1
x + y = 7 का मानक रूप में c बराबर है —
💡 संकेत:
7 को बाईं ओर लाओ।
समझो:
x + y − 7 = 0, इसलिए c = −7।
कक्षा 10 · गणित · अध्याय 3 · बिहार बोर्ड (BSEB)CBSE · NCERT 2026-27
दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म
Pair of Linear Equations in Two Variables
इस पेज को ऐसे पढ़ो:
1. पढ़ो — आलेख · प्रतिस्थापन · विलोपन · अनुपात की जाँच · पुरानी किताब में वज्र-गुणन, चित्र, हल उदाहरण, बोर्ड टिप
2. जाँचो — हर पाठ के अपने प्रश्न; संख्या पाठ के हिसाब से
3. महारत ★ — उस पाठ के सब सही। गलत वाले «दोबारा करो»
4. याद रखने वाला चित्र तीन रेखा-युग्म दिखाता है — काटती रेखाओं का एक हल, समांतर रेखाओं का कोई हल नहीं, और संपाती रेखाओं के अनंत हल।
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- 1 युग्म और मानक रूप
- 2 आलेख विधि — तीन तस्वीरें
- 3 प्रतिस्थापन विधि
- 4 विलोपन विधि
- 5 अनुपात से संगत और असंगत
- 6 वज्र-गुणन — पुरानी बिहार किताब
- अध्याय-विजेता — सभी पाठ महारत ★
🎬 Shorts
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युग्म और मानक रूप
The pair and the standard form · NCERT 3.1 · a1x + b1y + c1 = 0
दो समीकरण, एक साथनोट्स
दो चर वाला रैखिक समीकरण ax + by + c = 0 है। a और b दोनों एक साथ शून्य नहीं होते। जब ऐसे दो समीकरण एक ही x और y पर एक साथ लागू हों, तो वह रैखिक समीकरण युग्म है।
हल वह जोड़ा (x, y) है जो दोनों समीकरणों को एक साथ सत्य बनाए। एक समीकरण अकेले पूरी रेखा देता है। युग्म उस रेखा पर से वही बिंदु चुनता है जो दूसरी रेखा पर भी हो। अचर को बाईं ओर लाते समय चिह्न उलटा होता है।
एक स्थिति को दो समीकरण बनाओक्रियाकलाप
एक दुकान में x पेन और y कॉपी बिकीं। कुल 40 वस्तुएँ बिकीं, और पेन कॉपी से 8 अधिक थे। लिखो: x + y = 40 और x = y + 8। दूसरे को x − y − 8 = 0 भी लिख सकते हो। दोनों एक साथ युग्म हैं। केवल पहली पंक्ति काफी नहीं, क्योंकि उस पर कई जोड़े बैठते हैं।
हल किया हुआ उदाहरणउदाहरण
प्रश्न: 3x + 2y = 12 को a1x + b1y + c1 = 0 में लिखो और a1, b1, c1 बताओ।
सूत्र: a1x + b1y + c1 = 0।
प्रतिस्थापन: 3x + 2y − 12 = 0।
उत्तर: a1 = 3, b1 = 2, c1 = −12। ये यथातथ मान हैं। c1 को +12 मत लिखना।
10-सेकंड रिवीजन
- मानक रूप ax + by + c = 0 है
- हल दोनों समीकरणों में एक साथ बैठे
- अचर बाईं ओर आए तो चिह्न बदलता है
बोर्ड टिप · BSEBबोर्ड टिप
BSEB उत्तर में a1, b1, c1 तीनों लिखो। केवल x + y = 5 छोड़ देना मानक रूप अधूरा रखता है।
बोर्ड टिप · CBSEबोर्ड टिप
CBSE में चिह्न की गलती आम है। x + y = 5 का c = −5 है, +5 नहीं।
समझ जाँचोसब सही = महारत ★
2
युग्म का हल दोनों समीकरणों को एक साथ सत्य बनाता है।
समझो:
सही — एक ही समीकरण पर बैठना काफी नहीं।
3
ax + by + c = 0 में a और b दोनों एक साथ ______ नहीं होते।
💡 संकेत:
नहीं तो समीकरण रैखिक नहीं रहता।
समझो:
शून्य।
4
x + y = 40 और x = y + 8 मिलकर हैं —
💡 संकेत:
दो समीकरण, वही दो चर।
समझो:
यह दो चर वाला रैखिक युग्म है।
5
2x − y = 4 को मानक रूप में लिखो और a, b, c बताओ।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
सूत्र a x + b y + c = 0। प्रतिस्थापन: 2x − y − 4 = 0। यथातथ मान a = 2, b = −1, c = −4।
अपना उत्तर जाँचो:
आलेख विधि — तीन तस्वीरें
The graphical method — three pictures · NCERT 3.2 · प्रश्नावली 3.1 (नई किताब)
हर समीकरण एक सरल रेखा हैनोट्स
हर रैखिक समीकरण का आलेख एक सरल रेखा है। युग्म की दो रेखाएँ तीन तरह से रह सकती हैं। एक बिंदु पर काटें तो एक हल, समांतर हों तो कोई हल नहीं, संपाती हों तो अनंत हल।
जिस युग्म का कम से कम एक हल हो वह संगत है। जिसका कोई हल न हो वह असंगत है। संपाती रेखाएँ आश्रित युग्म कहलाती हैं, और आश्रित युग्म हमेशा संगत होता है।
दो बिंदु जोड़कर रेखा खींचोक्रियाकलाप
नई किताब की प्रश्नावली 3.1 यही काम है। हर समीकरण के दो आसान बिंदु लो, जैसे x = 0 और y = 0। दोनों अक्षों पर एक ही पैमाना रखो। जहाँ रेखाएँ मिलें, वह बिंदु दोनों समीकरणों में रखकर जाँचो। पुरानी बिहार किताब में यही आलेख प्रश्नावली 3.2 है।
हल किया हुआ उदाहरणउदाहरण
प्रश्न: x + y = 6 और x − y = 2 का आलेख पर प्रतिच्छेद बिंदु निकालो।
सूत्र: काटने का बिंदु ही अद्वितीय हल है। जोड़ से 2x = (x + y) + (x − y)।
प्रतिस्थापन: 2x = 6 + 2 = 8, इसलिए x = 4। फिर 4 + y = 6, इसलिए y = 2।
उत्तर: रेखाएँ (4, 2) पर मिलती हैं। जाँच: 4 + 2 = 6 और 4 − 2 = 2। यथातथ हल x = 4, y = 2।
10-सेकंड रिवीजन
- काटना = एक हल = संगत
- समांतर = कोई हल नहीं = असंगत
- संपाती = अनंत हल = आश्रित और संगत
बोर्ड टिप · BSEBबोर्ड टिप
BSEB आलेख में दोनों अक्षों का पैमाना और प्रतिच्छेद बिंदु का नाम लिखो।
बोर्ड टिप · CBSEबोर्ड टिप
CBSE जाँच माँगता है। मिला बिंदु दोनों मूल समीकरणों में रखो।
समझ जाँचोसब सही = महारत ★
1
समांतर रेखाओं वाले युग्म में हल होते हैं —
💡 संकेत:
रेखाएँ मिलती ही नहीं।
समझो:
कोई हल नहीं। युग्म असंगत है।
2
संपाती रेखाओं वाले युग्म के अनंत हल होते हैं।
समझो:
सही — रेखा का हर बिंदु दोनों समीकरणों में बैठता है।
3
जिस युग्म का कोई हल न हो उसे ______ युग्म कहते हैं।
💡 संकेत:
संगत का उलटा शब्द।
समझो:
असंगत।
4
आलेख पर अद्वितीय हल दिखता है जब रेखाएँ —
💡 संकेत:
लाल बिंदु वाला पैनल।
समझो:
एक बिंदु पर काटने से ठीक एक हल मिलता है।
5
आश्रित युग्म हमेशा असंगत होता है।
समझो:
गलत — आश्रित युग्म संगत होता है, क्योंकि अनंत हल हैं।
6
x + y = 4 और x − y = 0 का प्रतिच्छेद बिंदु निकालो। सूत्र, प्रतिस्थापन और जाँच लिखो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
जोड़ का सूत्र 2x = 4 + 0 = 4, इसलिए x = 2। फिर y = 2। बिंदु (2, 2)। जाँच: 2 + 2 = 4 और 2 − 2 = 0।
अपना उत्तर जाँचो:
प्रतिस्थापन विधि
The substitution method · NCERT 3.3.1 · प्रश्नावली 3.2 (नई किताब)
एक चर निकालकर दूसरे में रखोनोट्स
जिस समीकरण में कोई चर अकेला आसानी से निकल आए, उसे चुनो। उसका मान दूसरे समीकरण में रखो। एक चर का रैखिक समीकरण बचता है। उसे हल करके पहला चर वापस रखो।
अंत में दोनों मूल समीकरणों में जाँच जरूरी है। नई NCERT में यह प्रश्नावली 3.2 है। पुरानी बिहार किताब में प्रश्नावली 3.3 है। बीच के चरण में चिह्न मत बदल देना।
y को x के रूप में लिखकर रखोक्रियाकलाप
x + y = 9 में से y = 9 − x लिखो। यदि दूसरा समीकरण 2x + y = 12 हो, तो y की जगह 9 − x रखो। सरलीकरण के बाद x मिलता है, फिर y। उत्तर को दोनों पंक्तियों में रखकर देखो कि बायाँ और दायाँ पक्ष बराबर हैं।
हल किया हुआ उदाहरणउदाहरण
प्रश्न: x + y = 9 और 2x + y = 12 को प्रतिस्थापन से हल करो।
सूत्र: पहले से y = 9 − x, फिर दूसरे में रखो।
प्रतिस्थापन: 2x + (9 − x) = 12, इसलिए x + 9 = 12 और x = 3। फिर y = 9 − 3 = 6।
उत्तर: यथातथ हल x = 3, y = 6। जाँच: 3 + 6 = 9 और 6 + 6 = 12।
10-सेकंड रिवीजन
- एक समीकरण से एक चर निकालो
- उसे दूसरे समीकरण में रखो
- दोनों मूल समीकरणों में जाँच करो
बोर्ड टिप · BSEBबोर्ड टिप
BSEB में y = ... वाला चरण अलग पंक्ति में दिखना चाहिए। सीधे उत्तर मत लिखो।
बोर्ड टिप · CBSEबोर्ड टिप
CBSE में प्रतिस्थापन के बाद संख्या जाँच माँगते हैं। दोनों समीकरण लिखो।
समझ जाँचोसब सही = महारत ★
1
y = 2x को x + y = 12 में रखने पर x बराबर है —
💡 संकेत:
x + 2x = 12।
समझो:
3x = 12, x = 4 और y = 8।
2
प्रतिस्थापन के बाद जाँच केवल एक समीकरण में काफी है।
समझो:
गलत — दोनों मूल समीकरणों में जाँच करो।
3
x + y = 9 से y = ______ − x।
💡 संकेत:
y अकेला बाईं ओर।
समझो:
y = 9 − x।
4
x − y = 1 और x + y = 7 को प्रतिस्थापन से हल करो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
पहले से x = y + 1। दूसरे में: y + 1 + y = 7, 2y = 6, y = 3, x = 4। जाँच: 4 − 3 = 1 और 4 + 3 = 7।
अपना उत्तर जाँचो:
विलोपन विधि
The elimination method · NCERT 3.3.2 · प्रश्नावली 3.3 (नई किताब)
गुणांक मिलाकर एक चर हटाओनोट्स
दोनों समीकरणों को ऐसी संख्याओं से गुणा करो कि किसी एक चर के गुणांक बराबर या विपरीत हो जाएँ। फिर जोड़ो या घटाओ। वह चर हट जाता है।
गुणा पूरी पंक्ति का होता है, केवल एक पद का नहीं। नई NCERT की आखिरी बीजगणित प्रश्नावली 3.3 यही है। पुरानी किताब में यह प्रश्नावली 3.4 है। बचे हुए चर का मान पहली पंक्ति में वापस रखो।
समान गुणांक बनाओक्रियाकलाप
2x + 3y = 13 और 3x − 2y = 0 लो। पहली को 2 से और दूसरी को 3 से गुणा करो, ताकि y के गुणांक +6 और −6 हो जाएँ। जोड़ने पर y हटता है। घटाव तभी चुनो जब दोनों गुणांक एक ही चिह्न के हों।
हल किया हुआ उदाहरणउदाहरण
प्रश्न: 2x + 3y = 13 और 3x − 2y = 0 को विलोपन से हल करो।
सूत्र: पहली × 2 और दूसरी × 3, फिर जोड़, ताकि y के पद कटें।
प्रतिस्थापन: 4x + 6y = 26 और 9x − 6y = 0। जोड़: 13x = 26, x = 2। फिर 3(2) − 2y = 0, y = 3।
उत्तर: यथातथ हल x = 2, y = 3। जाँच: 4 + 9 = 13 और 6 − 6 = 0।
10-सेकंड रिवीजन
- पूरी पंक्ति को गुणा करो
- समान चिह्न हो तो घटाओ, विपरीत हो तो जोड़ो
- बचे चर को किसी एक मूल समीकरण में रखो
बोर्ड टिप · BSEBबोर्ड टिप
BSEB में गुणा के बाद दोनों नई पंक्तियाँ लिखो। सीधे 13x = 26 मत कूदो।
बोर्ड टिप · CBSEबोर्ड टिप
CBSE में यदि गुणांक पहले से बराबर हों तो अनावश्यक गुणा मत करो।
समझ जाँचोसब सही = महारत ★
1
x + y = 8 और x − y = 2 को जोड़ने पर x बराबर है —
💡 संकेत:
y कट जाता है, 2x बचता है।
समझो:
2x = 10, x = 5 और y = 3।
2
विलोपन में केवल एक पद को गुणा करना और बाकी छोड़ देना सही है।
समझो:
गलत — पूरी समीकरण को गुणा करते हैं।
3
x + y = 8 और x − y = 2 का हल y = ______ है।
💡 संकेत:
x = 5 के बाद पहली में रखो।
समझो:
y = 3।
4
दोनों में y के गुणांक +4 और −4 हों तो y हटाने के लिए —
💡 संकेत:
विपरीत चिह्न जोड़ से कटते हैं।
समझो:
जोड़ने से +4y और −4y कट जाते हैं।
5
3x + y = 11 और 3x − y = 7 को विलोपन से हल करो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
जोड़: 6x = 18, x = 3। फिर 9 + y = 11, y = 2। जाँच: 9 + 2 = 11 और 9 − 2 = 7।
अपना उत्तर जाँचो:
अनुपात से संगत और असंगत
Consistent or inconsistent from the ratios · a1/a2 , b1/b2 , c1/c2
तीन अनुपात, तीन हालनोट्स
a1x + b1y + c1 = 0 और a2x + b2y + c2 = 0 के गुणांक तुलना से हाल तय होता है।
| शर्त | रेखाएँ | हल |
|---|---|---|
| a1/a2 ≠ b1/b2 | काटती हैं | एक |
| a1/a2 = b1/b2 = c1/c2 | संपाती | अनंत |
| a1/a2 = b1/b2 ≠ c1/c2 | समांतर | कोई नहीं |
a1b2 − a2b1 ≠ 0 वही बात है जो a1/a2 ≠ b1/b2। कोई गुणांक शून्य हो तो अनुपात की जगह यही अंतर लिखो। c का चिह्न मानक रूप से लो।
पहले मानक रूप, फिर तीन अनुपातक्रियाकलाप
2x + 3y = 6 को 2x + 3y − 6 = 0 लिखो। 4x + 6y = 12 को 4x + 6y − 12 = 0 लिखो। अब 2/4, 3/6 और −6/−12 तीनों 1/2 हैं। हाल अनंत हल का है। c को +6 रखकर अनुपात बिगाड़ो मत।
हल किया हुआ उदाहरणउदाहरण
प्रश्न: x + y − 4 = 0 और x − y − 2 = 0 का हाल अनुपात से बताओ, फिर हल निकालो।
सूत्र: a1/a2 = 1/1 = 1 और b1/b2 = 1/(−1) = −1। ये बराबर नहीं, इसलिए एक हल।
प्रतिस्थापन: जोड़ से 2x − 6 = 0, x = 3। फिर 3 + y − 4 = 0, y = 1।
उत्तर: अद्वितीय हल x = 3, y = 1। जाँच: 3 − 1 − 2 = 0।
10-सेकंड रिवीजन
- ≠ पहले दो अनुपातों में हो तो एक हल
- तीनों बराबर हों तो अनंत हल
- केवल c का अनुपात अलग हो तो कोई हल नहीं
बोर्ड टिप · BSEBबोर्ड टिप
BSEB में तीनों अनुपात भिन्न के रूप में लिखो, फिर हाल का नाम।
बोर्ड टिप · CBSEबोर्ड टिप
CBSE में a2 = 0 हो तो भाग मत करो। a1b2 − a2b1 से हाल जाँचो।
समझ जाँचोसब सही = महारत ★
1
a1/a2 = b1/b2 ≠ c1/c2 का अर्थ है —
💡 संकेत:
रेखाएँ समांतर हैं।
समझो:
कोई हल नहीं। युग्म असंगत है।
2
2x + 3y − 6 = 0 और 4x + 6y − 12 = 0 के अनंत हल हैं।
समझो:
सही — तीनों अनुपात 1/2 हैं।
3
एक हल की शर्त a1/a2 ______ b1/b2 है।
💡 संकेत:
बराबर नहीं।
समझो:
a1/a2 ≠ b1/b2।
4
x + y = 2 और x + y = 5 हैं —
💡 संकेत:
a और b के अनुपात बराबर हैं, c के नहीं।
समझो:
c1/c2 = −2/−5 = 2/5, जो 1 के बराबर नहीं। कोई हल नहीं।
5
a1b2 − a2b1 = 0 हमेशा अनंत हल बताता है।
समझो:
गलत — यह समांतर या संपाती दोनों हो सकता है। c का अनुपात देखो।
6
3x + 2y − 5 = 0 और 6x + 4y − 10 = 0 का हाल अनुपात से तय करो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
3/6 = 2/4 = −5/−10 = 1/2। तीनों बराबर हैं, इसलिए संपाती रेखाएँ और अनंत हल।
अपना उत्तर जाँचो:
वज्र-गुणन — पुरानी बिहार किताब
Cross-multiplication — the older Bihar book · बिहार 3.4.3 · प्रश्नावली 3.5 · नई NCERT में नहीं
सूत्र तभी जब हर शून्य न होनोट्स
नई NCERT की प्रश्नावली 3.3 विलोपन पर रुकती है। पुरानी बिहार किताब अनुच्छेद 3.4.3 में वज्र-गुणन रखती है। a1x + b1y + c1 = 0 और a2x + b2y + c2 = 0 के लिए
x / (b1c2 − b2c1) = y / (c1a2 − c2a1) = 1 / (a1b2 − a2b1)
हर a1b2 − a2b1 शून्य न हो तभी एक हल है। हर शून्य हो तो अनुपात वाली जाँच से अनंत हल या कोई हल नहीं तय होता है।
हर पहले जाँचोक्रियाकलाप
गुणांक उतारो: पहली पंक्ति के नीचे b1, c1, a1 और दूसरी के नीचे b2, c2, a2। अंश क्रॉस अंतर है। अगर हर शून्य आए तो सूत्र से भाग मत करो। उसी युग्म को अनुपात से असंगत या आश्रित बताओ।
हल किया हुआ उदाहरणउदाहरण
प्रश्न: x + y − 5 = 0 और x − y − 1 = 0 को वज्र-गुणन से हल करो।
सूत्र: x = (b1c2 − b2c1) / (a1b2 − a2b1), y = (c1a2 − c2a1) / (a1b2 − a2b1)।
प्रतिस्थापन: a1 = 1, b1 = 1, c1 = −5, a2 = 1, b2 = −1, c2 = −1। हर = 1·(−1) − 1·1 = −2। x = [1·(−1) − (−1)·(−5)] / (−2) = (−6)/(−2) = 3। y = [(−5)·1 − (−1)·1] / (−2) = 2।
उत्तर: यथातथ हल x = 3, y = 2। जाँच: 3 + 2 − 5 = 0 और 3 − 2 − 1 = 0।
10-सेकंड रिवीजन
- हर a1b2 − a2b1 है
- x का अंश b1c2 − b2c1 है
- y का अंश c1a2 − c2a1 है
बोर्ड टिप · BSEBबोर्ड टिप
BSEB की पुरानी किताब प्रश्नावली 3.5 में यह विधि पूछती है। हर शून्य हो तो भाग मत लिखो।
बोर्ड टिप · CBSEबोर्ड टिप
CBSE की वर्तमान प्रश्नावली 3.1 से 3.3 में वज्र-गुणन नहीं है। वहाँ आलेख, प्रतिस्थापन या विलोपन लिखो।
समझ जाँचोसब सही = महारत ★
1
वज्र-गुणन में x का हर है —
💡 संकेत:
y का हर भी वही है।
समझो:
हर a1b2 − a2b1 है।
2
हर शून्य हो तो भी वज्र-गुणन से भाग किया जा सकता है।
समझो:
गलत — शून्य से भाग नहीं होता। अनुपात से हाल तय करो।
3
x का अंश b1c2 − ______ है।
💡 संकेत:
दूसरे b और पहले c का गुणन।
समझो:
b2c1।
4
x + y − 3 = 0 और x − y − 1 = 0 को वज्र-गुणन से हल करो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
a1=1, b1=1, c1=−3, a2=1, b2=−1, c2=−1। हर = −1 − 1 = −2। x = [1·(−1) − (−1)·(−3)]/(−2) = (−4)/(−2) = 2। y = [(−3)·1 − (−1)·1]/(−2) = 1। जाँच: 2 + 1 − 3 = 0।
अपना उत्तर जाँचो:
❓ पूरा प्रश्न बैंक — उत्तर व व्याख्या सहित — 64 प्रश्न
प्रकार चुनो। पाठों के 30 जाँच-प्रश्न अलग हैं — हर पाठ में जितने उसके विषय माँगते हैं। सब सही होने पर महारत ★ मिलती है।
BSEB मॉडलअभ्यास · वार्षिक नहीं60 किए · 0 सहीबहुविकल्पीMCQ120 किए · 0 सहीसही / गलतसही-गलत80 किए · 0 सहीरिक्त स्थानरिक्त स्थान80 किए · 0 सहीमिलान करोमिलान20 किए · 0 सहीअभिकथन-कारणअभिकथन-कारण50 किए · 0 सहीसमीकरण संतुलनसंतुलन40 किए · 0 सहीअभिक्रिया पहचानपहचान20 किए · 0 सहीलघु / दीर्घ उत्तरीयअति लघु, लघु, दीर्घ110 किए · 0 सहीCBSE-शैलीPYQ नहीं60 किए · 0 सही
कोई भी प्रश्न «सत्यापित PYQ» नहीं है। BSEB वाला सेट मॉडल अभ्यास है। CBSE वाले प्रश्न CBSE-शैली हैं, किसी वर्ष के पेपर की प्रति नहीं।
बहुविकल्पी
0/12एक विकल्प चुनो। गलत पर संकेत मिलेगा।
1
x + 2y = 11 का मानक रूप में c है —
💡 संकेत:
अचर बाईं ओर आता है।
समझो:
x + 2y − 11 = 0, इसलिए c = −11।
2
एक हल की सही शर्त है —
💡 संकेत:
पहले दो अनुपात अलग हों।
समझो:
a1/a2 ≠ b1/b2 पर रेखाएँ एक बिंदु पर काटती हैं।
3
x + y = 1 और x + y = 9 की रेखाएँ —
💡 संकेत:
a और b के अनुपात बराबर हैं।
समझो:
c का अनुपात अलग है, इसलिए समांतर और कोई हल नहीं।
4
2x + y = 7 में y = 1 रखने पर x है —
💡 संकेत:
2x + 1 = 7।
समझो:
2x = 6, x = 3।
5
आश्रित युग्म होता है —
💡 संकेत:
अनंत हल संगत ही हैं।
समझो:
आश्रित युग्म संगत होता है।
6
विलोपन में विपरीत चिह्न वाले बराबर गुणांक काटने के लिए —
💡 संकेत:
+4y और −4y।
समझो:
जोड़ से वे कट जाते हैं।
7
y = x + 1 और x + y = 5 का हल है —
💡 संकेत:
x + (x + 1) = 5।
समझो:
2x = 4, x = 2, y = 3।
8
a1b2 − a2b1 ≠ 0 का अर्थ है —
💡 संकेत:
यह a1/a2 ≠ b1/b2 है।
समझो:
एक अद्वितीय हल।
9
संपाती रेखाओं पर हल होते हैं —
💡 संकेत:
रेखा का हर बिंदु।
समझो:
अनंत हल।
10
4x − 2y = 0 और 2x − y = 0 हैं —
💡 संकेत:
पहली, दूसरी की दोगुनी है।
समझो:
तीनों अनुपात बराबर हैं, अनंत हल।
11
आलेख में दोनों अक्षों का पैमाना —
💡 संकेत:
नहीं तो बिंदु गलत पढ़ा जाता है।
समझो:
एक जैसा पैमाना रखो।
12
वज्र-गुणन में y का अंश है —
💡 संकेत:
x का अंश दूसरा है।
समझो:
y का अंश c1a2 − c2a1 है।
सही / गलत
0/81
हर रैखिक युग्म का ठीक एक हल होता है।
समझो:
गलत — शून्य या अनंत हल भी होते हैं।
2
समांतर रेखाएँ असंगत युग्म दिखाती हैं।
समझो:
सही — कोई प्रतिच्छेद नहीं।
3
x + y = 5 में y का गुणांक 5 है।
समझो:
गलत — y का गुणांक 1 है और c = −5।
4
एक समीकरण को काट देने से तुल्य युग्म हमेशा बचता है।
समझो:
गलत — दोनों समीकरण रखने हैं।
5
a1/a2 = b1/b2 = c1/c2 हो तो रेखाएँ संपाती हैं।
समझो:
सही — अनंत हल।
6
प्रतिस्थापन और विलोपन अलग-अलग हल दे सकते हैं यदि हिसाब सही हो।
समझो:
गलत — सही हिसाब दोनों में वही हल देता है।
7
असंगत युग्म संगत नहीं होता।
समझो:
सही — कोई हल नहीं।
8
वज्र-गुणन नई NCERT की प्रश्नावली 3.3 है।
समझो:
गलत — 3.3 विलोपन है। वज्र-गुणन पुरानी बिहार प्रश्नावली 3.5 है।
रिक्त स्थान
0/81
कभी न मिलने वाली रेखाएँ ______ कहलाती हैं।
💡 संकेत:
समांतर।
समझो:
एक ही ढाल, अलग जगह।
2
अनंत हल वाले युग्म को ______ कहते हैं।
💡 संकेत:
आश्रित।
समझो:
यह संगत भी है।
3
a1x + b1y + c1 = 0 में c1 ______ पद है।
💡 संकेत:
अचर।
समझो:
x या y के साथ नहीं।
4
अद्वितीय हल पर रेखाएँ एक-दूसरे को ______ हैं।
💡 संकेत:
काटती हैं।
समझो:
एक बिंदु।
5
कोई हल न हो तो हल की संख्या ______ है।
💡 संकेत:
शून्य।
समझो:
समांतर हाल।
6
विलोपन में पूरी ______ को गुणा करते हैं।
💡 संकेत:
समीकरण।
समझो:
एक पद नहीं।
7
x + y = 6 और x − y = 2 में x = ______।
💡 संकेत:
4।
समझो:
जोड़ से 2x = 8।
8
a1/a2 = b1/b2 ≠ c1/c2 हो तो युग्म ______ है।
💡 संकेत:
असंगत।
समझो:
समांतर रेखाएँ।
मिलान करो
0/21
हाल को उसकी तस्वीर से मिलाओ।
स्तंभ B: A. समांतर रेखाएँ · B. काटती रेखाएँ · C. संपाती रेखाएँ · D. कोई प्रतिच्छेद नहीं
1. एक हल
2. कोई हल नहीं
3. अनंत हल
4. असंगत
समझो:
एक हल काटने पर, कोई हल समांतर पर, अनंत हल संपाती पर। असंगत का भी कोई प्रतिच्छेद नहीं।
2
विधि को उसके पहले कदम से मिलाओ।
स्तंभ B: A. दो बिंदु जोड़ो · B. एक चर के रूप में लिखो · C. हर a1b2 − a2b1 लिखो · D. गुणांक मिलाकर जोड़ो
1. प्रतिस्थापन
2. विलोपन
3. आलेख
4. वज्र-गुणन
समझो:
प्रतिस्थापन में रूप बदलो, विलोपन में गुणांक मिलाओ, आलेख में बिंदु जोड़ो, वज्र-गुणन में हर लिखो।
अभिकथन–कारण
0/5पहले दोनों कथन जाँचो, फिर देखो कि कारण व्याख्या है या नहीं।
1
अभिकथन (A): x + y = 2 और x + y = 5 का कोई हल नहीं।
कारण (R): a1/a2 = b1/b2 है पर c1/c2 अलग है, इसलिए रेखाएँ समांतर हैं।
समझो:
दोनों सही हैं और R, A की वजह है।
2
अभिकथन (A): a1/a2 ≠ b1/b2 हो तो ठीक एक हल होता है।
कारण (R): एक रैखिक समीकरण का आलेख सरल रेखा होता है।
समझो:
दोनों सही हैं, पर R अनुपात वाली शर्त की व्याख्या नहीं है।
3
अभिकथन (A): 2x + 4y = 8 और x + 2y = 4 के अनंत हल हैं।
कारण (R): ये रेखाएँ ठीक एक बिंदु पर काटती हैं।
समझो:
A सही है क्योंकि पहली, दूसरी की दोगुनी है। R गलत है।
4
अभिकथन (A): प्रतिस्थापन का अर्थ है कि युग्म असंगत है।
कारण (R): असंगत युग्म का कोई समाई हल नहीं होता।
समझो:
A गलत है। प्रतिस्थापन एक विधि है। R सही है।
5
अभिकथन (A): संपाती रेखाएँ संगत युग्म देती हैं।
कारण (R): रेखा का हर बिंदु दोनों समीकरणों का हल होता है।
समझो:
दोनों सही हैं और R, A की व्याख्या है।
गुणांक अभ्यास
0/4ये रसायन की पंक्तियाँ इस गणित अध्याय का परिणाम नहीं हैं। केवल गुणांक भरने का अभ्यास है। खाली स्थान का अर्थ 1 है।
1
यह गुणांक अभ्यास है और इस गणित अध्याय का परिणाम नहीं। H2 + O2 से पानी बनने की पंक्ति में गुणांक भरो (खाली = 1)।
H2 + O2 → H2O
समझो: 2H2 + O2 → 2H2O
2
यह गुणांक अभ्यास है और इस गणित अध्याय का परिणाम नहीं। N2 + H2 से अमोनिया की पंक्ति में गुणांक भरो (खाली = 1)।
N2 + H2 → NH3
समझो: N2 + 3H2 → 2NH3
3
यह गुणांक अभ्यास है और इस गणित अध्याय का परिणाम नहीं। C + O2 से कार्बन डाइऑक्साइड की पंक्ति में गुणांक भरो (खाली = 1)।
C + O2 → CO2
समझो: C + O2 → CO2
4
यह गुणांक अभ्यास है और इस गणित अध्याय का परिणाम नहीं। CH4 + O2 की दहन पंक्ति में गुणांक भरो (खाली = 1)।
CH4 + O2 → CO2 + H2O
समझो: CH4 + 2O2 → CO2 + 2H2O
वर्गीकरण
0/21
हर युग्म को उसके हल की संख्या में रखो।
x + y = 4 और x − y = 2
x + y = 2 और x + y = 5
2x + 3y = 6 और 4x + 6y = 12
x + 2y = 3 और 2x + 4y = 10
समझो:
पहला (3, 1) पर कटता है। दूसरा और चौथा समांतर हैं। तीसरा पहली का दोगुना है।
2
हर वाक्य को संगत या असंगत में रखो।
रेखाएँ एक बिंदु पर काटती हैं
रेखाएँ समांतर हैं
रेखाएँ संपाती हैं
a1/a2 = b1/b2 ≠ c1/c2
समझो:
काटना और संपाती होना संगत है। समांतर हाल असंगत है।
अति लघु उत्तरीय
0/41
संगत युग्म की परिभाषा एक पंक्ति में लिखो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
जिस युग्म का कम से कम एक हल हो वह संगत है।
अपना उत्तर जाँचो:
2
x − y = 3 को मानक रूप में लिखो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
x − y − 3 = 0। a = 1, b = −1, c = −3।
अपना उत्तर जाँचो:
3
समांतर रेखाओं वाले युग्म को क्या कहते हैं, और हल कितने होते हैं?
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
उसे असंगत कहते हैं। हल शून्य होते हैं।
अपना उत्तर जाँचो:
4
वज्र-गुणन का हर लिखो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
a1b2 − a2b1। यह शून्य न हो तभी एक हल है।
अपना उत्तर जाँचो:
लघु उत्तरीय
0/41
2x + y = 10 और x + y = 6 को प्रतिस्थापन से हल करो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
दूसरे से y = 6 − x। पहले में: 2x + 6 − x = 10, x = 4, y = 2। जाँच: 8 + 2 = 10 और 4 + 2 = 6।
अपना उत्तर जाँचो:
2
5x + 2y = 16 और 5x − 2y = 4 को विलोपन से हल करो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
जोड़: 10x = 20, x = 2। फिर 10 + 2y = 16, y = 3। जाँच: 10 − 6 = 4।
अपना उत्तर जाँचो:
3
x + 2y = 7 और 2x + 4y = 14 का हाल बताओ। एक हल निकालने की कोशिश क्यों रुकती है?
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
1/2 = 2/4 = 7/14। तीनों अनुपात बराबर हैं, अनंत हल। एक अकेला जोड़ा नहीं चुना जा सकता।
अपना उत्तर जाँचो:
4
आलेख विधि के तीन हाल और उनके नाम लिखो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
काटना: एक हल, संगत। समांतर: कोई हल नहीं, असंगत। संपाती: अनंत हल, आश्रित संगत।
अपना उत्तर जाँचो:
दीर्घ उत्तरीय
0/31
x + y = 10 और x − y = 4 को प्रतिस्थापन और विलोपन दोनों से हल करो। दोनों उत्तर मिलाओ।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
प्रतिस्थापन: x = 10 − y, फिर 10 − y − y = 4, 10 − 2y = 4, y = 3, x = 7। विलोपन: जोड़ से 2x = 14, x = 7, फिर y = 3। दोनों विधियों का यथातथ हल x = 7 और y = 3 है। जाँच: 7 + 3 = 10 और 7 − 3 = 4।
अपना उत्तर जाँचो:
2
नीचे के तीन युग्मों का हाल अनुपात से तय करो: (i) x + y = 5, x − y = 1 (ii) x + y = 5, 2x + 2y = 10 (iii) x + y = 5, x + y = 8।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
(i) 1/1 ≠ 1/(−1), एक हल। जोड़ से x = 3, y = 2। (ii) 1/2 = 1/2 = 5/10, अनंत हल। (iii) 1/1 = 1/1 ≠ 5/8, कोई हल नहीं।
अपना उत्तर जाँचो:
3
2x + y − 7 = 0 और x − y − 2 = 0 को वज्र-गुणन से हल करो। यह विधि किस किताब की प्रश्नावली में है?
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
a1=2, b1=1, c1=−7, a2=1, b2=−1, c2=−2। हर = 2·(−1) − 1·1 = −3। x = [1·(−2) − (−1)·(−7)]/(−3) = (−9)/(−3) = 3। y = [(−7)·1 − (−2)·2]/(−3) = (−3)/(−3) = 1। जाँच: 6 + 1 − 7 = 0 और 3 − 1 − 2 = 0। यह पुरानी बिहार प्रश्नावली 3.5 है। नई NCERT 3.3 विलोपन पर रुकती है।
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BSEB मॉडल प्रश्न-पत्र · अभ्यास
0/6यह मॉडल सेट अभ्यास के लिए है। किसी वर्ष की वार्षिक परीक्षा का प्रश्न नहीं है।
1
निम्न में असंगत युग्म है —
💡 संकेत:
समान बायाँ पक्ष, अलग दायाँ पक्ष।
समझो:
x + y = 3 और x + y = 6 समांतर हैं।
2
x + y = 9 और x − y = 1 में y है —
💡 संकेत:
घटाव से 2y बचता है।
समझो:
2y = 8, y = 4 और x = 5।
3
a1/a2 = b1/b2 = c1/c2 हो तो हल ______ होते हैं।
💡 संकेत:
अनंत।
समझो:
संपाती रेखाएँ।
4
एक विद्यार्थी ने x + y = 8 को x + y + 8 = 0 लिख दिया। गलती क्या है? सही c लिखो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
अचर का चिह्न नहीं बदला। सही रूप x + y − 8 = 0 है, इसलिए c = −8।
अपना उत्तर जाँचो:
5
3x + 2y = 12 और x − y = 1 को विलोपन से हल करो। चरण और जाँच लिखो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
दूसरी × 2: 2x − 2y = 2। पहली से जोड़: 5x = 14, x = 14/5। फिर y = 14/5 − 1 = 9/5। जाँच: 3·(14/5) + 2·(9/5) = 60/5 = 12।
अपना उत्तर जाँचो:
6
अभिकथन (A): काटती रेखाओं का एक ही हल होता है।
कारण (R): समांतर रेखाएँ भी एक ही बिंदु पर मिलती हैं।
समझो:
A सही है। R गलत है, समांतर रेखाएँ नहीं मिलतीं।
CBSE-शैली प्रश्न
0/6ये योग्यता-आधारित अभ्यास प्रश्न हैं। किसी वर्ष के प्रश्नपत्र की प्रति नहीं हैं।
1
एक छात्र ने दोनों अक्षों पर अलग पैमाना लेकर प्रतिच्छेद (2, 3) पढ़ा, जबकि समीकरण x + y = 7 और x − y = 1 हैं। सही हल है —
💡 संकेत:
जोड़ से 2x = 8।
समझो:
x = 4, y = 3। (2, 3) जाँच में फेल होता है क्योंकि 2 + 3 = 5 ≠ 7।
2
दो पेन और एक रबड़ की कीमत 14 रुपये है। एक पेन और एक रबड़ की कीमत 9 रुपये है। एक पेन की कीमत है —
💡 संकेत:
घटाव से एक पेन बचता है।
समझो:
(2p + e) − (p + e) = 14 − 9, p = 5 रुपये।
3
अभिकथन (A): x/2 + y/3 = 1 और 3x + 2y = 6 एक ही रेखा हैं।
कारण (R): पहली को 6 से गुणा करने पर 3x + 2y = 6 मिलता है।
समझो:
दोनों सही हैं और R व्याख्या है। अनंत हल।
4
अभिकथन (A): a1/a2 = b1/b2 होना अनंत हल के लिए काफी है।
कारण (R): अनंत हल के लिए c1/c2 भी उन्हीं के बराबर होना चाहिए।
समझो:
A गलत है, क्योंकि c अलग हो तो कोई हल नहीं। R सही है।
5
एक कॉपी में लिखा है कि x + 2y = 4 और 2x + 4y = 9 का हल x = 1, y = 1.5 है। जाँच करो और हाल बताओ।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
1 + 2·1.5 = 4 पहली में बैठता है, पर 2 + 4·1.5 = 8 ≠ 9। अनुपात 1/2 = 2/4 ≠ 4/9। युग्म असंगत है, कोई हल नहीं।
अपना उत्तर जाँचो:
6
नई किताब की प्रश्नावली 3.2 और 3.3 कौन-सी विधि हैं? पुरानी किताब की 3.5 क्या है? एक वाक्य में फर्क लिखो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
नई NCERT में 3.2 प्रतिस्थापन है और 3.3 विलोपन। पुरानी बिहार प्रश्नावली 3.5 वज्र-गुणन है। वर्तमान CBSE अभ्यास वज्र-गुणन नहीं माँगता।
अपना उत्तर जाँचो:
🏛️ बोर्ड परीक्षा कॉर्नर — बिहार बोर्ड (BSEB)— CBSE
ऊपर «BSEB | CBSE» से बोर्ड बदलो। पाठ वही NCERT है।
BSEB मॉडल · अभ्यासबोर्ड टिप
इस पेज पर वार्षिक परीक्षा का सत्यापित प्रश्न नहीं है, क्योंकि स्रोत पृष्ठ नहीं जोड़ा गया। नीचे मॉडल सेट बोर्ड के पैटर्न पर अभ्यास के लिए है।
सत्यापित लेबल तभी लगेगा जब प्रश्न का स्रोत पृष्ठ उपलब्ध हो।
CBSE-शैली · योग्यता-आधारित
ये केस और अभिकथन-कारण अभ्यास हैं। इन्हें CBSE का पुराना प्रश्न मत समझो।
🔁 स्पेस्ड रिव्यू — आज के प्रश्न
गलत प्रश्न जल्दी लौटते हैं, सही वाले कुछ दिन बाद।
🧠 आपने क्या सीखा + समीकरण-पत्रक
आपने क्या सीखा
- युग्म दो रैखिक समीकरण हैं; हल वह (x, y) है जो दोनों में बैठे।
- काटती रेखाओं का एक हल, समांतर का कोई हल नहीं, संपाती का अनंत हल।
- a1/a2 ≠ b1/b2 एक हल; तीनों अनुपात बराबर हों तो अनंत हल।
- a1/a2 = b1/b2 ≠ c1/c2 असंगत युग्म है। अचर का चिह्न सावधानी से लिखो।
- प्रतिस्थापन में एक चर रखो; विलोपन में जोड़ या घटाव से एक चर हटाओ।
- वज्र-गुणन पुरानी बिहार किताब में है। नई NCERT की प्रश्नावली 3.3 विलोपन पर खत्म होती है।
| क्या | याद रखने लायक |
|---|---|
| एक हल | a1/a2 ≠ b1/b2 |
| कोई हल नहीं | a1/a2 = b1/b2 ≠ c1/c2 |
| अनंत हल | a1/a2 = b1/b2 = c1/c2 |
| प्रतिस्थापन | place one variable into the other equation |
| विलोपन | add or subtract after matching a coefficient |
| वज्र-गुणन | older Bihar 3.4.3; not in current NCERT exercises |
नोट्स मूल लेखन हैं। पाठ्यपुस्तक केवल क्रम और क्रियाकलाप-संख्या के लिए संदर्भ है। «सत्यापित» केवल स्रोत पृष्ठ वाले प्रश्न पर लिखा जाएगा।