1
2y² − 3y + 4 है —
💡 संकेत:
y की सबसे बड़ी घात 2 है।
समझो:
घात 2, इसलिए द्विघात।
कक्षा 10 · गणित · अध्याय 2 · बिहार बोर्ड (BSEB)CBSE · NCERT 2026-27
बहुपद
Polynomials
इस पेज को ऐसे पढ़ो:
1. पढ़ो — अभ्यास 2.1 ग्राफ · 2.2 शून्यक · 2.3 विभाजन · 2.4 वैकल्पिक घन, चित्र, हल उदाहरण, बोर्ड टिप
2. जाँचो — हर पाठ के अपने प्रश्न; संख्या पाठ के हिसाब से
3. महारत ★ — उस पाठ के सब सही। गलत वाले «दोबारा करो»
4. याद रखने वाला चित्र एक परवलय को x-अक्ष पर दो शून्यकों से काटता हुआ दिखाता है।
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- 1 घात: रैखिक, द्विघात, त्रिघात
- 2 रैखिक बहुपद का ग्राफ और एक शून्यक
- 3 द्विघात का परवलय — अभ्यास 2.1
- 4 शून्यक और गुणांक — अभ्यास 2.2 का पहला प्रश्न
- 5 योग और गुणनफल से बहुपद — अभ्यास 2.2 का दूसरा प्रश्न
- 6 विभाजन एल्गोरिथ्म — अभ्यास 2.3
- 7 त्रिघात के शून्यक — वैकल्पिक अभ्यास 2.4
- अध्याय-विजेता — सभी पाठ महारत ★
🎬 Shorts
इस अध्याय का कोई Short अभी चैनल पर नहीं है, इसलिए दस खाली कार्ड नहीं दिखाए गए। नोट्स, चित्र और जाँच-प्रश्न पूरे हैं।
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घात: रैखिक, द्विघात, त्रिघात
Degree: linear, quadratic, cubic · NCERT 2.1 · घात
सबसे बड़ी घात ही नाम तय करती हैनोट्स
p(x) में x की सबसे बड़ी घात बहुपद की घात है। 4x + 2 की घात 1 है, यह रैखिक है। 2y² − 3y + 4 की घात 2 है, यह द्विघात है। 5x³ − 4x² + x − 2 की घात 3 है, यह त्रिघात है।
द्विघात का रूप ax² + bx + c है, जहाँ a ≠ 0। a शून्य हो तो x² वाला पद गिर जाता है और घात 2 नहीं रहती।
किताब की शुरुआत — घात पहचानोक्रियाकलाप
इन चारों की घात और नाम लिखो: 4x + 2, 2y² − 3y + 4, 5x³ − 4x² + x − 2, और एक ऐसा पद जिसमें चर की घात 6 हो।
1/x और √x बहुपद नहीं हैं। घात ऋण या भिन्न नहीं होती।
हल किया हुआ उदाहरणउदाहरण
प्रश्न: 7u⁶ − (4/3)u⁴ + (1/2)u − 8 की घात क्या है?
नियम: घात = चर की सबसे बड़ी घात।
स्थापना: घातों में 6, 4, 1 और स्थिर पद हैं। सबसे बड़ी 6 है।
उत्तर: घात 6। यह न रैखिक है, न द्विघात, न त्रिघात।
10-सेकंड रिवीजन
- घात 1 रैखिक, 2 द्विघात, 3 त्रिघात
- द्विघात में a ≠ 0
- 1/x बहुपद नहीं है
बोर्ड टिप · BSEBबोर्ड टिप
नाम लिखते समय घात भी लिखो। केवल «बहुपद» अधूरा रहता है।
बोर्ड टिप · CBSEबोर्ड टिप
स्थिर पद की घात 0 मानो। वह सबसे बड़ी घात नहीं बनती जब कोई चर वाला पद हो।
समझ जाँचोसब सही = महारत ★
2
4x + 2 की घात 2 है क्योंकि उसमें अंक 2 लिखा है।
समझो:
गलत — घात चर की घात है। यहाँ x की घात 1 है, इसलिए रैखिक।
3
5x³ − 4x² + x − 2 की घात ______ है।
💡 संकेत:
सबसे बड़ी घात देखो।
समझो:
3। यह त्रिघात है।
4
द्विघात बहुपद का सामान्य रूप लिखो और बताओ a पर क्या शर्त है।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
ax² + bx + c, जहाँ a, b, c वास्तविक हैं और a ≠ 0।
अपना उत्तर जाँचो:
रैखिक बहुपद का ग्राफ और एक शून्यक
The graph of a linear polynomial and its one zero · NCERT 2.2 · रैखिक ग्राफ
x-अक्ष से मिला बिंदु ही शून्यक हैनोट्स
p(x) का शून्यक वह x है जिसके लिए p(x) = 0। ग्राफ की भाषा में यह उस बिंदु का x-निर्देशांक है जहाँ y = p(x), x-अक्ष से मिलता है।
रैखिक ax + b का शून्यक −b/a है। सीधी रेखा x-अक्ष को एक ही बिंदु पर काटती है, इसलिए एक ही शून्यक है।
मानों की तालिका से रेखाक्रियाकलाप
y = 2x + 4 के कुछ मान लिखो और देखो रेखा x-अक्ष को कहाँ काटती है। काटने वाले x पर y शून्य होना चाहिए।
यही तरीका आगे अभ्यास 2.1 के ग्राफों में काम आएगा: x-अक्ष से मिलन गिनो।
| x | −2 | −1 | 0 | 1 |
|---|---|---|---|---|
| y = 2x + 4 | 0 | 2 | 4 | 6 |
हल किया हुआ उदाहरणउदाहरण
प्रश्न: 2x + 4 का शून्यक निकालो और ग्राफ से मिलाओ।
सूत्र: ax + b का शून्यक −b/a। यहाँ a = 2, b = 4।
स्थापना: −b/a = −4/2 = −2। जाँच: 2(−2) + 4 = 0।
तालिका में x = −2 पर y = 0 है। रेखा x-अक्ष को (−2, 0) पर काटती है। उत्तर −2।
10-सेकंड रिवीजन
- शून्यक = x-अक्ष पर कटान का x
- ax + b का शून्यक −b/a
- रैखिक ग्राफ एक बार काटता है
बोर्ड टिप · BSEBबोर्ड टिप
सूत्र के बाद p(शून्यक) = 0 की एक पंक्ति जरूर लिखो।
बोर्ड टिप · CBSEबोर्ड टिप
y-अक्ष पर कटान शून्यक नहीं है। शून्यक x-अक्ष वाला बिंदु है।
समझ जाँचोसब सही = महारत ★
1
3x − 6 का शून्यक है —
💡 संकेत:
−b/a = −(−6)/3।
समझो:
−(−6)/3 = 2। जाँच: 3×2 − 6 = 0।
2
रैखिक बहुपद का ग्राफ x-अक्ष को दो बिंदुओं पर काटता है।
समझो:
गलत — सीधी रेखा x-अक्ष को एक बिंदु पर काटती है।
3
ax + b का शून्यक ______ है।
💡 संकेत:
a से भाग और ऋण चिह्न।
समझो:
−b/a।
4
y = 2x + 4 की तालिका में शून्यक है —
💡 संकेत:
जहाँ y = 0।
समझो:
x = −2 पर y = 0।
5
5x + 10 का शून्यक सूत्र में रखकर निकालो और जाँच दिखाओ।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
शून्यक = −b/a = −10/5 = −2। जाँच: 5(−2) + 10 = 0।
अपना उत्तर जाँचो:
द्विघात का परवलय — अभ्यास 2.1
The quadratic parabola — Exercise 2.1 · NCERT 2.2 · अभ्यास 2.1
कटान गिनो, अधिक से अधिक दोनोट्स
द्विघात का ग्राफ एक परवलय है। वह x-अक्ष को दो बिंदुओं पर काट सकता है, एक बिंदु पर छू सकता है, या बिल्कुल न काटे। इसलिए वास्तविक शून्यक 0, 1 या 2 हो सकते हैं। अधिक से अधिक दो।
a > 0 हो तो परवलय ऊपर की ओर खुलता है। दोनों शून्यकों के बीच वक्र x-अक्ष के नीचे रहता है, जैसा इस पेज के चित्र में है।
अभ्यास 2.1 — चित्र 2.10 के ग्राफक्रियाकलाप
अभ्यास 2.1 में एक ही प्रश्न है। Fig. 2.10 के हर ग्राफ y = p(x) के लिए शून्यकों की संख्या लिखो।
तरीका: x-अक्ष से जितनी बार वक्र मिलता है, उतने शून्यक। छूना भी एक शून्यक है। न मिलना शून्य शून्यक है।
हल किया हुआ उदाहरणउदाहरण
प्रश्न: y = (x − 1)(x − 4) के ग्राफ के कितने शून्यक हैं और वे क्या हैं?
नियम: शून्यक वहाँ है जहाँ y = 0, यानी x-अक्ष पर कटान।
स्थापना: (x − 1)(x − 4) = 0 से x = 1 या x = 4।
दो भिन्न कटान हैं। उत्तर दो शून्यक, 1 और 4। चित्र वाला परवलय इसी तरह दो जगह काटता है।
10-सेकंड रिवीजन
- शून्यकों की संख्या = x-अक्ष से मिलन
- द्विघात के 0, 1 या 2 वास्तविक शून्यक
- छूना एक शून्यक गिना जाता है
बोर्ड टिप · BSEBबोर्ड टिप
Fig. 2.10 में हर चित्र की अलग संख्या लिखो। एक उत्तर सब पर मत चिपकाओ।
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«द्विघात के ठीक दो शून्यक होते हैं» गलत वाक्य है। सही वाक्य «अधिक से अधिक दो» है।
समझ जाँचोसब सही = महारत ★
1
द्विघात बहुपद के वास्तविक शून्यक हो सकते हैं —
💡 संकेत:
परवलय चूक भी सकता है।
समझो:
0, 1 या 2। अधिक से अधिक दो।
2
ग्राफ का x-अक्ष से एक बार छूना एक शून्यक है।
समझो:
सही — छूना भी मिलन है, इसलिए एक शून्यक गिना जाता है।
3
y = p(x) के शून्यक, x-अक्ष से मिलन बिंदुओं के ______ -निर्देशांक हैं।
💡 संकेत:
y नहीं।
समझो:
x-निर्देशांक।
4
परवलय x-अक्ष को बिल्कुल न काटे तो शून्यकों की संख्या है —
💡 संकेत:
मिलन नहीं तो शून्यक नहीं।
समझो:
0।
5
अभ्यास 2.1 का तरीका एक वाक्य में लिखो। एक ऐसा द्विघात बताओ जिसके दो शून्यक हों।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
ग्राफ x-अक्ष से जितनी बार मिले, उतने शून्यक। y = (x − 1)(x − 4) के शून्यक 1 और 4 हैं, यानी दो।
अपना उत्तर जाँचो:
6
a > 0 वाले परवलय के दो शून्यकों के बीच वक्र रहता है —
💡 संकेत:
ऊपर खुलने वाला परवलय बीच में नीचे जाता है।
समझो:
x-अक्ष के नीचे। चित्र यही दिखाता है।
शून्यक और गुणांक — अभ्यास 2.2 का पहला प्रश्न
Zeroes and coefficients — question 1 of Exercise 2.2 · NCERT 2.3 · अभ्यास 2.2 प्रश्न 1
योग −b/a है, गुणनफल c/aनोट्स
ax² + bx + c के शून्यक α और β हों, a ≠ 0, तो
α + β = −b/a और αβ = c/a
किताब इसे x² + 7x + 10 पर दिखाती है। गुणनखंड (x + 2)(x + 5) से शून्यक −2 और −5 हैं। योग −7 और गुणनफल 10, जो −b/a और c/a से मिलते हैं।
अभ्यास 2.2 — प्रश्न 1 की छह राशियाँक्रियाकलाप
हर एक के शून्यक निकालो और योग-गुणनफल को गुणांकों से मिलाओ:
(i) x² − 2x − 8 (ii) 4s² − 4s + 1 (iii) 6x² − 7x − 3
(iv) 4u² + 8u (v) t² − 15 (vi) 3x² − x − 4
हल किया हुआ उदाहरणउदाहरण
प्रश्न: x² − 2x − 8 के शून्यक और संबंध।
गुणनखंड: x² − 2x − 8 = (x − 4)(x + 2)। शून्यक 4 और −2।
सूत्र: योग = −b/a, गुणनफल = c/a। यहाँ a = 1, b = −2, c = −8।
स्थापना: −b/a = −(−2)/1 = 2। शून्यकों का योग 4 + (−2) = 2।
c/a = −8/1 = −8। गुणनफल 4×(−2) = −8। संबंध मेल खाता है।
10-सेकंड रिवीजन
- α + β = −b/a
- αβ = c/a
- x² − 2x − 8 के शून्यक 4 और −2
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ऋण चिह्न योग में है। b पहले से ऋणात्मक हो तो −b धनात्मक हो जाता है।
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4s² − 4s + 1 का शून्यक 1/2 दो बार है। योग 1 और गुणनफल 1/4 लिखना मत भूलना।
समझ जाँचोसब सही = महारत ★
1
x² + 7x + 10 के शून्यक हैं —
💡 संकेत:
(x + 2)(x + 5)।
समझो:
−2 और −5। योग −7 = −b/a, गुणनफल 10 = c/a।
2
t² − 15 के शून्यकों का योग 0 है।
समझो:
सही — शून्यक √15 और −√15 हैं, योग 0 = −b/a, क्योंकि b = 0।
3
ax² + bx + c में शून्यकों का गुणनफल ______ है।
💡 संकेत:
योग में ऋण है, गुणनफल में नहीं।
समझो:
c/a।
4
4u² + 8u के शून्यक हैं —
💡 संकेत:
4u(u + 2)।
समझो:
0 और −2। योग −2 = −8/4। गुणनफल 0।
5
3x² − x − 4 के शून्यक निकालो। योग और गुणनफल को −b/a और c/a से मिलाओ।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
(x + 1)(3x − 4) = 0 से शून्यक −1 और 4/3। योग = −1 + 4/3 = 1/3 = −(−1)/3। गुणनफल = −4/3 = c/a।
अपना उत्तर जाँचो:
योग और गुणनफल से बहुपद — अभ्यास 2.2 का दूसरा प्रश्न
A polynomial from the sum and the product — question 2 of Exercise 2.2 · अभ्यास 2.2 · प्रश्न 2
a = 1 रखो तो बहुपद x² − (योग)x + गुणनफलनोट्स
योग S और गुणनफल P दिए हों तो एक द्विघात x² − Sx + P है। कोई भी दूसरा उत्तर k(x² − Sx + P) के रूप का है, k ≠ 0।
किताब का उदाहरण: योग −3 और गुणनफल 2 देने वाला बहुपद x² + 3x + 2 है, क्योंकि −S = 3।
अभ्यास 2.2 — प्रश्न 2क्रियाकलाप
इन योग और गुणनफल वाली जोड़ियों का एक-एक द्विघात लिखो:
(i) 1/4 और −1 (ii) √2 और 1/3 (iii) 0 और √5
(iv) 1 और 1 (v) −1/4 और 1/4 (vi) 4 और 1
हल किया हुआ उदाहरणउदाहरण
प्रश्न: योग −3 और गुणनफल 2 वाला द्विघात।
सूत्र: x² − (योग)x + गुणनफल। साथ ही α + β = −b/a और αβ = c/a।
स्थापना: a = 1 लो। −b/a = −3, इसलिए b = 3। c/a = 2, इसलिए c = 2।
उत्तर: x² + 3x + 2। कोई भी k(x² + 3x + 2) भी सही है।
10-सेकंड रिवीजन
- x² − (योग)x + गुणनफल
- k गुना करने पर भी वही शून्यक रहते हैं
- योग −3, गुणनफल 2 → x² + 3x + 2
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योग ऋणात्मक हो तो बीच का पद धनात्मक बनता है। चिह्न एक बार लिखकर जाँचो।
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भिन्न योग हो तो पूरे बहुपद को हर से गुणा कर सकते हो। 1/4 और −1 पर 4x² − x − 4 भी सही है।
समझ जाँचोसब सही = महारत ★
1
योग 4 और गुणनफल 1 वाला एक बहुपद है —
💡 संकेत:
मध्य पद ऋण योग है।
समझो:
x² − 4x + 1।
2
2(x² + 3x + 2) के शून्यक x² + 3x + 2 से अलग हो जाते हैं।
समझो:
गलत — शून्येतर k से गुणा करने पर शून्यक वही रहते हैं।
3
योग 0 और गुणनफल √5 वाला एक बहुपद x² + ______ है।
💡 संकेत:
मध्य पद 0 है।
समझो:
x² + √5।
4
योग 1/4 और गुणनफल −1 वाला एक द्विघात लिखो। a = 1 और a = 4 दोनों रूप दिखाओ।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
x² − (1/4)x − 1। हर 4 से गुणा करने पर 4x² − x − 4। दोनों के शून्यक एक ही हैं।
अपना उत्तर जाँचो:
विभाजन एल्गोरिथ्म — अभ्यास 2.3
The division algorithm — Exercise 2.3 · NCERT 2.4 · अभ्यास 2.3
भाज्य = भाजक × भागफल + शेषनोट्स
p(x) और शून्येतर g(x) के लिए ऐसे q(x), r(x) होते हैं कि
p(x) = g(x) q(x) + r(x)
जहाँ r(x) = 0 हो, या r की घात g की घात से छोटी हो। पदों को घटती घातों में लिखो। इसे मानक रूप कहते हैं। 1 + 2x + x² को x² + 2x + 1 लिखकर भाग दो।
बिहार की किताब में यह अभ्यास 2.3 है। NCERT पुनर्मुद्रण 2026-27 यह खंड नहीं छापता।
अभ्यास 2.3 — पाँचों प्रश्नक्रियाकलाप
प्रश्न 1: भागफल और शेष निकालो। (i) x³ − 3x² + 5x − 3 को x² − 2 से। (ii) x⁴ − 3x² + 4x + 5 को x² − x + 1 से। (iii) x⁴ − 5x + 6 को 2 − x² से।
प्रश्न 2: पहला बहुपद दूसरे का गुणनखंड है या नहीं, भाग देकर देखो। प्रश्न 3: 3x⁴ + 6x³ − 2x² − 10x − 5 के दो शून्यक √(5/3) और −√(5/3) हैं, बाकी निकालो।
प्रश्न 4: x³ − 3x² + x + 2 को g(x) से भाग देने पर भागफल x − 2 और शेष −2x + 4 मिला। g(x) निकालो। प्रश्न 5: ऐसी मिसाल दो जहाँ घातें बराबर हों या शेष की घात 0 हो।
हल किया हुआ उदाहरणउदाहरण
प्रश्न: x³ − 3x² + 5x − 3 को x² − 2 से भाग दो।
सूत्र: p = gq + r, और r की घात 2 से छोटी हो तो रुकना है।
कदम 1: x³/x² = x। x(x² − 2) = x³ − 2x। घटाने पर −3x² + 7x − 3।
कदम 2: −3x²/x² = −3। −3(x² − 2) = −3x² + 6। घटाने पर 7x − 9।
भागफल x − 3, शेष 7x − 9। जाँच: (x² − 2)(x − 3) + (7x − 9) = x³ − 3x² + 5x − 3। उत्तर q = x − 3, r = 7x − 9।
10-सेकंड रिवीजन
- p = gq + r
- शेष 0 हो या उसकी घात भाजक से छोटी हो
- मानक रूप में घटती घातों का क्रम
बोर्ड टिप · BSEBबोर्ड टिप
अंत में gq + r को खोलकर p से मिलाओ। यही जाँच अंक बचाती है।
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प्रश्न 4 में g = (p − r)/q। शेष घटाना भूलने से भाजक बदल जाता है।
समझ जाँचोसब सही = महारत ★
1
x³ − 3x² + 5x − 3 को x² − 2 से भाग देने पर भागफल है —
💡 संकेत:
शेष 7x − 9 है, भागफल नहीं।
समझो:
भागफल x − 3 और शेष 7x − 9।
2
भाग तभी रुकता है जब शेष की घात भाजक की घात से छोटी हो जाए या शेष शून्य हो।
समझो:
सही — यही एल्गोरिथ्म की रुकने की शर्त है।
3
विभाजन एल्गोरिथ्म: p(x) = g(x) q(x) + ______।
💡 संकेत:
आखिरी पद शेष है।
समझो:
r(x)।
4
x³ − 3x² + x + 2 = g(x)(x − 2) + (−2x + 4) हो तो g(x) निकालो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
g = (p − r)/(x − 2)। p − r = x³ − 3x² + 3x − 2। x − 2 से भाग: x² − x + 1। जाँच: (x² − x + 1)(x − 2) + (−2x + 4) = x³ − 3x² + x + 2।
अपना उत्तर जाँचो:
5
3x⁴ + 6x³ − 2x² − 10x − 5 के शेष दो शून्यक, यदि दो शून्यक ±√(5/3) हों, हैं —
💡 संकेत:
3x² − 5 से भाग दो। भागफल (x + 1)² है।
समझो:
भागफल x² + 2x + 1 = (x + 1)², इसलिए शून्यक −1, −1।
6
deg p = deg q का एक उदाहरण तब बनता है जब भाजक अचर हो।
समझो:
सही — जैसे p = 2x + 2, g = 2, q = x + 1, r = 0। दोनों घातों 1 हैं।
त्रिघात के शून्यक — वैकल्पिक अभ्यास 2.4
Zeroes of a cubic — optional Exercise 2.4 · वैकल्पिक अभ्यास 2.4 · परीक्षा हेतु नहीं
तीन संबंध, और यह अभ्यास परीक्षा हेतु नहींनोट्स
ax³ + bx² + cx + d के शून्यक α, β, γ हों तो
α + β + γ = −b/a, αβ + βγ + γα = c/a, αβγ = −d/a।
किताब अभ्यास 2.4 को तारांकित रखती है: ये प्रश्न परीक्षा की दृष्टि से नहीं हैं। फिर भी संबंध सारांश में है। त्रिघात के अधिक से अधिक तीन शून्यक होते हैं।
अभ्यास 2.4 — वैकल्पिक पाँच प्रश्नक्रियाकलाप
प्रश्न 1: 2x³ + x² − 5x + 2 के साथ 1/2, 1, −2; और x³ − 4x² + 5x − 2 के साथ 2, 1, 1। शून्यक और तीनों संबंध जाँचो।
प्रश्न 2: योग 2, दो-दो का योग −7, गुणनफल −14 वाला त्रिघात। प्रश्न 3: x³ − 3x² + x + 1 के शून्यक a − b, a, a + b हों तो a और b।
प्रश्न 4 और 5 गुणनखंड और भाग की अगली कड़ी हैं। 2 ± √3 दो शून्यक हों तो बाकी निकालना, और x² − 2x + k से भाग पर शेष x + a से k और a निकालना।
हल किया हुआ उदाहरणउदाहरण
प्रश्न: योग 2, दो-दो का योग −7, गुणनफल −14 वाला त्रिघात।
सूत्र: −b/a = 2, c/a = −7, −d/a = −14।
स्थापना: a = 1 लो। तब b = −2, c = −7, d = 14।
उत्तर: x³ − 2x² − 7x + 14।
10-सेकंड रिवीजन
- योग −b/a, दो-दो का योग c/a, गुणनफल −d/a
- अभ्यास 2.4 परीक्षा हेतु नहीं है
- x³ − 2x² − 7x + 14 उन तीन संख्याओं को मानता है
बोर्ड टिप · BSEBबोर्ड टिप
गुणनफल पर ऋण चिह्न है: αβγ = −d/a। योग पर भी ऋण है। बीच वाले संबंध पर ऋण नहीं।
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वैकल्पिक होने का अर्थ यह नहीं कि संबंध गलत है। सारांश की पंक्ति 6 वही संबंध है।
समझ जाँचोसब सही = महारत ★
1
2x³ + x² − 5x + 2 के शून्यक 1/2, 1, −2 का योग है —
💡 संकेत:
−b/a = −1/2।
समझो:
1/2 + 1 − 2 = −1/2 = −b/a।
2
त्रिघात के शून्यकों का गुणनफल −d/a होता है।
समझो:
सही — αβγ = −d/a। 1/2 × 1 × (−2) = −1 और −d/a = −2/2 = −1।
3
योग 2, दो-दो का योग −7 और गुणनफल −14 वाला एक त्रिघात x³ − 2x² − 7x + ______ है।
💡 संकेत:
−d/a = −14 और a = 1।
समझो:
14।
4
x³ − 3x² + x + 1 के शून्यक a − b, a, a + b हैं। a और b निकालो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
योग 3a = −b/a का गुणांक रूप 3, इसलिए a = 1। गुणनफल a(a² − b²) = −d/a = −1। 1 − b² = −1, इसलिए b² = 2 और b = ±√2।
अपना उत्तर जाँचो:
5
अभ्यास 2.4 के बारे में किताब कहती है —
💡 संकेत:
तारांकन वाली पंक्ति।
समझो:
किताब लिखती है कि ये प्रश्न परीक्षा की दृष्टि से नहीं हैं।
❓ पूरा प्रश्न बैंक — उत्तर व व्याख्या सहित — 65 प्रश्न
प्रकार चुनो। पाठों के 35 जाँच-प्रश्न अलग हैं — हर पाठ में जितने उसके विषय माँगते हैं। सब सही होने पर महारत ★ मिलती है।
BSEB मॉडलअभ्यास · वार्षिक नहीं60 किए · 0 सहीबहुविकल्पीMCQ120 किए · 0 सहीसही / गलतसही-गलत80 किए · 0 सहीरिक्त स्थानरिक्त स्थान80 किए · 0 सहीमिलान करोमिलान20 किए · 0 सहीअभिकथन-कारणअभिकथन-कारण50 किए · 0 सहीसमीकरण संतुलनसंतुलन40 किए · 0 सहीअभिक्रिया पहचानपहचान20 किए · 0 सहीलघु / दीर्घ उत्तरीयअति लघु, लघु, दीर्घ120 किए · 0 सहीCBSE-शैलीPYQ नहीं60 किए · 0 सही
कोई भी प्रश्न «सत्यापित PYQ» नहीं है। BSEB वाला सेट मॉडल अभ्यास है। CBSE वाले प्रश्न CBSE-शैली हैं, किसी वर्ष के पेपर की प्रति नहीं।
बहुविकल्पी
0/12एक विकल्प चुनो।
1
4x + 2 की घात है —
💡 संकेत:
x की घात देखो।
समझो:
1, रैखिक।
2
द्विघात ax² + bx + c में शर्त है —
💡 संकेत:
x² का पद बना रहे।
समझो:
a ≠ 0।
3
2x + 4 का शून्यक है —
💡 संकेत:
−b/a।
समझो:
−2।
4
ग्राफ x-अक्ष को दो बार काटे तो शून्यक हैं —
💡 संकेत:
मिलन गिनो।
समझो:
2।
5
x² + 7x + 10 के शून्यकों का योग है —
💡 संकेत:
−b/a।
समझो:
−7।
6
x² − 2x − 8 के शून्यक हैं —
💡 संकेत:
(x − 4)(x + 2)।
समझो:
4 और −2।
7
योग −3 और गुणनफल 2 वाला बहुपद है —
💡 संकेत:
x² − (योग)x + गुणनफल।
समझो:
x² + 3x + 2।
8
विभाजन में रुकने की शर्त है —
💡 संकेत:
एल्गोरिथ्म की पंक्ति।
समझो:
शेष 0 हो या उसकी घात छोटी हो।
9
x³ − 3x² + 5x − 3 को x² − 2 से भाग देने पर शेष है —
💡 संकेत:
भागफल x − 3 है।
समझो:
7x − 9।
10
त्रिघात के शून्यकों का योग है —
💡 संकेत:
α + β + γ।
समझो:
−b/a।
11
4s² − 4s + 1 का शून्यक है —
💡 संकेत:
(2s − 1)²।
समझो:
1/2 दो बार।
12
अभ्यास 2.4 है —
💡 संकेत:
तारांकन।
समझो:
वैकल्पिक है और परीक्षा हेतु नहीं।
सही / गलत
0/81
1/x एक बहुपद है।
समझो:
गलत — घात ऋण नहीं होती।
2
द्विघात के अधिक से अधिक दो शून्यक होते हैं।
समझो:
सही।
3
y-अक्ष पर कटान बहुपद का शून्यक होता है।
समझो:
गलत — शून्यक x-अक्ष वाला x है।
4
x² + 7x + 10 के शून्यकों का गुणनफल 10 है।
समझो:
सही — c/a = 10।
5
k(x² + 3x + 2) के शून्यक, k ≠ 0, बदल जाते हैं।
समझो:
गलत — शून्यक वही रहते हैं।
6
शेष की घात भाजक की घात से बड़ी होते हुए भी भाग पूरा माना जाता है।
समझो:
गलत — तब और भाग करना होता है।
7
αβγ = −d/a त्रिघात का गुणनफल संबंध है।
समझो:
सही।
8
परवलय का x-अक्ष से न मिलना दो शून्यक गिना जाता है।
समझो:
गलत — मिलन नहीं तो शून्यक 0।
रिक्त स्थान
0/81
2y² − 3y + 4 की घात ______ है।
💡 संकेत:
2।
समझो:
सबसे बड़ी घात।
2
रैखिक ax + b का शून्यक ______ है।
💡 संकेत:
−b/a।
समझो:
ऋण b बटा a।
3
शून्यकों का योग −b/a और गुणनफल ______ है।
💡 संकेत:
c/a।
समझो:
द्विघात।
4
योग 4 और गुणनफल 1 वाला बहुपद x² − ______ x + 1 है।
💡 संकेत:
4।
समझो:
मध्य पद योग के बराबर ऋण के साथ।
5
p(x) = g(x) q(x) + ______।
💡 संकेत:
r(x)।
समझो:
शेष।
6
x³ − 3x² + 5x − 3 को x² − 2 से भाग देने पर भागफल x − ______ है।
💡 संकेत:
3।
समझो:
शेष 7x − 9 अलग है।
7
त्रिघात में αβ + βγ + γα = ______।
💡 संकेत:
c/a।
समझो:
मध्य वाला संबंध।
8
4u² + 8u का एक शून्यक ______ है।
💡 संकेत:
0 या −2।
समझो:
4u(u + 2)।
मिलान करो
0/21
घात को नाम से मिलाओ।
स्तंभ B: A. त्रिघात · B. x-अक्ष पर कटान · C. रैखिक · D. द्विघात
1. घात 1
2. घात 2
3. घात 3
4. शून्यक
समझो:
1 रैखिक, 2 द्विघात, 3 त्रिघात, शून्यक x-अक्ष का कटान।
2
संबंध को उसके सूत्र से मिलाओ।
स्तंभ B: A. c/a · B. −d/a · C. p = gq + r · D. −b/a
1. द्विघात का योग
2. द्विघात का गुणनफल
3. त्रिघात का गुणनफल
4. विभाजन
समझो:
योग −b/a, गुणनफल c/a, त्रिघात गुणनफल −d/a, विभाजन p = gq + r।
अभिकथन–कारण
0/5पहले दोनों कथन जाँचो।
1
अभिकथन (A): x² + 7x + 10 के शून्यक −2 और −5 हैं।
कारण (R): x² + 7x + 10 = (x + 2)(x + 5)।
समझो:
दोनों सही हैं और R, A की व्याख्या है।
2
अभिकथन (A): द्विघात के अधिक से अधिक दो शून्यक होते हैं।
कारण (R): भाज्य = भाजक × भागफल + शेष।
समझो:
दोनों सही हैं, पर R, A की व्याख्या नहीं है।
3
अभिकथन (A): 2x + 4 का शून्यक −2 है।
कारण (R): यह शून्यक y-अक्ष पर कटान है।
समझो:
A सही है। R गलत है — शून्यक x-अक्ष पर है।
4
अभिकथन (A): त्रिघात के शून्यकों का गुणनफल d/a होता है।
कारण (R): αβγ = −d/a।
समझो:
A गलत है क्योंकि ऋण चिह्न छूटा है। R सही है।
5
अभिकथन (A): x³ − 3x² + 5x − 3 = (x² − 2)(x − 3) + (7x − 9)।
कारण (R): भाग जाँचने का तरीका gq + r को p के बराबर दिखाना है।
समझो:
दोनों सही हैं और R बताता है कि A जाँच क्यों है।
गुणांक अभ्यास
0/4यह गुणांक अभ्यास है। यह इस गणित अध्याय का परिणाम नहीं है। पानी और कार्बन डाइऑक्साइड बनने के छोटे समीकरण हैं।
1
यह गुणांक अभ्यास है, इस गणित अध्याय का परिणाम नहीं। पानी बनने का समीकरण संतुलित करो। गुणांक केवल गुणांक की जगह लिखो।
H2 + O2 → H2O
समझो: 2H2 + O2 → 2H2O
2
यह गुणांक अभ्यास है, इस गणित अध्याय का परिणाम नहीं। कार्बन से कार्बन डाइऑक्साइड बनने का समीकरण संतुलित करो।
C + O2 → CO2
समझो: C + O2 → CO2
3
यह गुणांक अभ्यास है, इस गणित अध्याय का परिणाम नहीं। कार्बन मोनोऑक्साइड से कार्बन डाइऑक्साइड बनने का समीकरण संतुलित करो।
CO + O2 → CO2
समझो: 2CO + O2 → 2CO2
4
यह गुणांक अभ्यास है, इस गणित अध्याय का परिणाम नहीं। मीथेन के जलने पर कार्बन डाइऑक्साइड और पानी बनते हैं। समीकरण संतुलित करो।
CH4 + O2 → CO2 + H2O
समझो: CH4 + 2O2 → CO2 + 2H2O
वर्गीकरण
0/21
हर बहुपद को उसकी घात के नाम में रखो।
4x + 2
2y² − 3y + 4
5x³ − 4x² + x − 2
x² − 2x − 8
समझो:
4x+2 रैखिक, दोनों वर्ग वाले द्विघात, x³ वाला त्रिघात।
2
ग्राफ के वर्णन को शून्यकों की संख्या में रखो।
रेखा x-अक्ष को एक बार काटती है
परवलय दो बिंदुओं पर काटता है
परवलय x-अक्ष से नहीं मिलता
परवलय एक बिंदु पर छूता है
समझो:
एक कटान या एक छूना = 1। दो कटान = 2। न मिलना = 0।
अति लघु उत्तरीय
0/51
बहुपद की घात की परिभाषा लिखो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
एक चर वाले बहुपद में उस चर की सबसे बड़ी घात ही घात है।
अपना उत्तर जाँचो:
2
शून्यक और ग्राफ का संबंध एक पंक्ति में लिखो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
शून्यक उन बिंदुओं के x-निर्देशांक हैं जहाँ y = p(x) x-अक्ष से मिलता है।
अपना उत्तर जाँचो:
3
द्विघात के शून्यकों का योग और गुणनफल लिखो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
α + β = −b/a और αβ = c/a।
अपना उत्तर जाँचो:
4
विभाजन एल्गोरिथ्म की समिका लिखो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
p(x) = g(x) q(x) + r(x), जहाँ r = 0 या deg r, deg g से छोटी है।
अपना उत्तर जाँचो:
5
योग 1 और गुणनफल 1 वाला एक द्विघात लिखो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
x² − x + 1।
अपना उत्तर जाँचो:
लघु उत्तरीय
0/41
6x² − 7x − 3 के शून्यक निकालो और −b/a, c/a से मिलाओ।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
(3x + 1)(2x − 3) = 0 से शून्यक −1/3 और 3/2। योग = 7/6 = −(−7)/6। गुणनफल = −1/2 = −3/6।
अपना उत्तर जाँचो:
2
x⁴ − 3x² + 4x + 5 को x² − x + 1 से भाग देकर भागफल और शेष लिखो, और एक जाँच पंक्ति दो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
भागफल x² + x − 3 और शेष 8। जाँच: (x² − x + 1)(x² + x − 3) + 8 = x⁴ − 3x² + 4x + 5।
अपना उत्तर जाँचो:
3
2x³ + x² − 5x + 2 के शून्यक 1/2, 1, −2 हैं। तीनों संबंध की जाँच करो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
योग = −1/2 = −b/a। दो-दो का योग = 1/2 − 2 − 1 = −5/2 = c/a। गुणनफल = −1 = −d/a।
अपना उत्तर जाँचो:
4
ऐसे p, g, q, r लिखो कि शेष की घात 0 हो। समिका से जाँचो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
p(x) = x² + 1, g(x) = x, q(x) = x, r(x) = 1। x·x + 1 = x² + 1, और शेष की घात 0 है।
अपना उत्तर जाँचो:
दीर्घ उत्तरीय
0/31
x² − 2x − 8 के शून्यक निकालो, योग और गुणनफल मिलाओ, और वही योग-गुणनफल देने वाला सामान्य रूप k के साथ लिखो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
शून्यक 4 और −2। योग 2 = −(−2)/1। गुणनफल −8 = −8/1। सामान्य रूप k(x² − 2x − 8), k ≠ 0।
अपना उत्तर जाँचो:
2
विभाजन एल्गोरिथ्म लिखो। x³ − 3x² + 5x − 3 को x² − 2 से भाग दो और gq + r की जाँच पूरे चरणों में दिखाओ।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
p = gq + r, और r = 0 या deg r छोटी। x(x² − 2) घटाने पर −3x² + 7x − 3। −3(x² − 2) घटाने पर शेष 7x − 9। भागफल x − 3। (x² − 2)(x − 3) + 7x − 9 = x³ − 3x² − 2x + 6 + 7x − 9 = x³ − 3x² + 5x − 3।
अपना उत्तर जाँचो:
3
एक परवलय दो शून्यकों पर x-अक्ष काटता है। चित्र के सहारे बताओ कि शून्यक क्या गिने जाते हैं। फिर 1/2, 1, −2 को 2x³ + x² − 5x + 2 के शून्यक मानकर गुणनफल संबंध जाँचो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
शून्यक x-अक्ष के कटान बिंदुओं के x-निर्देशांक हैं। दो कटान का अर्थ दो शून्यक। गुणनफल (1/2)×1×(−2) = −1 और −d/a = −2/2 = −1, इसलिए संबंध मेल खाता है।
अपना उत्तर जाँचो:
BSEB मॉडल प्रश्न-पत्र · अभ्यास
0/6यह मॉडल सेट अभ्यास के लिए है। किसी वर्ष की वार्षिक परीक्षा का प्रश्न नहीं है।
1
t² − 15 के शून्यक हैं —
💡 संकेत:
a² − b²।
समझो:
√15 और −√15।
2
3x − 6 का शून्यक है —
💡 संकेत:
−b/a।
समझो:
2।
3
α + β = ______ / a । रिक्त में ऋण चिह्न सहित अंश लिखो।
💡 संकेत:
−b।
समझो:
योग।
4
4s² − 4s + 1 के शून्यक और योग-गुणनफल लिखो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
शून्यक 1/2 और 1/2। योग 1 = 4/4। गुणनफल 1/4 = 1/4।
अपना उत्तर जाँचो:
5
यह गुणांक अभ्यास है, इस गणित अध्याय का परिणाम नहीं। पानी बनने वाला समीकरण संतुलित करो।
H2 + O2 → H2O
समझो: 2H2 + O2 → 2H2O
6
विभाजन एल्गोरिथ्म लिखो और x³ − 3x² + 5x − 3 को x² − 2 से भाग देकर जाँच दिखाओ। यह बताओ कि अभ्यास 2.4 परीक्षा हेतु क्यों अलग चिह्नित है।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
p = gq + r, शेष की घात भाजक से छोटी। भागफल x − 3, शेष 7x − 9। (x² − 2)(x − 3) + 7x − 9 मूल बहुपद है। अभ्यास 2.4 पर किताब लिखती है कि ये प्रश्न परीक्षा की दृष्टि से नहीं हैं।
अपना उत्तर जाँचो:
CBSE-शैली प्रश्न
0/6ये योग्यता-आधारित अभ्यास प्रश्न हैं। किसी पिछले प्रश्नपत्र की प्रति नहीं हैं।
1
एक छात्र ने द्विघात के ठीक दो शून्यक बताए, जबकि परवलय x-अक्ष के ऊपर रहता है। सही पढ़ है —
💡 संकेत:
मिलन गिनो।
समझो:
मिलन नहीं, इसलिए वास्तविक शून्यक 0। अधिक से अधिक दो का अर्थ ठीक दो नहीं।
2
दुकान का लाभ बहुपद x² − 5x + 6 से जुड़ा है। लाभ शून्य किन x पर है?
💡 संकेत:
(x − 2)(x − 3)।
समझो:
x = 2 और x = 3। योग 5 = −b/a।
3
अभिकथन (A): 4x² − x − 4 के शून्यकों का योग 1/4 है।
कारण (R): इसी बहुपद के शून्यकों का गुणनफल −1 है।
समझो:
A सही है, −b/a = 1/4। R भी सही है, c/a = −1। R योग की व्याख्या नहीं करता।
4
अभिकथन (A): x² − 5x + 6 के शून्यक 2 और 3 हैं।
कारण (R): x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3)।
समझो:
दोनों सही हैं और R, A की व्याख्या है।
5
एक छात्र भाग में शेष 7x − 9 पाकर कहता है कि x² − 2, x³ − 3x² + 5x − 3 का गुणनखंड है। कहाँ चूक है? सही भागफल और शेष लिखो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
गुणनखंड तभी होता है जब शेष 0 हो। यहाँ शेष 7x − 9 है, इसलिए x² − 2 गुणनखंड नहीं है। भागफल x − 3 है।
अपना उत्तर जाँचो:
6
दो रास्तों की लंबाई बहुपद के शून्यकों जैसी है: योग 4 और गुणनफल 1। एक बहुपद लिखो और बताओ कि k से गुणा करने पर रास्ते क्यों नहीं बदलते।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
x² − 4x + 1। k(x² − 4x + 1) के शून्यक वही रहते हैं, क्योंकि k ≠ 0 से समीकरण के मूल नहीं बदलते।
अपना उत्तर जाँचो:
🏛️ बोर्ड परीक्षा कॉर्नर — बिहार बोर्ड (BSEB)— CBSE
ऊपर «BSEB | CBSE» से बोर्ड बदलो। पाठ वही NCERT है।
BSEB मॉडल · अभ्यासबोर्ड टिप
इस पेज पर वार्षिक परीक्षा का सत्यापित प्रश्न नहीं है, क्योंकि स्रोत पृष्ठ नहीं जोड़ा गया। नीचे मॉडल सेट बोर्ड के पैटर्न पर अभ्यास के लिए है।
सत्यापित लेबल तभी लगेगा जब प्रश्न का स्रोत पृष्ठ उपलब्ध हो।
CBSE-शैली · योग्यता-आधारित
ये केस और अभिकथन-कारण अभ्यास हैं। इन्हें CBSE का पुराना प्रश्न मत समझो।
🔁 स्पेस्ड रिव्यू — आज के प्रश्न
गलत प्रश्न जल्दी लौटते हैं, सही वाले कुछ दिन बाद।
🧠 आपने क्या सीखा + समीकरण-पत्रक
आपने क्या सीखा
- घात 1, 2, 3 वाले बहुपद रैखिक, द्विघात और त्रिघात कहलाते हैं।
- शून्यक वह x है जहाँ ग्राफ x-अक्ष से मिलता है।
- द्विघात के अधिक से अधिक दो शून्यक, त्रिघात के अधिक से अधिक तीन।
- ax² + bx + c पर योग −b/a और गुणनफल c/a है।
- त्रिघात पर योग −b/a, दो-दो का योग c/a, और गुणनफल −d/a है।
- p(x) = g(x)q(x) + r(x), और शेष की घात भाजक से छोटी होती है।
| क्या | याद रखने लायक |
|---|---|
| रैखिक शून्यक | −b/a |
| योग | α + β = −b/a |
| गुणनफल | αβ = c/a |
| त्रिघात योग | α + β + γ = −b/a |
| दो-दो का योग | αβ + βγ + γα = c/a |
| विभाजन | p = gq + r |
नोट्स मूल लेखन हैं। पाठ्यपुस्तक केवल क्रम और क्रियाकलाप-संख्या के लिए संदर्भ है। «सत्यापित» केवल स्रोत पृष्ठ वाले प्रश्न पर लिखा जाएगा।