1
AB = 8 cm, BC = 15 cm, AC = 17 cm, समकोण B पर। sin A है —
💡 संकेत:
सम्मुख/कर्ण।
समझो:
BC/AC = 15/17।
कक्षा 10 · गणित · अध्याय 8 · बिहार बोर्ड (BSEB)CBSE · NCERT 2026-27
त्रिकोणमिति का परिचय
Introduction to Trigonometry
इस पेज को ऐसे पढ़ो:
1. पढ़ो — sin cos tan · व्युत्क्रम · 0° से 90° · sin²+cos²=1 · sec²−tan²=1, चित्र, हल उदाहरण, बोर्ड टिप
2. जाँचो — हर पाठ के अपने प्रश्न; संख्या पाठ के हिसाब से
3. महारत ★ — उस पाठ के सब सही। गलत वाले «दोबारा करो»
4. याद रखने वाला चित्र समकोण त्रिभुज में सम्मुख, आसन्न और कर्ण दिखाकर sin A = सम्मुख/कर्ण लिखता है।
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- 1 sin, cos और tan
- 2 व्युत्क्रम और एक अनुपात से बाकी
- 3 0°, 30°, 45°, 60°, 90° के मान
- 4 मानों को जोड़ना और घटाना
- 5 sin²A + cos²A = 1
- 6 sec और cosec वाली पहचान
- अध्याय-विजेता — सभी पाठ महारत ★
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sin, cos और tan
sin, cos and tan · NCERT 8.2 · प्रश्नावली 8.1 · सम्मुख और कर्ण
तीन भुजाएँ, एक कोणनोट्स
त्रिभुज समकोण पर हो। कोण A न्यून हो। sin A = सम्मुख/कर्ण, cos A = आसन्न/कर्ण, tan A = सम्मुख/आसन्न।
कर्ण सबसे लंबी भुजा है और समकोण के सामने होती है। समकोण वाले शीर्ष के लिए ये अनुपात नहीं बनाते। प्रश्नावली 8.1 पहले इन्हीं तीनों को भुजाओं से निकलवाती है। tan = sin/cos भी है, जब cos शून्य न हो।
पहले समकोण पर निशान लगाओक्रियाकलाप
भुजाएँ 8 cm, 15 cm और 17 cm हों और समकोण B पर हो। A के सम्मुख BC = 15 cm है, आसन्न AB = 8 cm है, कर्ण AC = 17 cm है। 8² + 15² = 64 + 225 = 289 = 17²। जाँच बिना अनुपात मत लिखो।
हल किया हुआ उदाहरणउदाहरण
प्रश्न: समकोण B पर है। AB = 8 cm, BC = 15 cm, AC = 17 cm। sin A, cos A और tan A निकालो।
सूत्र: sin A = BC/AC, cos A = AB/AC, tan A = BC/AB।
प्रतिस्थापन: sin A = 15/17, cos A = 8/17, tan A = 15/8।
उत्तर: sin A = 15/17, cos A = 8/17, tan A = 15/8। इकाई अनुपात में नहीं रहती। जाँच: (8/17)² + (15/17)² = (64+225)/289 = 1।
10-सेकंड रिवीजन
- sin = सम्मुख/कर्ण
- cos = आसन्न/कर्ण
- tan = सम्मुख/आसन्न
बोर्ड टिप · BSEBबोर्ड टिप
BSEB में भुजा cm में और अनुपात भिन्न में लिखो। दोनों को एक इकाई मत दो।
बोर्ड टिप · CBSEबोर्ड टिप
CBSE में समकोण वाले अक्षर को कोण A मत बना देना। चित्र का अक्षर ही रखो।
समझ जाँचोसब सही = महारत ★
2
उसी त्रिभुज में cos A = 8/17।
समझो:
सही — आसन्न/कर्ण = AB/AC।
3
उसी त्रिभुज में tan A = ______।
💡 संकेत:
सम्मुख/आसन्न।
समझो:
15/8।
4
उसी त्रिभुज में sin C और cos C लिखो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
C के सम्मुख AB = 8 cm और आसन्न BC = 15 cm है। sin C = 8/17, cos C = 15/17।
अपना उत्तर जाँचो:
व्युत्क्रम और एक अनुपात से बाकी
Reciprocals, and the rest from one ratio · प्रश्नावली 8.1 · cosec, sec, cot · sin ≤ 1
एक भिन्न से पूरा त्रिभुजनोट्स
cosec A = 1/sin A, sec A = 1/cos A, cot A = 1/tan A। न्यून कोण में सब धनात्मक हैं।
sin A = 3/5 हो तो सम्मुख 3, कर्ण 5, आसन्न √(25−9) = 4। फिर cos = 4/5 और tan = 3/4। sin या cos कभी 1 से बड़ा नहीं। sin θ = 4/3 असंभव है। sec = 13/5 संभव है, क्योंकि sec कम से कम 1 होता है। cos, cosecant का नाम नहीं। प्रश्नावली 8.1 का सही-गलत हिस्सा यही सावधानियाँ हैं।
कर्ण को सबसे बड़ी भुजा रखोक्रियाकलाप
cot A = 8/15 हो तो आसन्न 8 और सम्मुख 15। कर्ण √(64+225) = √289 = 17। sin A = 15/17 और sec A = 17/8। अगर कोई कहे कि कर्ण 8 है, तो त्रिभुज बन ही नहीं सकता।
हल किया हुआ उदाहरणउदाहरण
प्रश्न: sin A = 3/5 और A न्यून है। cos A और tan A निकालो।
सूत्र: cos²A = 1 − sin²A, और tan A = sin A / cos A।
प्रतिस्थापन: cos²A = 1 − 9/25 = 16/25। cos A = 4/5, क्योंकि न्यून कोण पर cos धनात्मक है। tan A = (3/5)/(4/5) = 3/4।
उत्तर: cos A = 4/5, tan A = 3/4। जाँच: सम्मुख 3, आसन्न 4, कर्ण 5।
10-सेकंड रिवीजन
- cosec = 1/sin, sec = 1/cos, cot = 1/tan
- sin और cos ≤ 1
- न्यून कोण पर वर्गमूल धनात्मक
बोर्ड टिप · BSEBबोर्ड टिप
BSEB में 3-4-5 वाला त्रिभुज एक पंक्ति में दिखाओ, फिर अनुपात।
बोर्ड टिप · CBSEबोर्ड टिप
CBSE में sin = 4/3 को “बड़ा मान” कहकर छोड़ना काफी नहीं। लिखो कि यह असंभव है।
समझ जाँचोसब सही = महारत ★
1
sin A = 3/5 हो तो cos A है —
💡 संकेत:
आसन्न 4, कर्ण 5।
समझो:
4/5।
2
किसी कोण पर sin θ = 4/3 हो सकता है।
समझो:
गलत — sin 1 से बड़ा नहीं होता।
3
sin A = 3/5 हो तो cosec A = ______।
💡 संकेत:
व्युत्क्रम।
समझो:
5/3।
4
cot A = 8/15 हो तो कर्ण है —
💡 संकेत:
8² + 15²।
समझो:
√289 = 17।
5
cos A, cosecant का छोटा नाम है।
समझो:
गलत — cos cosine है। cosecant का नाम cosec है।
6
sec A = 13/5 और A न्यून है। sin A निकालो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
कर्ण 13, आसन्न 5। सम्मुख √(169−25) = √144 = 12। sin A = 12/13।
अपना उत्तर जाँचो:
0°, 30°, 45°, 60°, 90° के मान
Values at 0°, 30°, 45°, 60°, 90° · NCERT 8.3 · प्रश्नावली 8.2 की सारणी
पाँच कोण, तीन पंक्तियाँनोट्स
sin की पंक्ति 0, 1/2, 1/√2, √3/2, 1 है। cos की पंक्ति उलटी है। tan = sin/cos।
45° वाले समद्विबाहु समकोण में दोनों भुजाएँ a हों तो कर्ण a√2, इसलिए sin 45° = cos 45° = 1/√2 और tan 45° = 1। 30° और 60° समबाहु त्रिभुज को आधा काटने से आते हैं। tan 90° और sec 90° नहीं बने। cot 0° और cosec 0° नहीं बने। प्रश्नावली 8.2 इसी सारणी को पढ़ती है।
sin लिखो, cos को उलटा पढ़ोक्रियाकलाप
कोण 0, 30, 45, 60, 90 के नीचे sin लिखो। फिर वही पाँच मान दाएँ से बाएँ cos की पंक्ति बन जाते हैं। tan 30° = (1/2)/(√3/2) = 1/√3। tan 60° = (√3/2)/(1/2) = √3। सारणी में sin 30° और cos 60° दोनों 1/2 हैं। यह जोड़ का नियम नहीं है।
| कोण | sin | cos | tan |
|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 1 | 0 |
| 30° | 1/2 | √3/2 | 1/√3 |
| 45° | 1/√2 | 1/√2 | 1 |
| 60° | √3/2 | 1/2 | √3 |
| 90° | 1 | 0 | नहीं |
हल किया हुआ उदाहरणउदाहरण
प्रश्न: sin 30° और tan 45° के मान लिखो। cos 60° भी।
सूत्र: सारणी — sin 30° = 1/2, tan 45° = 1, cos 60° = 1/2।
प्रतिस्थापन: कोई भुजा नहीं दी। मान सीधे सारणी के हैं।
उत्तर: 1/2, 1 और 1/2। sin 30° = cos 60°।
10-सेकंड रिवीजन
- sin 30° = 1/2
- tan 45° = 1
- tan 90° परिभाषित नहीं
बोर्ड टिप · BSEBबोर्ड टिप
BSEB में 1/√2 को √2/2 भी लिख सकते हो, पर एक ही रूप पूरे उत्तर में रखो।
बोर्ड टिप · CBSEबोर्ड टिप
CBSE में tan 90° को 0 या अनंत की संख्या मत लिखो। लिखो कि परिभाषित नहीं।
समझ जाँचोसब सही = महारत ★
1
sin 30° बराबर है —
💡 संकेत:
सारणी का दूसरा कोण।
समझो:
1/2।
2
tan 45° = 1।
समझो:
सही — सम्मुख और आसन्न बराबर हैं।
3
cos 60° = ______।
💡 संकेत:
sin 30° के बराबर।
समझो:
1/2।
4
tan 90° —
💡 संकेत:
cos 90° = 0।
समझो:
tan = sin/cos, और हर शून्य है।
5
sin 45° और cos 45° क्यों बराबर हैं? एक कारण लिखो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
45°-45°-90° त्रिभुज में सम्मुख और आसन्न दोनों a हैं और कर्ण a√2 है। इसलिए दोनों अनुपात 1/√2 हैं।
अपना उत्तर जाँचो:
मानों को जोड़ना और घटाना
Adding and subtracting the values · प्रश्नावली 8.2 · sin(A+B) ≠ sin A + sin B
सारणी से गणना, नया नियम नहींनोट्स
0° से 90° तक sin बढ़ता है और cos घटता है। sin(A + B) = sin A + sin B नहीं होता।
sin 60° cos 30° + sin 30° cos 60° = 1, जो sin 90° है। पर sin 60° + sin 30° = √3/2 + 1/2, जो 1 नहीं। sin θ = cos θ केवल 45° पर, हर कोण पर नहीं। cot 0° नहीं बना। प्रश्नावली 8.2 का सही-गलत हिस्सा यही है।
हर मान को भिन्न बनाकर जोड़ोक्रियाकलाप
2 tan² 45° + cos² 30° − sin² 60°। tan 45° = 1, इसलिए पहला पद 2। cos 30° = √3/2, वर्ग 3/4। sin 60° = √3/2, वर्ग 3/4। 2 + 3/4 − 3/4 = 2। वर्ग को कोण पर मत लगा देना।
हल किया हुआ उदाहरणउदाहरण
प्रश्न: sin 60° cos 30° + sin 30° cos 60° का मान निकालो।
सूत्र: sin 60° = cos 30° = √3/2, sin 30° = cos 60° = 1/2।
प्रतिस्थापन: (√3/2)(√3/2) + (1/2)(1/2) = 3/4 + 1/4 = 1।
उत्तर: 1। यह sin 90° के बराबर है। sin 60° + sin 30° इसका मान नहीं।
10-सेकंड रिवीजन
- 0° से 90° तक sin बढ़ता है, cos घटता है
- sin(A+B) को जोड़ में मत तोड़ो
- sin = cos केवल 45° पर
बोर्ड टिप · BSEBबोर्ड टिप
BSEB में हर मानक मान अलग पंक्ति में लिखो, फिर एक ही भिन्न में जोड़ो।
बोर्ड टिप · CBSEबोर्ड टिप
CBSE में “बढ़ता है” वाला वाक्य कोण की सीमा 0° से 90° के साथ लिखो।
समझ जाँचोसब सही = महारत ★
1
sin 60° cos 30° + sin 30° cos 60° बराबर है —
💡 संकेत:
3/4 + 1/4।
समझो:
1।
2
sin(A + B) = sin A + sin B हर न्यून कोण पर।
समझो:
गलत — 60° और 30° पर बायाँ पक्ष 1 है, दायाँ नहीं।
3
2 tan² 45° + cos² 30° − sin² 60° = ______।
💡 संकेत:
2 + 3/4 − 3/4।
समझो:
2।
4
0° से 90° तक cos घटता है या बढ़ता है? sin 0° और sin 90° से एक तुलना भी लिखो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
cos 0° = 1 और cos 90° = 0, इसलिए cos घटता है। sin 0° = 0 और sin 90° = 1, इसलिए sin बढ़ता है।
अपना उत्तर जाँचो:
sin²A + cos²A = 1
sin²A + cos²A = 1 · NCERT 8.4 · प्रश्नावली 8.3 · पहली पहचान
पाइथागोरस को कर्ण के वर्ग से बाँटोनोट्स
समकोण त्रिभुज में सम्मुख² + आसन्न² = कर्ण²। हर पद को कर्ण² से भाग दो। sin²A + cos²A = 1।
यह 0° से 90° तक हर कोण पर सच है, इसलिए पहचान है। एक समीकरण जो केवल एक कोण पर सही हो, पहचान नहीं। प्रश्नावली 8.3 इसी से बाकी अनुपात को cot या sec के रूप में लिखवाती है। वर्ग को कोण पर नहीं, अनुपात पर लगाते हैं: sin²A का अर्थ (sin A)² है।
ज्ञात वर्ग घटाकर दूसरा निकालोक्रियाकलाप
sin A = 5/13 हो तो sin²A = 25/169। cos²A = 1 − 25/169 = 144/169। cos A = 12/13। tan A = 5/12। कर्ण 13, सम्मुख 5, आसन्न 12। 5-12-13 की जाँच 25 + 144 = 169।
हल किया हुआ उदाहरणउदाहरण
प्रश्न: sin A = 5/13, A न्यून है। cos A निकालो।
सूत्र: cos²A = 1 − sin²A।
प्रतिस्थापन: cos²A = 1 − 25/169 = 144/169।
उत्तर: cos A = 12/13। ऋण मूल नहीं, क्योंकि A न्यून है।
10-सेकंड रिवीजन
- sin²A + cos²A = 1
- वर्ग अनुपात पर है, कोण पर नहीं
- न्यून कोण पर cos धनात्मक
बोर्ड टिप · BSEBबोर्ड टिप
BSEB में 1 − 25/169 को एक भिन्न 144/169 तक लिखो। सीधे 12/13 मत कूदो।
बोर्ड टिप · CBSEबोर्ड टिप
CBSE में sin²A को sin(A²) मत पढ़ो।
समझ जाँचोसब सही = महारत ★
1
sin A = 5/13 हो तो cos A है —
💡 संकेत:
144/169 का मूल।
समझो:
12/13।
2
sin²A + cos²A = 1 केवल 45° पर सही है।
समझो:
गलत — यह 0° से 90° तक पहचान है।
3
sin A = 5/13 हो तो cos²A = ______।
💡 संकेत:
1 − 25/169।
समझो:
144/169।
4
sin²A का अर्थ है —
💡 संकेत:
वर्ग अनुपात पर है।
समझो:
(sin A) का वर्ग।
5
cos A = 12/13 और sin A = 5/13 एक न्यून कोण पर साथ हो सकते हैं।
समझो:
सही — 25/169 + 144/169 = 1।
6
cos A = 8/17 हो तो sin A और tan A निकालो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
sin²A = 1 − 64/289 = 225/289। sin A = 15/17। tan A = (15/17)/(8/17) = 15/8।
अपना उत्तर जाँचो:
sec और cosec वाली पहचान
The identities with sec and cosec · प्रश्नावली 8.3 · 1 + tan²A = sec²A
उसी पाइथागोरस को दूसरी भुजा से बाँटोनोट्स
पाइथागोरस को आसन्न के वर्ग से भाग दो। 1 + tan²A = sec²A। सम्मुख के वर्ग से भाग दो तो 1 + cot²A = cosec²A।
इसलिए sec²A − tan²A = 1। 9 sec²A − 9 tan²A = 9। यह प्रश्नावली 8.3 का पहला विकल्प वाला प्रश्न है। कोण 90° पर tan और sec नहीं बने, और 0° पर cot और cosec नहीं बने। (sec A + tan A)(1 − sin A) = cos A, क्योंकि (1 − sin²A)/cos A = cos A।
पहले पहचान, फिर संख्याक्रियाकलाप
9 sec²A − 9 tan²A = 9(sec²A − tan²A) = 9 × 1 = 9। विकल्पों में 1, 9, 8 और 0 हैं। 9 ही सही है। घटाव को अंदर किए बिना 9 बाहर निकालो।
हल किया हुआ उदाहरणउदाहरण
प्रश्न: 9 sec²A − 9 tan²A का मान निकालो।
सूत्र: sec²A − tan²A = 1।
प्रतिस्थापन: 9(sec²A − tan²A) = 9 × 1।
उत्तर: 9। यह हर उस A पर है जहाँ sec और tan बने हों।
10-सेकंड रिवीजन
- 1 + tan²A = sec²A
- 1 + cot²A = cosec²A
- 9 sec²A − 9 tan²A = 9
बोर्ड टिप · BSEBबोर्ड टिप
BSEB में 9 को कोष्ठक के बाहर दिखाओ। सीधे 9 लिखना अधूरा है।
बोर्ड टिप · CBSEबोर्ड टिप
CBSE में पहचान उसी कोण-सीमा में लिखो जहाँ वह बनी हो। tan 90° पर sec² − tan² मत लगाओ।
समझ जाँचोसब सही = महारत ★
1
9 sec²A − 9 tan²A बराबर है —
💡 संकेत:
9(sec² − tan²)।
समझो:
9।
2
1 + cot²A = cosec²A।
समझो:
सही — जहाँ cot और cosec बने हों।
3
sec²A − tan²A = ______।
💡 संकेत:
पहचान।
समझो:
1।
4
(sec A + tan A)(1 − sin A) बराबर है —
💡 संकेत:
(1 − sin²A)/cos A।
समझो:
cos²A / cos A = cos A।
5
tan A = 3/4 हो तो sec A निकालो। A न्यून है।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
sec²A = 1 + tan²A = 1 + 9/16 = 25/16। sec A = 5/4। जाँच: आसन्न 4, सम्मुख 3, कर्ण 5।
अपना उत्तर जाँचो:
❓ पूरा प्रश्न बैंक — उत्तर व व्याख्या सहित — 65 प्रश्न
प्रकार चुनो। पाठों के 30 जाँच-प्रश्न अलग हैं — हर पाठ में जितने उसके विषय माँगते हैं। सब सही होने पर महारत ★ मिलती है।
BSEB मॉडलअभ्यास · वार्षिक नहीं60 किए · 0 सहीबहुविकल्पीMCQ120 किए · 0 सहीसही / गलतसही-गलत80 किए · 0 सहीरिक्त स्थानरिक्त स्थान80 किए · 0 सहीमिलान करोमिलान20 किए · 0 सहीअभिकथन-कारणअभिकथन-कारण50 किए · 0 सहीसमीकरण संतुलनसंतुलन40 किए · 0 सहीअभिक्रिया पहचानपहचान20 किए · 0 सहीलघु / दीर्घ उत्तरीयअति लघु, लघु, दीर्घ120 किए · 0 सहीCBSE-शैलीPYQ नहीं60 किए · 0 सही
कोई भी प्रश्न «सत्यापित PYQ» नहीं है। BSEB वाला सेट मॉडल अभ्यास है। CBSE वाले प्रश्न CBSE-शैली हैं, किसी वर्ष के पेपर की प्रति नहीं।
बहुविकल्पी
0/12एक विकल्प चुनो। गलत पर संकेत मिलेगा।
1
sin A बराबर है —
💡 संकेत:
परिभाषा।
समझो:
सम्मुख/कर्ण।
2
AB = 8, BC = 15, AC = 17, समकोण B। cos A है —
💡 संकेत:
आसन्न/कर्ण।
समझो:
8/17।
3
sin A = 3/5 हो तो cos A है —
💡 संकेत:
3-4-5।
समझो:
4/5।
4
sin 30° है —
💡 संकेत:
सारणी।
समझो:
1/2।
5
tan 45° है —
💡 संकेत:
सम्मुख = आसन्न।
समझो:
1।
6
sin 60° cos 30° + sin 30° cos 60° है —
💡 संकेत:
3/4 + 1/4।
समझो:
1।
7
sin A = 5/13 हो तो cos A है —
💡 संकेत:
144/169।
समझो:
12/13।
8
9 sec²A − 9 tan²A है —
💡 संकेत:
9 × 1।
समझो:
9।
9
tan 90° —
💡 संकेत:
cos 90° = 0।
समझो:
परिभाषित नहीं।
10
sec A = 13/5 हो तो sin A है —
💡 संकेत:
सम्मुख 12।
समझो:
12/13।
11
2 tan²45° + cos²30° − sin²60° है —
💡 संकेत:
2 + 3/4 − 3/4।
समझो:
2।
12
tan A = 3/4 हो तो sec A है —
💡 संकेत:
1 + 9/16 = 25/16।
समझो:
5/4।
सही / गलत
0/81
cos A = आसन्न/कर्ण।
समझो:
सही।
2
sin θ = 4/3 संभव है।
समझो:
गलत — sin ≤ 1।
3
tan A हमेशा 1 से छोटा होता है।
समझो:
गलत — tan 60° = √3 > 1।
4
cos 60° = 1/2।
समझो:
सही।
5
sin(A+B) = sin A + sin B।
समझो:
गलत।
6
sin²A + cos²A = 1।
समझो:
सही।
7
cot 0° परिभाषित है।
समझो:
गलत — sin 0° = 0, इसलिए cot नहीं बनता।
8
1 + tan²A = sec²A।
समझो:
सही, जहाँ दोनों बने हों।
रिक्त स्थान
0/81
tan A = सम्मुख / ______।
💡 संकेत:
आसन्न।
समझो:
नीचे वाली भुजा।
2
sin A = 3/5 हो तो cosec A = ______।
💡 संकेत:
5/3।
समझो:
उलट दो।
3
sin 90° = ______।
💡 संकेत:
1।
समझो:
सारणी का आखिरी।
4
tan 30° = ______।
💡 संकेत:
1/√3।
समझो:
sin/cos।
5
cos²A = 1 − ______।
💡 संकेत:
sin²A।
समझो:
पहली पहचान।
6
sec²A − tan²A = ______।
💡 संकेत:
1।
समझो:
पहचान।
7
cos 0° = ______।
💡 संकेत:
1।
समझो:
सबसे बायाँ cos।
8
sin 45° = ______।
💡 संकेत:
1/√2।
समझो:
cos 45° भी यही है।
मिलान करो
0/21
अनुपात को उसके अर्थ से मिलाओ।
स्तंभ B: A. कर्ण/सम्मुख · B. सम्मुख/कर्ण · C. आसन्न/कर्ण · D. सम्मुख/आसन्न
1. sin A
2. cos A
3. tan A
4. cosec A
समझो:
sin सम्मुख/कर्ण, cos आसन्न/कर्ण, tan सम्मुख/आसन्न, cosec उसका उलट।
2
प्रश्नावली को उसके काम से मिलाओ।
स्तंभ B: A. tan = 1 · B. भुजाओं से अनुपात · C. 0° से 90° के मान · D. sin²+cos²=1
1. 8.1
2. 8.2
3. 8.3
4. सारणी का 45°
समझो:
8.1 अनुपात, 8.2 मानक मान, 8.3 पहचान। 45° पर tan = 1।
अभिकथन–कारण
0/5पहले दोनों कथन जाँचो, फिर देखो कि कारण व्याख्या है या नहीं।
1
अभिकथन (A): sin A = 3/5 हो तो cos A = 4/5।
कारण (R): cos²A = 1 − sin²A और न्यून कोण पर मूल धनात्मक है।
समझो:
दोनों सही हैं और R कारण है।
2
अभिकथन (A): tan 45° = 1।
कारण (R): sin²A + cos²A = 1।
समझो:
दोनों सही हैं, पर R इस मान की व्याख्या नहीं। मान सम्मुख और आसन्न के बराबर होने से आता है।
3
अभिकथन (A): 9 sec²A − 9 tan²A = 9।
कारण (R): sec²A − tan²A = 0।
समझो:
A सही है। R गलत है, अंतर 1 है।
4
अभिकथन (A): sin θ = 4/3 किसी कोण पर संभव है।
कारण (R): सम्मुख भुजा कर्ण से लंबी नहीं हो सकती।
समझो:
A गलत है। R सही है।
5
अभिकथन (A): sin 60° cos 30° + sin 30° cos 60° = 1।
कारण (R): मान √3/2 और 1/2 रखने पर 3/4 + 1/4 बचता है।
समझो:
दोनों सही हैं और R गणना है।
गुणांक अभ्यास
0/4ये रसायन की पंक्तियाँ इस गणित अध्याय का परिणाम नहीं हैं। केवल गुणांक भरने का अभ्यास है। खाली स्थान का अर्थ 1 है।
1
यह गुणांक अभ्यास है और इस गणित अध्याय का परिणाम नहीं। H2 + O2 से पानी बनने की पंक्ति में गुणांक भरो (खाली = 1)।
H2 + O2 → H2O
समझो: 2H2 + O2 → 2H2O
2
यह गुणांक अभ्यास है और इस गणित अध्याय का परिणाम नहीं। N2 + H2 से अमोनिया की पंक्ति में गुणांक भरो (खाली = 1)।
N2 + H2 → NH3
समझो: N2 + 3H2 → 2NH3
3
यह गुणांक अभ्यास है और इस गणित अध्याय का परिणाम नहीं। C + O2 से कार्बन डाइऑक्साइड की पंक्ति में गुणांक भरो (खाली = 1)।
C + O2 → CO2
समझो: C + O2 → CO2
4
यह गुणांक अभ्यास है और इस गणित अध्याय का परिणाम नहीं। CH4 + O2 की दहन पंक्ति में गुणांक भरो (खाली = 1)।
CH4 + O2 → CO2 + H2O
समझो: CH4 + 2O2 → CO2 + 2H2O
वर्गीकरण
0/21
हर कथन को संभव, असंभव या परिभाषित नहीं में रखो।
sin θ = 4/3
sec A = 13/5
tan 90°
sin 30° = 1/2
समझो:
4/3 असंभव है। 13/5 संभव है। tan 90° बना ही नहीं। sin 30° सारणी में 1/2 है।
2
हर पहचान को उसके रूप में रखो।
कर्ण के वर्ग से भाग
आसन्न के वर्ग से भाग
सम्मुख के वर्ग से भाग
9 sec²A − 9 tan²A
समझो:
कर्ण पहली पहचान, आसन्न sec वाली, सम्मुख cosec वाली। अंतर का 9 गुना 9 है।
अति लघु उत्तरीय
0/51
sin A, cos A और tan A की परिभाषा लिखो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
sin = सम्मुख/कर्ण, cos = आसन्न/कर्ण, tan = सम्मुख/आसन्न।
अपना उत्तर जाँचो:
2
sin 30°, sin 45° और sin 60° लिखो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
1/2, 1/√2 और √3/2।
अपना उत्तर जाँचो:
3
तीन पहचान लिखो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
sin²A + cos²A = 1, 1 + tan²A = sec²A, 1 + cot²A = cosec²A।
अपना उत्तर जाँचो:
4
cosec A को sin A से लिखो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
cosec A = 1/sin A।
अपना उत्तर जाँचो:
5
sin θ = 4/3 क्यों असंभव है?
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
सम्मुख भुजा कर्ण से बड़ी नहीं हो सकती, इसलिए sin 1 से बड़ा नहीं होता।
अपना उत्तर जाँचो:
लघु उत्तरीय
0/41
समकोण B पर है, AB = 5 cm, BC = 12 cm। कर्ण और sin A निकालो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
कर्ण √(25+144) = √169 = 13 cm। sin A = सम्मुख/कर्ण = 12/13।
अपना उत्तर जाँचो:
2
cos 30° sin 30° + sin 60° cos 60° निकालो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
(√3/2)(1/2) + (√3/2)(1/2) = √3/4 + √3/4 = √3/2।
अपना उत्तर जाँचो:
3
cot A = 3/4 हो तो sin A निकालो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
आसन्न 3, सम्मुख 4, कर्ण 5। sin A = 4/5।
अपना उत्तर जाँचो:
4
sec²A − tan²A और 1 + cot²A को पहचान से लिखो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
sec²A − tan²A = 1। 1 + cot²A = cosec²A।
अपना उत्तर जाँचो:
दीर्घ उत्तरीय
0/31
यदि tan A = 5/12 और A न्यून हो तो sin A, cos A और sec A निकालो। जाँच के लिए sin²+cos² दिखाओ।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
आसन्न 12, सम्मुख 5, कर्ण √(144+25) = 13। sin A = 5/13, cos A = 12/13, sec A = 13/12। (25+144)/169 = 1।
अपना उत्तर जाँचो:
2
सिद्ध करो कि (sec A + tan A)(1 − sin A) = cos A, जहाँ पद बने हों।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
sec A + tan A = (1 + sin A)/cos A। गुणा (1 − sin A) से: (1 − sin²A)/cos A = cos²A / cos A = cos A।
अपना उत्तर जाँचो:
3
एक समकोण त्रिभुज की एक न्यून कोण वाली आसन्न भुजा 9 cm और कर्ण 15 cm है। sin, cos, tan निकालो और बताओ यह कौन-सा पाइथागोरस त्रिक है।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
सम्मुख √(225−81) = √144 = 12 cm। sin = 12/15 = 4/5, cos = 9/15 = 3/5, tan = 12/9 = 4/3। भुजाएँ 9, 12, 15, यानी 3-4-5 का तीन गुना।
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BSEB मॉडल प्रश्न-पत्र · अभ्यास
0/6यह मॉडल सेट अभ्यास के लिए है। किसी वर्ष की वार्षिक परीक्षा का प्रश्न नहीं है।
1
प्रश्नावली 8.1 में असंभव है —
💡 संकेत:
sin ≤ 1।
समझो:
sin θ = 4/3 असंभव है।
2
cos 0° + sin 90° बराबर है —
💡 संकेत:
1 + 1।
समझो:
2।
3
tan 60° = ______।
💡 संकेत:
√3।
समझो:
sin/cos = (√3/2)/(1/2)।
4
cot A = 5/12 हो तो sec A निकालो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
आसन्न 5, सम्मुख 12, कर्ण 13। sec A = कर्ण/आसन्न = 13/5।
अपना उत्तर जाँचो:
5
sin²A + cos²A = 1 को समकोण त्रिभुज से दो पंक्तियों में निकालो। फिर cos A = 7/25 हो तो sin A निकालो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
सम्मुख² + आसन्न² = कर्ण²। कर्ण² से भाग: sin²A + cos²A = 1। sin²A = 1 − 49/625 = 576/625। sin A = 24/25।
अपना उत्तर जाँचो:
6
अभिकथन (A): 0° से 90° तक sin बढ़ता है।
कारण (R): उसी अंतराल में cos भी बढ़ता है।
समझो:
A सही है, 0 से 1। R गलत है, cos 1 से 0 तक घटता है।
CBSE-शैली प्रश्न
0/6ये योग्यता-आधारित अभ्यास प्रश्न हैं। किसी वर्ष के प्रश्नपत्र की प्रति नहीं हैं।
1
एक छात्र sin 60° + sin 30° को 1 लिखता है। सही बात है —
💡 संकेत:
मान अलग रखो।
समझो:
√3/2 + 1/2। गुणन वाला रूप sin 60 cos 30 + sin 30 cos 60 ही 1 देता है।
2
सीढ़ी दीवार तक 12 cm के आड़े और 9 cm के ऊर्ध्वाधर टुकड़े से नहीं, बल्कि 9 cm आसन्न और 15 cm कर्ण वाले कोण का sin है —
💡 संकेत:
सम्मुख 12।
समझो:
sin = 12/15 = 4/5।
3
अभिकथन (A): 9 sec²A − 9 tan²A = 9।
कारण (R): sec²A − tan²A = 1।
समझो:
दोनों सही हैं और R गुणक 9 का आधार है।
4
अभिकथन (A): cos A, cosecant का संक्षिप्त नाम है।
कारण (R): cosec A = 1/sin A और sec A = 1/cos A।
समझो:
A गलत है। R सही है।
5
एक रैंप भूमि से 30° पर है और उसकी लंबाई 4 m है। ऊँचाई निकालो। कौन-सा अनुपात लगा?
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
ऊँचाई सम्मुख है और रैंप कर्ण। sin 30° = h/4। h = 4 × 1/2 = 2 m।
अपना उत्तर जाँचो:
6
tan A = 8/15 हो तो sin A और cos A भिन्न में लिखो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
सम्मुख 8, आसन्न 15, कर्ण 17। sin A = 8/17, cos A = 15/17।
अपना उत्तर जाँचो:
🏛️ बोर्ड परीक्षा कॉर्नर — बिहार बोर्ड (BSEB)— CBSE
ऊपर «BSEB | CBSE» से बोर्ड बदलो। पाठ वही NCERT है।
BSEB मॉडल · अभ्यासबोर्ड टिप
इस पेज पर वार्षिक परीक्षा का सत्यापित प्रश्न नहीं है, क्योंकि स्रोत पृष्ठ नहीं जोड़ा गया। नीचे मॉडल सेट बोर्ड के पैटर्न पर अभ्यास के लिए है।
सत्यापित लेबल तभी लगेगा जब प्रश्न का स्रोत पृष्ठ उपलब्ध हो।
CBSE-शैली · योग्यता-आधारित
ये केस और अभिकथन-कारण अभ्यास हैं। इन्हें CBSE का पुराना प्रश्न मत समझो।
🔁 स्पेस्ड रिव्यू — आज के प्रश्न
गलत प्रश्न जल्दी लौटते हैं, सही वाले कुछ दिन बाद।
🧠 आपने क्या सीखा + समीकरण-पत्रक
आपने क्या सीखा
- sin = सम्मुख/कर्ण, cos = आसन्न/कर्ण, tan = सम्मुख/आसन्न।
- cosec, sec और cot इन्हीं के व्युत्क्रम हैं।
- sin और cos 1 से बड़े नहीं होते। sin θ = 4/3 असंभव है।
- sin की पंक्ति 0, 1/2, 1/√2, √3/2, 1 है। cos उलटी पंक्ति है।
- sin(A + B) को sin A + sin B मत तोड़ो।
- sin²A + cos²A = 1, और sec²A − tan²A = 1।
| क्या | याद रखने लायक |
|---|---|
| sin A | opposite / hypotenuse |
| cos A | adjacent / hypotenuse |
| tan A | opposite / adjacent |
| sin 30° | 1/2 |
| tan 45° | 1 |
| पहचान | sin²A + cos²A = 1 |
नोट्स मूल लेखन हैं। पाठ्यपुस्तक केवल क्रम और क्रियाकलाप-संख्या के लिए संदर्भ है। «सत्यापित» केवल स्रोत पृष्ठ वाले प्रश्न पर लिखा जाएगा।