूप का अर्थ समान आकार है; नाप बराबर होना जरूरी नहीं।
- सर्वांगसम आकृतियाँ समरूप होती हैं, पर हर समरूप जोड़ी सर्वांगसम नहीं।
- DE || BC हो तो AD/DB = AE/EC। यह आधारभूत समानुपातिकता है।
- त्रिभुज के लिए AAA, SSS या SAS समरूपता काफी है। अक्षरों का क्रम संगतता है।
- समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात संगत भुजाओं के वर्ग के बराबर है।
- समकोण त्रिभुज में कर्ण² = आधार² + लंब²। विलोम भी सही है।
| क्या | याद रखने लायक |
|---|---|
| समरूप | same shape, size may differ |
| सर्वांगसम | same shape and same size |
| थेल्स | AD/DB = AE/EC if DE || BC |
| AAA / AA | equal corresponding angles |
| क्षेत्रफल | ar ratio = (side ratio)² |
| पाइथागोरस | a² + b² = c² |
नोट्स मूल लेखन हैं। पाठ्यपुस्तक केवल क्रम और क्रियाकलाप-संख्या के लिए संदर्भ है। «सत्यापित» केवल स्रोत पृष्ठ वाले प्रश्न पर लिखा जाएगा।