1
इनमें द्विघात समीकरण है —
💡 संकेत:
घात ठीक 2 और a ≠ 0।
समझो:
2x² − 5x + 3 = 0 द्विघात है।
कक्षा 10 · गणित · अध्याय 4 · बिहार बोर्ड (BSEB)CBSE · NCERT 2026-27
द्विघात समीकरण
Quadratic Equations
इस पेज को ऐसे पढ़ो:
1. पढ़ो — मानक रूप · गुणनखंड · पूर्ण वर्ग · द्विघात सूत्र · विविक्तकर, चित्र, हल उदाहरण, बोर्ड टिप
2. जाँचो — हर पाठ के अपने प्रश्न; संख्या पाठ के हिसाब से
3. महारत ★ — उस पाठ के सब सही। गलत वाले «दोबारा करो»
4. याद रखने वाला चित्र मूलों की संख्या रेखा के नीचे विविक्तकर के तीन हाल दिखाता है — दो अलग मूल, दो बराबर मूल, और कोई वास्तविक मूल नहीं।
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- 1 मानक रूप ax² + bx + c = 0
- 2 गुणनखंड से मूल
- 3 पूर्ण वर्ग बनाना
- 4 द्विघात सूत्र
- 5 विविक्तकर और मूलों की प्रकृति
- 6 शब्द-समस्या और शर्त वाला मूल
- अध्याय-विजेता — सभी पाठ महारत ★
🎬 Shorts
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मानक रूप ax² + bx + c = 0
Standard form ax² + bx + c = 0 · NCERT 4.2 · प्रश्नावली 4.1
a शून्य नहीं हो सकतानोट्स
द्विघात समीकरण की घात 2 होती है। मानक रूप ax² + bx + c = 0 है। a, b, c वास्तविक हैं और a ≠ 0। b या c शून्य हो सकते हैं, a नहीं।
किसी बहुपद को शून्य के बराबर रखने पर समीकरण बनता है। ax² + bx + c के शून्यक और समीकरण ax² + bx + c = 0 के मूल एक ही होते हैं। x² वाला पद गिर जाए तो यह द्विघात नहीं रहता।
सभी पद बाईं ओर लाओक्रियाकलाप
प्रश्नावली 4.1 में पहचाननी है कि समीकरण द्विघात है या नहीं। (x + 2)² = 9 को खोलो: x² + 4x + 4 = 9, फिर x² + 4x − 5 = 0। अब a = 1, b = 4, c = −5। यदि खोलने के बाद x² न बचे, तो उसे द्विघात मत लिखो।
हल किया हुआ उदाहरणउदाहरण
प्रश्न: 2x² = 5x − 3 को मानक रूप में लिखो और a, b, c बताओ।
सूत्र: ax² + bx + c = 0।
प्रतिस्थापन: 2x² − 5x + 3 = 0।
उत्तर: a = 2, b = −5, c = 3। ये यथातथ मान हैं। a ≠ 0, इसलिए यह द्विघात है।
10-सेकंड रिवीजन
- घात 2 और a ≠ 0
- सभी पद बाईं ओर, दायाँ पक्ष 0
- मूल और बहुपद के शून्यक एक ही हैं
बोर्ड टिप · BSEBबोर्ड टिप
BSEB में a, b, c तीनों चिह्न सहित लिखो। 5x को बाईं ओर लाने पर −5x होता है।
बोर्ड टिप · CBSEबोर्ड टिप
CBSE पहचान वाले प्रश्न में कारण एक पंक्ति का हो: a ≠ 0 है या x² गायब है।
समझ जाँचोसब सही = महारत ★
2
ax² + bx + c = 0 में a शून्य हो सकता है।
समझो:
गलत — a ≠ 0 होना जरूरी है।
3
मानक रूप में दायाँ पक्ष ______ होता है।
💡 संकेत:
सब पद बाईं ओर।
समझो:
0।
4
(x + 2)² = 9 का मानक रूप है —
💡 संकेत:
खोलो, फिर 9 घटाओ।
समझो:
x² + 4x + 4 − 9 = 0, यानी x² + 4x − 5 = 0।
5
x² + 3 = 4x को मानक रूप में लिखो और a, b, c बताओ।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
सूत्र ax² + bx + c = 0। प्रतिस्थापन: x² − 4x + 3 = 0। यथातथ a = 1, b = −4, c = 3।
अपना उत्तर जाँचो:
गुणनखंड से मूल
Roots by factorisation · NCERT 4.3 · प्रश्नावली 4.2
गुणनफल शून्य हो तो कोई एक गुणन शून्य हैनोट्स
x² + bx + c = 0 में ऐसे दो अंक खोजो जिनका गुणनफल c हो और योग b। फिर (x − p)(x − q) = 0। हर गुणन को अलग शून्य रखो।
a = 1 न हो तो बीच के पद को तोड़ो। 2x² + 7x + 3 में 7 = 6 + 1, और 6 × 1 = 2 × 3। नई NCERT की प्रश्नावली 4.2 यही विधि है।
मध्य पद तोड़कर कोष्ठक बनाओक्रियाकलाप
2x² + 7x + 3 = 0 को 2x² + 6x + x + 3 = 0 लिखो। 2x(x + 3) + 1(x + 3) = 0। (2x + 1)(x + 3) = 0। अब 2x + 1 = 0 या x + 3 = 0। दोनों मूल वापस समीकरण में रखकर जाँचो।
हल किया हुआ उदाहरणउदाहरण
प्रश्न: x² − 5x + 6 = 0 के मूल गुणनखंड से निकालो।
सूत्र: दो अंकों का गुणनफल +6 और योग −5।
प्रतिस्थापन: −2 और −3। (x − 2)(x − 3) = 0।
उत्तर: x = 2 या x = 3। यथातथ मूल। जाँच: 4 − 10 + 6 = 0 और 9 − 15 + 6 = 0।
10-सेकंड रिवीजन
- गुणनफल c और योग b
- हर गुणन को अलग शून्य रखो
- दोनों मूल मूल समीकरण में जाँचो
बोर्ड टिप · BSEBबोर्ड टिप
BSEB में मध्य पद का टूटना दिखना चाहिए। सीधे कोष्ठक मत लिखो।
बोर्ड टिप · CBSEबोर्ड टिप
CBSE में दोनों मूल लिखो। एक मूल अधूरा उत्तर है।
समझ जाँचोसब सही = महारत ★
1
x² − 5x + 6 = 0 के मूल हैं —
💡 संकेत:
(x − 2)(x − 3)।
समझो:
x = 2 और x = 3।
2
(x − 2)(x − 3) = 0 का अर्थ है कि दोनों गुणन एक साथ शून्य ही हों।
समझो:
गलत — कोई एक गुणन शून्य होना काफी है।
3
2x² + 7x + 3 = 0 का एक मूल x = ______ है।
💡 संकेत:
(2x + 1)(x + 3) = 0।
समझो:
x = −3 या x = −1/2।
4
x² − 7x + 12 = 0 को गुणनखंड से हल करो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
दो अंक −3 और −4, गुणनफल 12, योग −7। (x − 3)(x − 4) = 0। यथातथ मूल x = 3 और x = 4।
अपना उत्तर जाँचो:
पूर्ण वर्ग बनाना
Completing the square · पुरानी बिहार प्रश्नावली 4.3 · सूत्र की जड़
आधे गुणांक का वर्ग दोनों पक्षों मेंनोट्स
x² + bx वाले पद में (b/2)² जोड़ो, दोनों पक्षों पर। बायाँ पक्ष (x + b/2)² बन जाता है। फिर वर्गमूल लो और ± दोनों लिखो।
यह विधि पुरानी बिहार किताब की प्रश्नावली 4.3 है। नई NCERT में अलग प्रश्नावली नहीं है, पर द्विघात सूत्र इसी रास्ते से निकलता है। a = 1 न हो तो पहले पूरे समीकरण को a से भाग दो।
आधा गुणांक निकालकर जोड़ोक्रियाकलाप
x² + 6x + 5 = 0 में x का गुणांक 6 है। आधा 3 है और 3² = 9। अचर को दाईं ओर ले जाओ, फिर 9 जोड़ो। बायाँ (x + 3)² होगा। केवल बाईं ओर जोड़ना समीकरण बिगाड़ देता है।
हल किया हुआ उदाहरणउदाहरण
प्रश्न: x² + 6x + 5 = 0 को पूर्ण वर्ग से हल करो।
सूत्र: (x + b/2)² = (b/2)² − c, यहाँ b = 6।
प्रतिस्थापन: x² + 6x = −5। (x + 3)² = 9 − 5 = 4। x + 3 = ±2।
उत्तर: x = −3 + 2 = −1 या x = −3 − 2 = −5। यथातथ मूल। जाँच: 1 − 6 + 5 = 0 और 25 − 30 + 5 = 0।
10-सेकंड रिवीजन
- आधा गुणांक का वर्ग दोनों पक्षों में जोड़ो
- ± दोनों मूल देता है
- a ≠ 1 हो तो पहले a से भाग दो
बोर्ड टिप · BSEBबोर्ड टिप
BSEB की पुरानी प्रश्नावली 4.3 में (x + ...)² वाली पंक्ति अलग दिखनी चाहिए।
बोर्ड टिप · CBSEबोर्ड टिप
CBSE की वर्तमान 4.3 प्रकृति पूछती है। पूर्ण वर्ग वहाँ विधि के रूप में अलग नहीं माँगा जाता।
समझ जाँचोसब सही = महारत ★
1
x² + 6x को पूर्ण वर्ग बनाने के लिए जोड़ते हैं —
💡 संकेत:
आधा 3 है।
समझो:
3² = 9। (x + 3)² = x² + 6x + 9।
2
पूर्ण वर्ग में जोड़ी गई संख्या केवल बाईं ओर जुड़ती है।
समझो:
गलत — दोनों पक्षों पर जोड़ते हैं।
3
x² + 6x + 5 = 0 का एक मूल x = ______ है।
💡 संकेत:
x + 3 = ±2।
समझो:
x = −1 या x = −5।
4
(x + 3)² = 4 से x के मान हैं —
💡 संकेत:
±2 लिखो।
समझो:
x + 3 = 2 या x + 3 = −2, इसलिए −1 और −5।
5
a = 2 हो तो पूर्ण वर्ग से पहले समीकरण को 2 से भाग देना ठीक है।
समझो:
सही — पहले x² का गुणांक 1 बनाते हैं।
6
x² + 4x − 5 = 0 को पूर्ण वर्ग से हल करो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
x² + 4x = 5। (x + 2)² = 4 + 5 = 9। x + 2 = ±3। x = 1 या x = −5। जाँच: 1 + 4 − 5 = 0।
अपना उत्तर जाँचो:
द्विघात सूत्र
The quadratic formula · x = [−b ± √(b² − 4ac)] / (2a)
श्रीधराचार्य वाला सूत्रनोट्स
पूर्ण वर्ग को ax² + bx + c = 0 पर चलाने से सूत्र निकलता है। x = [−b ± √(b² − 4ac)] / (2a)। हर 2a है, केवल 2 नहीं।
b समीकरण वाला गुणांक है, चिह्न सहित। D = b² − 4ac को पहले अलग निकालो। D ऋणात्मक हो तो वास्तविक मूल मत लिखो। नई किताब यह सूत्र प्रकृति वाले अनुच्छेद में रखती है।
a, b, c तालिका में उतारोक्रियाकलाप
2x² − 7x + 3 = 0 के लिए a = 2, b = −7, c = 3 लिखो। फिर −b = 7। D = (−7)² − 4·2·3। वर्गमूल के बाद ± से दो पंक्तियाँ बनाओ और हर को 2a = 4 से भाग दो।
हल किया हुआ उदाहरणउदाहरण
प्रश्न: 2x² − 7x + 3 = 0 को सूत्र से हल करो।
सूत्र: x = [−b ± √(b² − 4ac)] / (2a)।
प्रतिस्थापन: a = 2, b = −7, c = 3। D = 49 − 24 = 25। x = [7 ± 5] / 4।
उत्तर: x = 12/4 = 3 या x = 2/4 = 1/2। यथातथ मूल। जाँच: 2·9 − 7·3 + 3 = 18 − 21 + 3 = 0।
10-सेकंड रिवीजन
- हर 2a है
- −b में b का चिह्न शामिल है
- D पहले निकालो, फिर ±
बोर्ड टिप · BSEBबोर्ड टिप
BSEB में a, b, c और D की पंक्ति सूत्र से पहले आनी चाहिए।
बोर्ड टिप · CBSEबोर्ड टिप
CBSE में 1/2 को 0.5 लिख सकते हो, पर भिन्न 1/2 साफ रहता है।
समझ जाँचोसब सही = महारत ★
1
2x² − 7x + 3 = 0 में −b बराबर है —
💡 संकेत:
b = −7।
समझो:
−b = −(−7) = 7।
2
द्विघात सूत्र का हर हमेशा 2 होता है।
समझो:
गलत — हर 2a है।
3
2x² − 7x + 3 = 0 का बड़ा मूल x = ______ है।
💡 संकेत:
(7 + 5)/4।
समझो:
x = 3। दूसरा मूल 1/2 है।
4
D = b² − 4ac में 4ac का चिह्न सूत्र के अंदर है —
💡 संकेत:
सूत्र b² − 4ac है।
समझो:
4ac घटाया जाता है। c स्वयं ऋणात्मक हो तो घटाना जुड़ने जैसा दिखेगा।
5
x² − 4x + 3 = 0 को सूत्र से हल करो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
a = 1, b = −4, c = 3। D = 16 − 12 = 4। x = [4 ± 2] / 2। x = 3 या x = 1।
अपना उत्तर जाँचो:
विविक्तकर और मूलों की प्रकृति
The discriminant and the nature of the roots · NCERT 4.4 · प्रश्नावली 4.3 (नई किताब)
D मूलों की गिनती बताता हैनोट्स
D = b² − 4ac। तीन हाल याद रखो।
| D | मूल |
|---|---|
| D > 0 | दो अलग वास्तविक |
| D = 0 | दो बराबर वास्तविक, −b/(2a) |
| D < 0 | कोई वास्तविक मूल नहीं |
D = 0 पर भी दो मूल हैं, बराबर। D < 0 पर वास्तविक संख्या नहीं लिखते। नई NCERT की प्रश्नावली 4.3 यही है। पुरानी किताब में यह 4.4 है।
पहले D, फिर हाल का नामक्रियाकलाप
प्रकृति पूछी हो तो मूल निकालने से पहले D का चिह्न देखो। D = 0 हो तो x = −b/(2a) एक बार निकालो और लिखो कि दोनों मूल बराबर हैं। D < 0 हो तो वर्गमूल की कोशिश मत करो।
हल किया हुआ उदाहरणउदाहरण
प्रश्न: x² − 6x + 9 = 0 की प्रकृति बताओ और मूल लिखो।
सूत्र: D = b² − 4ac। D = 0 हो तो x = −b/(2a)।
प्रतिस्थापन: a = 1, b = −6, c = 9। D = 36 − 36 = 0। x = 6/2 = 3।
उत्तर: दो बराबर वास्तविक मूल, दोनों x = 3। जाँच: 9 − 18 + 9 = 0।
10-सेकंड रिवीजन
- D > 0 : दो अलग वास्तविक मूल
- D = 0 : दो बराबर मूल
- D < 0 : कोई वास्तविक मूल नहीं
बोर्ड टिप · BSEBबोर्ड टिप
BSEB में D का पूरा हिसाब लिखो, केवल हाल का नाम नहीं।
बोर्ड टिप · CBSEबोर्ड टिप
CBSE में D = 0 को “एक मूल” मत कहो। किताब दो बराबर वास्तविक मूल कहती है।
समझ जाँचोसब सही = महारत ★
1
x² + x + 1 = 0 का D है —
💡 संकेत:
1 − 4।
समझो:
D = 1 − 4 = −3। कोई वास्तविक मूल नहीं।
2
D = 0 का अर्थ है कि कोई मूल नहीं है।
समझो:
गलत — दो बराबर वास्तविक मूल होते हैं।
3
D < 0 हो तो वास्तविक मूलों की संख्या ______ है।
💡 संकेत:
ऋणात्मक का वास्तविक वर्गमूल नहीं।
समझो:
शून्य।
4
x² − 4x + 3 = 0 के मूल संख्या रेखा पर हैं —
💡 संकेत:
D = 4 > 0।
समझो:
x = [4 ± 2] / 2, इसलिए 3 और 1।
5
D > 0 हो तो मूल वास्तविक और अलग-अलग होते हैं।
समझो:
सही — दो अलग वास्तविक मूल।
6
x² + 2x + 5 = 0 की प्रकृति D से बताओ। मूल मत गढ़ो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
a = 1, b = 2, c = 5। D = 4 − 20 = −16 < 0। कोई वास्तविक मूल नहीं।
अपना उत्तर जाँचो:
शब्द-समस्या और शर्त वाला मूल
A word problem and the root that fits · क्षेत्रफल · धनात्मक लंबाई
दोनों मूल निकालो, फिर शर्त देखोनोट्स
लंबाई, भुजा या वस्तुओं की संख्या ऋणात्मक नहीं होती। सूत्र दोनों मूल देगा। जो शर्त तोड़े उसे उत्तर में छोड़ दो, पर दिखाओ कि वह मूल भी निकला था।
क्षेत्रफल वर्ग मीटर में होता है। समीकरण बनाते समय इकाई दोनों पक्षों पर एक जैसी रखो। आयत का क्षेत्रफल लंबाई × चौड़ाई है।
पहले समीकरण, फिर इकाईक्रियाकलाप
चौड़ाई w मीटर हो और लंबाई चौड़ाई से 4 मीटर अधिक हो। क्षेत्रफल 45 वर्ग मीटर है। लिखो w(w + 4) = 45। इसे w² + 4w − 45 = 0 बनाओ। धनात्मक मूल ही भुजा है।
हल किया हुआ उदाहरणउदाहरण
प्रश्न: एक आयत की चौड़ाई w मीटर है और लंबाई w + 4 मीटर। क्षेत्रफल 45 m² है। भुजाएँ निकालो।
सूत्र: w(w + 4) = 45, फिर x = [−b ± √(b² − 4ac)] / (2a)।
प्रतिस्थापन: w² + 4w − 45 = 0। a = 1, b = 4, c = −45। D = 16 + 180 = 196 = 14²। w = [−4 ± 14] / 2।
उत्तर: w = 5 या w = −9। लंबाई ऋणात्मक नहीं होती, इसलिए चौड़ाई 5 m और लंबाई 9 m। जाँच: 5 × 9 = 45 m²।
10-सेकंड रिवीजन
- शर्त पढ़ो: लंबाई धनात्मक
- अस्वीकृत मूल भी दिखाओ
- जाँच इकाई सहित करो
बोर्ड टिप · BSEBबोर्ड टिप
BSEB में अस्वीकृति का कारण लिखो, केवल धनात्मक संख्या मत छोड़ो।
बोर्ड टिप · CBSEबोर्ड टिप
CBSE क्षेत्रफल में इकाई m² लिखो। केवल 45 अधूरा रहता है।
समझ जाँचोसब सही = महारत ★
1
w² + 4w − 45 = 0 का भुजा वाला मूल है —
💡 संकेत:
लंबाई ऋणात्मक नहीं।
समझो:
w = 5 m। −9 m छोड़ देते हैं।
2
शब्द-समस्या में दोनों गणितीय मूल हमेशा मान्य होते हैं।
समझो:
गलत — शर्त के विरुद्ध मूल छोड़ते हैं।
3
चौड़ाई 5 m और लंबाई 9 m हो तो क्षेत्रफल ______ m² है।
💡 संकेत:
5 × 9।
समझो:
45 m²।
4
दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांकों का गुणनफल 72 है। पूर्णांक निकालो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
n(n + 1) = 72। n² + n − 72 = 0। D = 1 + 288 = 289 = 17²। n = (−1 ± 17)/2। n = 8 या n = −9। धनात्मक जोड़ा 8 और 9 है। जाँच: 8 × 9 = 72।
अपना उत्तर जाँचो:
❓ पूरा प्रश्न बैंक — उत्तर व व्याख्या सहित — 64 प्रश्न
प्रकार चुनो। पाठों के 30 जाँच-प्रश्न अलग हैं — हर पाठ में जितने उसके विषय माँगते हैं। सब सही होने पर महारत ★ मिलती है।
BSEB मॉडलअभ्यास · वार्षिक नहीं60 किए · 0 सहीबहुविकल्पीMCQ120 किए · 0 सहीसही / गलतसही-गलत80 किए · 0 सहीरिक्त स्थानरिक्त स्थान80 किए · 0 सहीमिलान करोमिलान20 किए · 0 सहीअभिकथन-कारणअभिकथन-कारण50 किए · 0 सहीसमीकरण संतुलनसंतुलन40 किए · 0 सहीअभिक्रिया पहचानपहचान20 किए · 0 सहीलघु / दीर्घ उत्तरीयअति लघु, लघु, दीर्घ110 किए · 0 सहीCBSE-शैलीPYQ नहीं60 किए · 0 सही
कोई भी प्रश्न «सत्यापित PYQ» नहीं है। BSEB वाला सेट मॉडल अभ्यास है। CBSE वाले प्रश्न CBSE-शैली हैं, किसी वर्ष के पेपर की प्रति नहीं।
बहुविकल्पी
0/12एक विकल्प चुनो। गलत पर संकेत मिलेगा।
1
ax² + bx + c = 0 में जरूरी है —
💡 संकेत:
a शून्य हो तो घात गिरती है।
समझो:
a ≠ 0। b और c शून्य हो सकते हैं।
2
x² − 7x + 12 = 0 के मूल हैं —
💡 संकेत:
3 × 4 = 12 और 3 + 4 = 7।
समझो:
x = 3 और x = 4।
3
x² + 6x को वर्ग बनाने के लिए जोड़ है —
💡 संकेत:
(6/2)²।
समझो:
9।
4
2x² − 7x + 3 = 0 का D है —
💡 संकेत:
49 − 24।
समझो:
D = 25।
5
D < 0 का अर्थ है —
💡 संकेत:
ऋणात्मक का वर्गमूल वास्तविक नहीं।
समझो:
कोई वास्तविक मूल नहीं।
6
x² − 6x + 9 = 0 के मूल हैं —
💡 संकेत:
D = 0।
समझो:
दो बराबर मूल, दोनों 3।
7
सूत्र का हर है —
💡 संकेत:
a साथ रहता है।
समझो:
2a।
8
x² + x + 1 = 0 है —
💡 संकेत:
D = −3।
समझो:
D < 0, कोई वास्तविक मूल नहीं।
9
भुजा के लिए w = −9 m को छोड़ते हैं क्योंकि —
💡 संकेत:
शर्त पढ़ो।
समझो:
लंबाई धनात्मक होनी चाहिए।
10
(x − 2)(x − 3) = 0 से एक मूल है —
💡 संकेत:
गुणन शून्य।
समझो:
x = 2 या x = 3।
11
x² + 4x − 5 = 0 के मूल हैं —
💡 संकेत:
(x + 5)(x − 1)।
समझो:
x = 1 और x = −5।
12
दो बराबर मूल का सूत्र है —
💡 संकेत:
D = 0।
समझो:
दोनों मूल −b/(2a) हैं।
सही / गलत
0/81
बहुपद ax² + bx + c के शून्यक समीकरण के मूल हैं।
समझो:
सही — दोनों एक ही मान हैं।
2
गुणनखंड में एक ही मूल लिखना पूरा उत्तर है।
समझो:
गलत — दोनों मूल लिखो, जब तक वे बराबर न हों और वह बात कही न हो।
3
D > 0 पर मूल वास्तविक और भिन्न होते हैं।
समझो:
सही।
4
पूर्ण वर्ग में ± का ऋण चिह्न छोड़ देना ठीक है।
समझो:
गलत — दोनों चिह्न दो मूल दे सकते हैं।
5
c ऋणात्मक हो तो −4ac धनात्मक जुड़ता है।
समझो:
सही — ऋण गुण ऋण धन होता है।
6
x + 5 = 0 द्विघात समीकरण है।
समझो:
गलत — घात 1 है।
7
D = 0 पर मूल वास्तविक हैं।
समझो:
सही — दो बराबर वास्तविक मूल।
8
नई NCERT की प्रश्नावली 4.2 पूर्ण वर्ग है।
समझो:
गलत — 4.2 गुणनखंड है। पूर्ण वर्ग पुरानी बिहार प्रश्नावली 4.3 है।
रिक्त स्थान
0/81
विविक्तकर D = b² − ______ है।
💡 संकेत:
4ac।
समझो:
चार a c।
2
a ≠ 0 न हो तो समीकरण ______ नहीं रहता।
💡 संकेत:
द्विघात।
समझो:
घात 2।
3
D = 0 हो तो दोनों मूल ______ होते हैं।
💡 संकेत:
बराबर।
समझो:
एक ही मान।
4
x² − 5x + 6 = 0 का छोटा मूल ______ है।
💡 संकेत:
2।
समझो:
2 और 3 में छोटा।
5
सूत्र में वर्गमूल के आगे का चिह्न ______ है।
💡 संकेत:
±।
समझो:
दोनों मूल।
6
5 m × 9 m = ______ m²।
💡 संकेत:
45।
समझो:
क्षेत्रफल।
7
x² + 4x + ______ = (x + 2)²।
💡 संकेत:
4।
समझो:
आधा गुणांक 2 है।
8
कोई वास्तविक मूल न हो तो D ______ 0 होता है।
💡 संकेत:
D < 0।
समझो:
शून्य से छोटा।
मिलान करो
0/21
D के हाल को मूलों से मिलाओ।
स्तंभ B: A. दो बराबर मूल · B. द्विघात नहीं · C. कोई वास्तविक मूल नहीं · D. दो अलग वास्तविक मूल
1. D > 0
2. D = 0
3. D < 0
4. a = 0
समझो:
D > 0 अलग मूल, D = 0 बराबर मूल, D < 0 कोई वास्तविक मूल नहीं, a = 0 द्विघात नहीं।
2
विधि को उसके निशान से मिलाओ।
स्तंभ B: A. D का चिह्न · B. (x − p)(x − q) = 0 · C. (x + b/2)² · D. [−b ± √D] / (2a)
1. गुणनखंड
2. पूर्ण वर्ग
3. सूत्र
4. प्रकृति
समझो:
गुणनखंड कोष्ठक है, पूर्ण वर्ग वर्ग है, सूत्र में ± है, प्रकृति D का चिह्न है।
अभिकथन–कारण
0/5पहले दोनों कथन जाँचो, फिर देखो कि कारण व्याख्या है या नहीं।
1
अभिकथन (A): x² − 6x + 9 = 0 के दो बराबर वास्तविक मूल हैं।
कारण (R): इसका D = 36 − 36 = 0 है।
समझो:
दोनों सही हैं और R व्याख्या है।
2
अभिकथन (A): D > 0 पर दो अलग वास्तविक मूल होते हैं।
कारण (R): ax² + bx + c = 0 में a शून्य नहीं होता।
समझो:
दोनों सही हैं, पर R इस हाल की व्याख्या नहीं है।
3
अभिकथन (A): x² + x + 1 = 0 का कोई वास्तविक मूल नहीं।
कारण (R): इसका D = 5 है।
समझो:
A सही है। R गलत है, D = 1 − 4 = −3।
4
अभिकथन (A): x + 4 = 0 एक द्विघात समीकरण है।
कारण (R): द्विघात के मानक रूप में x² का गुणांक शून्य नहीं होता।
समझो:
A गलत है, घात 1 है। R सही है।
5
अभिकथन (A): 2x² − 7x + 3 = 0 के मूल 3 और 1/2 हैं।
कारण (R): D = 25 और x = [7 ± 5] / 4।
समझो:
दोनों सही हैं और R गणना की व्याख्या है।
गुणांक अभ्यास
0/4ये रसायन की पंक्तियाँ इस गणित अध्याय का परिणाम नहीं हैं। केवल गुणांक भरने का अभ्यास है। खाली स्थान का अर्थ 1 है।
1
यह गुणांक अभ्यास है और इस गणित अध्याय का परिणाम नहीं। H2 + O2 से पानी बनने की पंक्ति में गुणांक भरो (खाली = 1)।
H2 + O2 → H2O
समझो: 2H2 + O2 → 2H2O
2
यह गुणांक अभ्यास है और इस गणित अध्याय का परिणाम नहीं। N2 + H2 से अमोनिया की पंक्ति में गुणांक भरो (खाली = 1)।
N2 + H2 → NH3
समझो: N2 + 3H2 → 2NH3
3
यह गुणांक अभ्यास है और इस गणित अध्याय का परिणाम नहीं। C + O2 से कार्बन डाइऑक्साइड की पंक्ति में गुणांक भरो (खाली = 1)।
C + O2 → CO2
समझो: C + O2 → CO2
4
यह गुणांक अभ्यास है और इस गणित अध्याय का परिणाम नहीं। CH4 + O2 की दहन पंक्ति में गुणांक भरो (खाली = 1)।
CH4 + O2 → CO2 + H2O
समझो: CH4 + 2O2 → CO2 + 2H2O
वर्गीकरण
0/21
हर समीकरण को D के हाल में रखो।
x² − 4x + 3 = 0
x² − 6x + 9 = 0
x² + x + 1 = 0
2x² − 7x + 3 = 0
समझो:
पहले का D = 4, दूसरे का 0, तीसरे का −3, चौथे का 25।
2
हर समीकरण को द्विघात या द्विघात नहीं में रखो।
x² + 1 = 0
3x + 1 = 0
x³ − x = 0
5x² = 20
समझो:
x² + 1 = 0 और 5x² − 20 = 0 द्विघात हैं। घात 1 और घात 3 नहीं।
अति लघु उत्तरीय
0/41
द्विघात समीकरण का मानक रूप लिखो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
ax² + bx + c = 0, जहाँ a ≠ 0।
अपना उत्तर जाँचो:
2
विविक्तकर की परिभाषा लिखो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
D = b² − 4ac। यही मूलों की प्रकृति तय करता है।
अपना उत्तर जाँचो:
3
D के तीन हाल एक-एक पंक्ति में लिखो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
D > 0 दो अलग वास्तविक मूल। D = 0 दो बराबर वास्तविक मूल। D < 0 कोई वास्तविक मूल नहीं।
अपना उत्तर जाँचो:
4
द्विघात सूत्र लिखो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
x = [−b ± √(b² − 4ac)] / (2a), a ≠ 0।
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लघु उत्तरीय
0/41
x² − 8x + 15 = 0 को गुणनखंड से हल करो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
(x − 3)(x − 5) = 0 क्योंकि 3 + 5 = 8 और 3 × 5 = 15। मूल x = 3 और x = 5।
अपना उत्तर जाँचो:
2
x² + 8x + 7 = 0 को पूर्ण वर्ग से हल करो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
x² + 8x = −7। (x + 4)² = 16 − 7 = 9। x + 4 = ±3। x = −1 या x = −7।
अपना उत्तर जाँचो:
3
3x² − 5x + 2 = 0 की प्रकृति और मूल सूत्र से निकालो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
a = 3, b = −5, c = 2। D = 25 − 24 = 1 > 0, दो अलग वास्तविक मूल। x = [5 ± 1] / 6। x = 1 या x = 4/6 = 2/3।
अपना उत्तर जाँचो:
4
एक वर्ग की भुजा x मीटर है। x² = 49। भुजा और क्षेत्रफल इकाई सहित लिखो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
x² − 49 = 0, (x − 7)(x + 7) = 0। x = 7 या x = −7। भुजा 7 m। क्षेत्रफल 49 m²।
अपना उत्तर जाँचो:
दीर्घ उत्तरीय
0/31
x² − 5x + 6 = 0 को गुणनखंड और सूत्र दोनों से हल करो। दोनों उत्तर मिलाओ।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
गुणनखंड: (x − 2)(x − 3) = 0, x = 2 या 3। सूत्र: a = 1, b = −5, c = 6, D = 25 − 24 = 1, x = [5 ± 1] / 2। x = 3 या x = 2। दोनों यथातथ मूल वही हैं।
अपना उत्तर जाँचो:
2
इन तीनों की प्रकृति D से बताओ: (i) x² − 4x + 3 = 0 (ii) x² − 6x + 9 = 0 (iii) x² + x + 1 = 0। जहाँ वास्तविक मूल हों, उन्हें भी लिखो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
(i) D = 16 − 12 = 4 > 0, मूल 3 और 1। (ii) D = 36 − 36 = 0, दोनों मूल 3। (iii) D = 1 − 4 = −3 < 0, कोई वास्तविक मूल नहीं।
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3
एक बगीचे की चौड़ाई उसकी लंबाई से 3 m कम है। क्षेत्रफल 40 m² है। भुजाएँ निकालो। ऋणात्मक मूल क्यों छूटता है?
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
लंबाई x m, चौड़ाई x − 3। x(x − 3) = 40। x² − 3x − 40 = 0। D = 9 + 160 = 169 = 13²। x = [3 ± 13] / 2। x = 8 या x = −5। लंबाई 8 m, चौड़ाई 5 m। −5 m लंबाई नहीं हो सकती। जाँच: 8 × 5 = 40 m²।
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BSEB मॉडल प्रश्न-पत्र · अभ्यास
0/6यह मॉडल सेट अभ्यास के लिए है। किसी वर्ष की वार्षिक परीक्षा का प्रश्न नहीं है।
1
निम्न में D = 0 है —
💡 संकेत:
पूर्ण वर्ग (x − 3)²।
समझो:
D = 36 − 36 = 0।
2
x² − 5x + 6 = 0 का योग-मूल है —
💡 संकेत:
2 + 3।
समझो:
मूल 2 और 3, योग 5, जो −b/a है।
3
दो बराबर मूल हों तो D = ______।
💡 संकेत:
0।
समझो:
वर्गमूल शून्य।
4
एक छात्र ने x² − 4 = 0 के मूल केवल 2 लिखे। क्या छूटा?
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
± छूट गया। x² = 4 से x = 2 या x = −2। दोनों यथातथ मूल हैं।
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5
2x² + 3x − 2 = 0 को सूत्र से हल करो। D और दोनों मूल भिन्न में लिखो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
a = 2, b = 3, c = −2। D = 9 + 16 = 25। x = [−3 ± 5] / 4। x = 2/4 = 1/2 या x = −8/4 = −2।
अपना उत्तर जाँचो:
6
अभिकथन (A): x² + 4 = 0 का कोई वास्तविक मूल नहीं।
कारण (R): इसका D = 16 है।
समझो:
A सही है, x² = −4। R गलत है। मानक रूप x² + 0x + 4 = 0 में D = −16।
CBSE-शैली प्रश्न
0/6ये योग्यता-आधारित अभ्यास प्रश्न हैं। किसी वर्ष के प्रश्नपत्र की प्रति नहीं हैं।
1
एक छात्र कहता है कि x² + 4x + 4 = 0 का एक ही मूल है, इसलिए प्रकृति “कोई मूल नहीं” है। सही कथन है —
💡 संकेत:
D = 16 − 16 = 0।
समझो:
D = 0, दोनों मूल −2। “कोई मूल नहीं” D < 0 का हाल है।
2
एक कमरे की लंबाई चौड़ाई से 2 m अधिक है और क्षेत्रफल 48 m² है। चौड़ाई है —
💡 संकेत:
w(w + 2) = 48।
समझो:
w² + 2w − 48 = 0, (w + 8)(w − 6) = 0। चौड़ाई 6 m, लंबाई 8 m।
3
अभिकथन (A): 5x² − 20 = 0 के वास्तविक मूल हैं।
कारण (R): D = 0 − 4·5·(−20) = 400 > 0।
समझो:
दोनों सही हैं। मूल x = ±2।
4
अभिकथन (A): पूर्ण वर्ग केवल बाईं ओर संख्या जोड़कर बनता है।
कारण (R): समीकरण संतुलित रहे, इसलिए वही संख्या दाईं ओर भी जुड़ती है।
समझो:
A गलत है। R सही है।
5
कॉपी में D = b² + 4ac लिखा है। x² − 4x + 3 = 0 पर यह गलती क्या D देगी, और सही D क्या है?
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
गलत हिसाब 16 + 12 = 28। सही सूत्र D = b² − 4ac = 16 − 12 = 4। मूल 3 और 1 हैं, 28 वाले नहीं।
अपना उत्तर जाँचो:
6
नई किताब की प्रश्नावली 4.2 और 4.3 क्या पूछती हैं? पुरानी किताब में पूर्ण वर्ग कहाँ है?
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
नई NCERT में 4.2 गुणनखंड है और 4.3 मूलों की प्रकृति तथा सूत्र। पूर्ण वर्ग पुरानी बिहार प्रश्नावली 4.3 है।
अपना उत्तर जाँचो:
🏛️ बोर्ड परीक्षा कॉर्नर — बिहार बोर्ड (BSEB)— CBSE
ऊपर «BSEB | CBSE» से बोर्ड बदलो। पाठ वही NCERT है।
BSEB मॉडल · अभ्यासबोर्ड टिप
इस पेज पर वार्षिक परीक्षा का सत्यापित प्रश्न नहीं है, क्योंकि स्रोत पृष्ठ नहीं जोड़ा गया। नीचे मॉडल सेट बोर्ड के पैटर्न पर अभ्यास के लिए है।
सत्यापित लेबल तभी लगेगा जब प्रश्न का स्रोत पृष्ठ उपलब्ध हो।
CBSE-शैली · योग्यता-आधारित
ये केस और अभिकथन-कारण अभ्यास हैं। इन्हें CBSE का पुराना प्रश्न मत समझो।
🔁 स्पेस्ड रिव्यू — आज के प्रश्न
गलत प्रश्न जल्दी लौटते हैं, सही वाले कुछ दिन बाद।
🧠 आपने क्या सीखा + समीकरण-पत्रक
आपने क्या सीखा
- मानक रूप ax² + bx + c = 0 है और a शून्य नहीं होता।
- गुणनखंड में हर रैखिक गुणन को अलग से शून्य रखो।
- पूर्ण वर्ग में (b/2)² जोड़कर वर्ग बनाते हैं, दोनों पक्षों पर।
- सूत्र x = [−b ± √D] / (2a) है, जहाँ D = b² − 4ac।
- D > 0 दो अलग मूल, D = 0 दो बराबर मूल, D < 0 कोई वास्तविक मूल नहीं।
- शब्द-समस्या में जो मूल शर्त तोड़े, जैसे ऋणात्मक लंबाई, उसे छोड़ दो।
| क्या | याद रखने लायक |
|---|---|
| मानक रूप | ax² + bx + c = 0, a ≠ 0 |
| विविक्तकर | D = b² − 4ac |
| दो अलग मूल | D > 0 |
| दो बराबर मूल | D = 0, x = −b/(2a) |
| कोई वास्तविक मूल नहीं | D < 0 |
| सूत्र | x = [−b ± √D] / (2a) |
नोट्स मूल लेखन हैं। पाठ्यपुस्तक केवल क्रम और क्रियाकलाप-संख्या के लिए संदर्भ है। «सत्यापित» केवल स्रोत पृष्ठ वाले प्रश्न पर लिखा जाएगा।