1
17 = 5q + r में प्रमेयिका के अनुसार सही जोड़ी है —
💡 संकेत:
शेष 0 से 4 के बीच होना चाहिए।
समझो:
17 = 5×3 + 2, और 0 ≤ 2 < 5। r = 7 भाजक से बड़ा है।
कक्षा 10 · गणित · अध्याय 1 · बिहार बोर्ड (BSEB)CBSE · NCERT 2026-27
वास्तविक संख्याएँ
Real Numbers
इस पेज को ऐसे पढ़ो:
1. पढ़ो — अभ्यास 1.1 यूक्लिड · 1.2 गुणनखंड · 1.3 अपरिमेय · 1.4 दशमलव, चित्र, हल उदाहरण, बोर्ड टिप
2. जाँचो — हर पाठ के अपने प्रश्न; संख्या पाठ के हिसाब से
3. महारत ★ — उस पाठ के सब सही। गलत वाले «दोबारा करो»
4. याद रखने वाला चित्र संख्या रेखा पर सांत दशमलव को एक बिंदु पर रोकता है और असांत आवर्ती दशमलव को दोहराते निशान से दिखाता है।
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- 1 यूक्लिड की विभाजन प्रमेयिका
- 2 यूक्लिड से HCF — अभ्यास 1.1 के भाग
- 3 विषम, वर्ग और घन के रूप — अभ्यास 1.1 शेष
- 4 अंकगणित की आधारभूत प्रमेय — अभ्यास 1.2 की शुरुआत
- 5 HCF और LCM — अभ्यास 1.2 शेष
- 6 अपरिमेय संख्याएँ — अभ्यास 1.3
- 7 दशमलव प्रसार — अभ्यास 1.4
- अध्याय-विजेता — सभी पाठ महारत ★
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यूक्लिड की विभाजन प्रमेयिका
Euclid’s division lemma · NCERT 1.2 · प्रमेयिका · अंडों की पहेली
शेष भाजक से छोटा रहता हैनोट्स
धनात्मक पूर्णांक a और b पर यूक्लिड की विभाजन प्रमेयिका कहती है कि ऐसी पूर्ण संख्याएँ q और r ज़रूर मिलती हैं कि
a = bq + r, 0 ≤ r < b
q भागफल है और r शेष है। r शून्य भी हो सकता है, पर b के बराबर या उससे बड़ा नहीं हो सकता। 17 को 5 से बाँटो तो 17 = 5×3 + 2। यहाँ q = 3 और r = 2, और 2, 5 से छोटा है।
किताब की पहेली — टोकरी के अंडेक्रियाकलाप
एक व्यापारी की टोकरी में 150 से अधिक अंडे नहीं हैं। जोड़े में गिनो तो 1 बचता है, तीन में 2, चार में 3, पाँच में 4, छह में 5, और सात में कुछ नहीं बचता।
इसे प्रमेयिका की भाषा में लिखो: a = 2u+1 = 3t+2 = 4s+3 = 5w+4 = 6q+5 = 7p। हर बार शेष भाजक से 1 कम है, और सात पर शेष 0 है।
हल किया हुआ उदाहरणउदाहरण
प्रश्न: ऊपर की शर्तें मानने वाली संख्या a ≤ 150 निकालो।
सूत्र: a = 7p, और a = 6q+5, a = 5w+4, a = 4s+3, a = 3t+2, a = 2u+1।
जाँच: 119 = 7×17 + 0। 119 = 6×19 + 5। 119 = 5×23 + 4। 119 = 4×29 + 3। 119 = 3×39 + 2। 119 = 2×59 + 1।
119, 150 से छोटा है। अगली ऐसी संख्या 119+420 होती, जो 150 से बड़ी है। अतः अंडे 119 हैं।
10-सेकंड रिवीजन
- a = bq + r और 0 ≤ r < b
- r = 0 का अर्थ है कि b, a को पूरा बाँटता है
- अंडों की पहेली का उत्तर 119 है
बोर्ड टिप · BSEBबोर्ड टिप
उत्तर में q और r दोनों लिखो, और रिश्त r < b भी दिखाओ।
बोर्ड टिप · CBSEबोर्ड टिप
शेष को भाजक के बराबर लिखना प्रमेयिका तोड़ता है। 17 = 5×2 + 7 गलत रूप है।
समझ जाँचोसब सही = महारत ★
2
a = bq + r में शेष r, b के बराबर हो सकता है।
समझो:
गलत — शर्त 0 ≤ r < b है। r, b तक नहीं पहुँचता।
3
धनात्मक पूर्णांक a, b पर a = bq + r में शेष की शर्त 0 ≤ r < ______ है।
💡 संकेत:
शेष भाजक से छोटा है।
समझो:
0 ≤ r < b।
4
सात के गुणज पर शेष 0, और a ≤ 150, वाली पहेली में अंडों की संख्या है —
💡 संकेत:
119 = 7×17।
समझो:
119 सभी शेष शर्तें पूरी करता है और 150 से छोटा है।
5
38 को 7 से यूक्लिड की प्रमेयिका के रूप में लिखो। q, r और शर्त दिखाओ।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
38 = 7×5 + 3। यहाँ q = 5, r = 3, और 0 ≤ 3 < 7।
अपना उत्तर जाँचो:
यूक्लिड से HCF — अभ्यास 1.1 के भाग
HCF by Euclid — part of Exercise 1.1 · अभ्यास 1.1 · प्रश्न 1 और 3
शेष पर वही विभाजन दोहराओनोट्स
a > b हो तो प्रमेयिका से a = bq + r लिखो। यदि r = 0 तो HCF = b। यदि r ≠ 0 तो HCF(a, b) = HCF(b, r)। यही कदम तब तक चलता है जब तक शेष 0 न हो। आखिरी भाजक HCF है।
यह प्रमेयिका से अलग है। प्रमेयिका एक विभाजन लिखती है। एल्गोरिथ्म उस विभाजन को HCF तक ले जाता है।
अभ्यास 1.1 — प्रश्न 1 और 3क्रियाकलाप
प्रश्न 1 में यूक्लिड के एल्गोरिथ्म से HCF निकालो: (i) 135 और 225, (ii) 196 और 38220, (iii) 867 और 255।
प्रश्न 3 में 616 जवानों की टुकड़ी और 32 सदस्यों का बैंड एक ही संख्या के कॉलम में चलेंगे। कॉलमों की सबसे बड़ी संख्या HCF(616, 32) है।
हल किया हुआ उदाहरणउदाहरण
प्रश्न: 135 और 225 का HCF।
कदम: 225 = 135×1 + 90।
135 = 90×1 + 45।
90 = 45×2 + 0।
शेष 0 आया, इसलिए HCF = 45। जाँच: 135 = 45×3 और 225 = 45×5।
| जोड़ी | आखिरी भाजक | HCF |
|---|---|---|
| 867, 255 | 51 | 51 |
| 616, 32 | 8 | 8 |
| 196, 38220 | 196 | 196 |
10-सेकंड रिवीजन
- HCF(a, b) = HCF(b, r)
- शेष 0 पर रुकना है
- परेड के कॉलम = HCF(616, 32) = 8
बोर्ड टिप · BSEBबोर्ड टिप
हर पंक्ति में भाज्य, भाजक, भागफल और शेष चारों लिखो। केवल आखिरी संख्या से अंक कटते हैं।
बोर्ड टिप · CBSEबोर्ड टिप
135 और 225 में बड़ी संख्या को पहले भाज्य बनाओ। उलटा क्रम शुरू करने से कदम बढ़ जाते हैं।
समझ जाँचोसब सही = महारत ★
1
135 और 225 का HCF है —
💡 संकेत:
तीसरी पंक्ति में शेष 0 और भाजक 45।
समझो:
225 = 135×1 + 90, 135 = 90×1 + 45, 90 = 45×2 + 0। HCF = 45।
2
867 और 255 का HCF 51 है।
समझो:
सही — 867 = 255×3 + 102, 255 = 102×2 + 51, 102 = 51×2 + 0।
3
616 और 32 जवानों के कॉलमों की सबसे बड़ी संख्या ______ है।
💡 संकेत:
616 = 32×19 + 8।
समझो:
616 = 32×19 + 8 और 32 = 8×4 + 0, इसलिए 8।
4
867 और 255 का HCF यूक्लिड के कदमों से निकालो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
867 = 255×3 + 102। 255 = 102×2 + 51। 102 = 51×2 + 0। HCF = 51।
अपना उत्तर जाँचो:
5
196, 38220 को पूरा बाँटता है। HCF है —
💡 संकेत:
शेष पहले कदम पर ही 0 है।
समझो:
38220 = 196×195 + 0, इसलिए HCF = 196।
6
HCF निकालते समय पहली पंक्ति का शेष 0 हो तो HCF भाजक होता है।
समझो:
सही — एल्गोरिथ्म यहीं रुकता है। 196 और 38220 यही हाल है।
विषम, वर्ग और घन के रूप — अभ्यास 1.1 शेष
Forms of odds, squares and cubes — rest of Exercise 1.1 · अभ्यास 1.1 · प्रश्न 2, 4, 5
हर पूर्णांक को b से बाँटकर रूप लिखोनोट्स
कोई भी पूर्णांक 6 से भाज्य पर शेष 0, 1, 2, 3, 4 या 5 छोड़ता है। सम रूप 6q, 6q+2 और 6q+4 हैं। विषम रूप 6q+1, 6q+3, 6q+5 हैं।
वर्ग के लिए भाजक 3 लो। घन के लिए भी भाजक 3 लो, फिर घन खोलो। शेष की सूची पूरी लिखे बिना प्रमाण अधूरा रहता है।
अभ्यास 1.1 — प्रश्न 2, 4 और 5क्रियाकलाप
प्रश्न 2: हर धनात्मक विषम पूर्णांक 6q+1, 6q+3 या 6q+5 के रूप का है।
प्रश्न 4: किसी धनात्मक पूर्णांक का वर्ग 3m या 3m+1 के रूप का है। संकेत: संख्या 3q, 3q+1 या 3q+2 है। तीनों का वर्ग लो।
प्रश्न 5: घन 9m, 9m+1 या 9m+8 के रूप का है।
हल किया हुआ उदाहरणउदाहरण
प्रश्न: धनात्मक पूर्णांक का वर्ग 3m या 3m+1 ही क्यों है?
रूप: संख्या 3q, 3q+1 या 3q+2।
(3q)² = 9q² = 3(3q²), यह 3m है।
(3q+1)² = 9q² + 6q + 1 = 3(3q²+2q) + 1, यह 3m+1 है।
(3q+2)² = 9q² + 12q + 4 = 3(3q²+4q+1) + 1, यह भी 3m+1 है।
तीनों मामलों में वर्ग 3m या 3m+1 है। 3m+2 नहीं बनता।
10-सेकंड रिवीजन
- विषम: 6q+1, 6q+3, 6q+5
- वर्ग: 3m या 3m+1
- घन: 9m, 9m+1 या 9m+8
बोर्ड टिप · BSEBबोर्ड टिप
तीनों रूपों का वर्ग या घन अलग-अलग खोलो। एक रूप लिखकर रुकना अधूरा प्रमाण है।
बोर्ड टिप · CBSEबोर्ड टिप
3m+2 को वर्ग बताना आम चूक है। ऊपर के तीन प्रसार दिखा देते हैं कि वह रूप नहीं बनता।
समझ जाँचोसब सही = महारत ★
1
धनात्मक विषम पूर्णांक का रूप है —
💡 संकेत:
6q+2 और 6q+4 सम हैं।
समझो:
सम रूप हटाने के बाद विषम रूप 6q+1, 6q+3 और 6q+5 बचते हैं।
2
दिखाओ कि धनात्मक पूर्णांक का घन 9m, 9m+1 या 9m+8 के रूप का है।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
संख्या 3q, 3q+1 या 3q+2। (3q)³ = 27q³ = 9(3q³)। (3q+1)³ = 27q³+27q²+9q+1 = 9(3q³+3q²+q)+1। (3q+2)³ = 27q³+54q²+36q+8 = 9(3q³+6q²+4q)+8। अतः रूप 9m, 9m+1 या 9m+8 है।
अपना उत्तर जाँचो:
3
किसी धनात्मक पूर्णांक का वर्ग 3m+2 के रूप का हो सकता है।
समझो:
गलत — तीनों रूपों का वर्ग केवल 3m या 3m+1 देता है।
4
6q+4 रूप की संख्या ______ होती है।
💡 संकेत:
4 सम है और 6q सम है।
समझो:
सम। विषम रूप 6q+1, 6q+3, 6q+5 हैं।
अंकगणित की आधारभूत प्रमेय — अभ्यास 1.2 की शुरुआत
The fundamental theorem — start of Exercise 1.2 · प्रमेय 1.2 · अभ्यास 1.2 के प्रश्न 1, 5, 6
अभाज्य गुणनखंड क्रम छोड़कर एक ही होते हैंनोट्स
हर भाज्य संख्या को अभाज्यों के गुणनफल के रूप में लिखा जा सकता है, और यह लेखन क्रम बदलने के अलावा अद्वितीय है। 12 = 2×2×3 = 3×2×2। दोनों एक ही गुणनखंड हैं।
इसी से 4ⁿ के अंत में 0 नहीं आ सकता। 4ⁿ = 2²ⁿ में अभाज्य केवल 2 है। अंत में 0 के लिए 2 और 5 दोनों चाहिए। 6ⁿ = 2ⁿ×3ⁿ में भी 5 नहीं है।
अभ्यास 1.2 — प्रश्न 1, 5 और 6क्रियाकलाप
प्रश्न 1: 140, 156, 3825, 5005 और 7429 को अभाज्य गुणनखंडों में लिखो।
प्रश्न 5: क्या 6ⁿ का अंत अंक 0 हो सकता है?
प्रश्न 6: बताओ कि 7×11×13+13 और 7×6×5×4×3×2×1+5 भाज्य क्यों हैं। उभयनिष्ठ गुणनखंड बाहर निकालो।
हल किया हुआ उदाहरणउदाहरण
प्रश्न: 7×11×13 + 13 भाज्य क्यों है?
गुणनखंड: 13 दोनों पदों में है। 13(7×11 + 1) = 13(77+1) = 13×78।
13 और 78 दोनों 1 से बड़े हैं, इसलिए संख्या भाज्य है।
दूसरी संख्या: 7! + 5 = 5(7×6×4×3×2×1 + 1) = 5×1009। 5 और 1009 दोनों 1 से बड़े हैं, अतः यह भी भाज्य है।
10-सेकंड रिवीजन
- भाज्य संख्या का अभाज्य गुणनखंड अद्वितीय है
- 6ⁿ के अंत में 0 नहीं आता, क्योंकि 5 गुणनखंड नहीं है
- उभयनिष्ठ गुणनखंड बाहर निकले तो भाज्य दिखता है
बोर्ड टिप · BSEBबोर्ड टिप
अभाज्य घातें लिखो: 140 = 2²×5×7। केवल 2×2×5×7 भी सही है, पर घात साफ रहती है।
बोर्ड टिप · CBSEबोर्ड टिप
अंत में 0 का अर्थ 10 से विभाज्यता है, यानी 2 और 5 दोनों। केवल सम होना काफी नहीं।
समझ जाँचोसब सही = महारत ★
1
140 का अभाज्य गुणनखंड है —
💡 संकेत:
4 और 35 अभाज्य नहीं हैं।
समझो:
140 = 2×70 = 2×2×35 = 2²×5×7।
2
किसी भी प्राकृतिक संख्या n के लिए 6ⁿ का अंतिम अंक 0 हो सकता है।
समझो:
गलत — 6ⁿ = 2ⁿ×3ⁿ में 5 नहीं है, इसलिए 10 से विभाज्य नहीं।
3
5005 = 5 × 7 × 11 × ______।
💡 संकेत:
5×7×11 = 385, और 5005÷385 = 13।
समझो:
13। 7429 = 17×19×23 और 3825 = 3²×5²×17।
4
7×11×13+13 भाज्य है क्योंकि —
💡 संकेत:
13 कोष्ठक के बाहर आ जाता है।
समझो:
13(77+1) = 13×78, दो गुणनखंड 1 से बड़े हैं।
5
156 और 3825 के अभाज्य गुणनखंड लिखो। फिर बताओ कि 4ⁿ के अंत में 0 क्यों नहीं आता।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
156 = 2²×3×13। 3825 = 3²×5²×17। 4ⁿ = 2²ⁿ में केवल अभाज्य 2 है। अंत के 0 के लिए गुणनखंड 5 भी चाहिए, जो नहीं है।
अपना उत्तर जाँचो:
HCF और LCM — अभ्यास 1.2 शेष
HCF and LCM — rest of Exercise 1.2 · अभ्यास 1.2 · प्रश्न 2, 3, 4, 7
दो संख्याओं का गुणनफलनोट्स
दो धनात्मक पूर्णांकों a और b पर
HCF(a, b) × LCM(a, b) = a × b
इसलिए LCM = a×b / HCF। तीन संख्याओं पर यह गुणनफल वाला वाक्य नहीं चलता। 6×72×120, उनके HCF और LCM के गुणनफल के बराबर नहीं है। किताब पाठक के लिए यही सावधानी लिखती है।
तीन संख्याओं पर गुणनफल मत लगाओसावधानी
12, 15 और 21 का HCF 3 है और LCM 420 है। 12×15×21 = 3780, जबकि 3×420 = 1260। दोनों बराबर नहीं। तीन संख्याओं का LCM अभाज्य घातों की सबसे बड़ी घात से निकालो।
अभ्यास 1.2 — प्रश्न 2, 3, 4 और 7क्रियाकलाप
प्रश्न 2: जोड़ियों 26 और 91, 510 और 92, 336 और 54 का HCF और LCM निकालो और HCF×LCM = गुणनफल जाँचो।
प्रश्न 3: 12, 15, 21; फिर 17, 23, 29; फिर 8, 9, 25। प्रश्न 4: HCF(306, 657) = 9 दिया है, LCM निकालो।
प्रश्न 7: सोनिया को एक चक्कर में 18 मिनट और रवि को 12 मिनट लगते हैं। फिर शुरू के बिंदु पर मिलने का समय LCM(18, 12) है। NCERT पुनर्मुद्रण इस प्रश्न को परीक्षा की दृष्टि से नहीं मानता।
हल किया हुआ उदाहरणउदाहरण
प्रश्न: HCF(306, 657) = 9 हो तो LCM निकालो।
सूत्र: LCM = (पहली × दूसरी) / HCF।
स्थापना: LCM = (306 × 657) / 9। 306/9 = 34, इसलिए 34 × 657।
657×30 = 19710 और 657×4 = 2628। योग 22338।
10-सेकंड रिवीजन
- दो पर: LCM = गुणनफल / HCF
- तीन पर यह सूत्र नहीं चलता
- सोनिया और रवि 36 मिनट बाद मिलते हैं
बोर्ड टिप · BSEBबोर्ड टिप
जाँच की पंक्ति लिखो: 13×182 = 26×91। बिना जाँच के प्रश्न 2 अधूरा है।
बोर्ड टिप · CBSEबोर्ड टिप
LCM में हर अभाज्य की सबसे बड़ी घात लो। HCF में सबसे छोटी।
समझ जाँचोसब सही = महारत ★
1
26 और 91 का HCF और LCM हैं —
💡 संकेत:
दोनों में 13 है।
समझो:
26 = 2×13, 91 = 7×13। HCF = 13, LCM = 2×7×13 = 182।
2
तीन संख्याओं पर भी HCF × LCM हमेशा तीनों के गुणनफल के बराबर होता है।
समझो:
गलत — 6, 72, 120 पर किताब यही सावधानी देती है। 12×15×21 ≠ 3×420।
3
HCF(306, 657) = 9 हो तो LCM = ______।
💡 संकेत:
306×657 को 9 से बाँटो।
समझो:
22338।
4
सोनिया और रवि शुरू के बिंदु पर फिर मिलेंगे —
💡 संकेत:
18 और 12 का LCM।
समझो:
18 = 2×3², 12 = 2²×3, LCM = 2²×3² = 36 मिनट।
5
336 और 54 का HCF और LCM अभाज्य गुणनखंड से निकालो और गुणनफल से जाँचो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
336 = 2⁴×3×7, 54 = 2×3³। HCF = 2×3 = 6। LCM = 2⁴×3³×7 = 3024। जाँच: 6×3024 = 18144 और 336×54 = 18144।
अपना उत्तर जाँचो:
6
17, 23 और 29 का HCF है —
💡 संकेत:
तीनों अभाज्य और अलग हैं।
समझो:
कोई उभयनिष्ठ अभाज्य नहीं, इसलिए HCF = 1 और LCM = 17×23×29 = 11339।
अपरिमेय संख्याएँ — अभ्यास 1.3
Irrational numbers — Exercise 1.3 · प्रमेय 1.3 · अभ्यास 1.3 के तीनों प्रश्न
अभाज्य वर्ग को बाँटे तो संख्या को भी बाँटता हैनोट्स
यदि अभाज्य p, a² को बाँटता है तो p, a को भी बाँटता है। यह आधारभूत प्रमेय का परिणाम है। इसी से √2, √3 और √5 अपरिमेय सिद्ध होते हैं।
परिमेय वह है जो p/q के रूप में लिखा जाए, q ≠ 0, और प्रमाण में p, q को सह-अभाज्य मानते हैं। अपरिमेय इस रूप में नहीं लिखा जा सकता। √2, √3, π और 0.101101110… अपरिमेय उदाहरण हैं।
अभ्यास 1.3 — तीनों प्रश्नक्रियाकलाप
प्रश्न 1: सिद्ध करो कि √5 अपरिमेय है।
प्रश्न 2: सिद्ध करो कि 3 + 2√5 अपरिमेय है।
प्रश्न 3: सिद्ध करो कि (i) 1/√2, (ii) 7√5, (iii) 6 + √2 अपरिमेय हैं।
हल किया हुआ उदाहरणउदाहरण
प्रश्न: √5 अपरिमेय है।
मान लो √5 = a/b, जहाँ a और b सह-अभाज्य पूर्णांक हैं और b ≠ 0।
तब a² = 5b²। अतः 5, a² को बाँटता है, और प्रमेय से 5, a को बाँटता है। a = 5k रखो।
25k² = 5b², इसलिए b² = 5k²। फिर 5, b को भी बाँटता है।
a और b दोनों 5 से भाज्य हो गए, जो सह-अभाज्य मान से टकराता है। अतः √5 अपरिमेय है।
10-सेकंड रिवीजन
- p अभाज्य और p | a² हो तो p | a
- सह-अभाज्य मान से विरोध ही प्रमाण है
- परिमेय ± अपरिमेय और अपरिमेय × शून्येतर परिमेय अपरिमेय रहते हैं
बोर्ड टिप · BSEBबोर्ड टिप
पहले वर्गमूल को अपरिमेय सिद्ध करो, फिर 3+2√5 जैसे योग को उसके सहारे।
बोर्ड टिप · CBSEबोर्ड टिप
«अपरिमेय है क्योंकि दशमलव लंबा है» प्रमाण नहीं है। विरोध वाला कदम लिखो।
समझ जाँचोसब सही = महारत ★
1
√5 = a/b सह-अभाज्य मानने पर अगला सही कदम है —
💡 संकेत:
प्रमेय वर्ग से अभाज्य को संख्या पर ले जाती है।
समझो:
a² = 5b² से 5, a² को और फिर a को बाँटता है।
2
यदि 3 + 2√5 परिमेय हो तो √5 भी परिमेय हो जाएगा।
समझो:
सही — √5 = (वह परिमेय − 3)/2। यही विरोध है, क्योंकि √5 अपरिमेय है।
3
दिखाओ कि 7√5 अपरिमेय है।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
मान लो 7√5 = a/b परिमेय है, b ≠ 0। तब √5 = a/(7b), जो परिमेय हुआ। यह √5 के अपरिमेय होने से टकराता है। अतः 7√5 अपरिमेय है।
अपना उत्तर जाँचो:
4
1/√2 को अपरिमेय बताने के लिए उसे ______ / 2 के रूप में लिखते हैं।
💡 संकेत:
हर और अंश में √2 से गुणा।
समझो:
√2 / 2। यदि यह परिमेय हो तो √2 परिमेय हो जाएगा।
दशमलव प्रसार — अभ्यास 1.4
Decimal expansions — Exercise 1.4 · प्रमेय 1.5 से 1.7 · अभ्यास 1.4
हर केवल 2 और 5 हो तो दशमलव रुकता हैनोट्स
सरलतम p/q में q = 2ⁿ5ᵐ हो, n और m ऋणेतर पूर्णांक, तो दशमलव सांत है। q में कोई और अभाज्य हो तो दशमलव असांत आवर्ती है।
हर परिमेय का दशमलव या तो सांत होता है या असांत आवर्ती। जो न रुके और न दोहराए, वह अपरिमेय है। बिहार की किताब में यह अभ्यास 1.4 है। NCERT पुनर्मुद्रण 2026-27 यह अभ्यास नहीं छापता।
अभ्यास 1.4 — तीनों प्रश्नक्रियाकलाप
प्रश्न 1: लंबी विभाजन किए बिना बताओ कि 13/3125, 17/8, 64/455, 15/1600, 29/343, 23/(2³5²), 129/(2²5⁷7), 6/15, 35/50 और 77/210 सांत हैं या असांत आवर्ती।
प्रश्न 2: जो सांत हों उनका दशमलव लिखो। प्रश्न 3: 43.123456789 सांत परिमेय है; 0.120120012000… न रुकता है न दोहराता, अतः अपरिमेय है; 43.123456789 पर आवर्त रेखा हो तो वह असांत आवर्ती परिमेय है और हर में 2, 5 के अलावा अभाज्य आता है।
हल किया हुआ उदाहरणउदाहरण
प्रश्न: 15/1600 सांत है या नहीं? दशमलव लिखो।
सूत्र: सरलतम हर 2ⁿ5ᵐ हो तो सांत।
स्थापना: 15/1600 = 3/320, क्योंकि 5 कट गया। 320 = 2⁶×5। केवल 2 और 5 हैं, अतः सांत।
हर को 10⁶ बनाने को अंश और हर में 5⁵ गुणा करो: 3×3125 / 10⁶ = 9375/1000000 = 0.009375।
10-सेकंड रिवीजन
- सांत ⇔ सरलतम हर = 2ⁿ5ᵐ
- अन्य अभाज्य हो तो असांत आवर्ती
- न सांत न आवर्ती तो अपरिमेय
बोर्ड टिप · BSEBबोर्ड टिप
पहले हर को सरल करो। 6/15 = 2/5 सांत है। काटने से पहले 3 देखकर असांत लिखना गलती है।
बोर्ड टिप · CBSEबोर्ड टिप
77/210 = 11/30। 30 में 3 है, इसलिए असांत आवर्ती। 210 में 7 और 3 दोनों थे।
समझ जाँचोसब सही = महारत ★
1
बिना विभाजन के 17/8 का दशमलव है —
💡 संकेत:
8 = 2³।
समझो:
हर 2³ है, इसलिए सांत। 17/8 = 2.125।
2
64/455 का दशमलव सांत है।
समझो:
गलत — 455 = 5×7×13। 7 और 13 बचते हैं, इसलिए असांत आवर्ती।
3
सांत दशमलव के सरलतम हर में केवल अभाज्य ______ और 5 होते हैं।
💡 संकेत:
10 = 2×5।
समझो:
2 और 5।
4
0.120120012000120000… है —
💡 संकेत:
शून्यों की गिनती बढ़ती जाती है।
समझो:
न रुकता है न एक ब्लॉक दोहराता है, इसलिए अपरिमेय।
5
13/3125, 29/343 और 35/50 में से कौन सांत हैं? कारण के साथ दशमलव या प्रकार लिखो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
3125 = 5⁵, इसलिए 13/3125 सांत है और 0.00416 है। 343 = 7³, इसलिए 29/343 असांत आवर्ती है। 35/50 = 7/10, हर 2×5 है, इसलिए सांत है और दशमलव 0.7 है।
अपना उत्तर जाँचो:
❓ पूरा प्रश्न बैंक — उत्तर व व्याख्या सहित — 65 प्रश्न
प्रकार चुनो। पाठों के 35 जाँच-प्रश्न अलग हैं — हर पाठ में जितने उसके विषय माँगते हैं। सब सही होने पर महारत ★ मिलती है।
BSEB मॉडलअभ्यास · वार्षिक नहीं60 किए · 0 सहीबहुविकल्पीMCQ120 किए · 0 सहीसही / गलतसही-गलत80 किए · 0 सहीरिक्त स्थानरिक्त स्थान80 किए · 0 सहीमिलान करोमिलान20 किए · 0 सहीअभिकथन-कारणअभिकथन-कारण50 किए · 0 सहीसमीकरण संतुलनसंतुलन40 किए · 0 सहीअभिक्रिया पहचानपहचान20 किए · 0 सहीलघु / दीर्घ उत्तरीयअति लघु, लघु, दीर्घ120 किए · 0 सहीCBSE-शैलीPYQ नहीं60 किए · 0 सही
कोई भी प्रश्न «सत्यापित PYQ» नहीं है। BSEB वाला सेट मॉडल अभ्यास है। CBSE वाले प्रश्न CBSE-शैली हैं, किसी वर्ष के पेपर की प्रति नहीं।
बहुविकल्पी
0/12एक विकल्प चुनो।
1
a = bq + r में r पर सही शर्त है —
💡 संकेत:
शेष भाजक से छोटा और ऋणात्मक नहीं।
समझो:
0 ≤ r < b।
2
225 और 135 का HCF है —
💡 संकेत:
यूक्लिड की तीसरी पंक्ति।
समझो:
HCF = 45।
3
616 और 32 का HCF है —
💡 संकेत:
616 = 32×19 + 8।
समझो:
8 कॉलम।
4
धनात्मक पूर्णांक का वर्ग नहीं हो सकता —
💡 संकेत:
तीनों रूपों का वर्ग देखो।
समझो:
3m+2 नहीं बनता।
5
140 = —
💡 संकेत:
हर गुणनखंड अभाज्य हो।
समझो:
2²×5×7।
6
6ⁿ का अंतिम अंक 0 नहीं होता क्योंकि —
💡 संकेत:
अंत का 0 मतलब 2×5।
समझो:
6ⁿ = 2ⁿ×3ⁿ में 5 नहीं।
7
HCF(306, 657) = 9 हो तो LCM है —
💡 संकेत:
गुणनफल को HCF से बाँटो।
समझो:
22338।
8
26 और 91 पर HCF × LCM बराबर है —
💡 संकेत:
दो संख्याओं का नियम।
समझो:
13×182 = 26×91।
9
12, 15, 21 का LCM है —
💡 संकेत:
सबसे बड़ी घातों का गुणनफल।
समझो:
2²×3×5×7 = 420।
10
√2 अपरिमेय सिद्ध करने का विरोध यह है कि —
💡 संकेत:
सह-अभाज्य मान टूटता है।
समझो:
दोनों 2 से भाज्य हो जाते हैं।
11
17/8 का दशमलव —
💡 संकेत:
8 = 2³।
समझो:
सांत है, 2.125।
12
77/210 सरल करने के बाद हर में बचता है —
💡 संकेत:
77/210 = 11/30।
समझो:
30 = 2×3×5 में 3 है, इसलिए असांत आवर्ती।
सही / गलत
0/81
यूक्लिड की प्रमेयिका में शेष ऋणात्मक हो सकता है।
समझो:
गलत — 0 ≤ r < b।
2
38220 और 196 का HCF 196 है।
समझो:
सही — 196, 38220 को पूरा बाँटता है।
3
4ⁿ किसी प्राकृतिक n पर अंक 0 पर समाप्त हो सकता है।
समझो:
गलत — गुणनखंड में 5 नहीं है।
4
510 और 92 का HCF 2 है।
समझो:
सही — 510 = 2×3×5×17 और 92 = 2²×23।
5
3 + 2√5 परिमेय है।
समझो:
गलत — ऐसा मानने पर √5 परिमेय हो जाता।
6
13/3125 का दशमलव सांत है।
समझो:
सही — 3125 = 5⁵।
7
0.120120012000… एक आवर्ती परिमेय है।
समझो:
गलत — शून्यों की संख्या बढ़ती है, ब्लॉक नहीं दोहराता।
8
18 और 12 का LCM 36 है।
समझो:
सही — 2²×3² = 36।
रिक्त स्थान
0/81
यूक्लिड: a = ______ + r।
💡 संकेत:
a = bq + r।
समझो:
भागफल q है।
2
135 और 225 का HCF ______ है।
💡 संकेत:
45।
समझो:
आखिरी भाजक।
3
156 = 2² × 3 × ______।
💡 संकेत:
13।
समझो:
156÷12 = 13।
4
दो संख्याओं पर LCM = गुणनफल / ______।
💡 संकेत:
HCF।
समझो:
केवल दो संख्याओं पर।
5
यदि अभाज्य p, a² को बाँटे तो p, ______ को बाँटता है।
💡 संकेत:
a।
समझो:
वर्ग से संख्या पर।
6
सांत दशमलव का हर 2ⁿ ______ के रूप का होता है।
💡 संकेत:
5ᵐ।
समझो:
दूसरी अभाज्य 5 है।
7
35/50 का सांत दशमलव ______ है।
💡 संकेत:
0.7।
समझो:
7/10।
8
7429 = 17 × 19 × ______।
💡 संकेत:
23।
समझो:
17×19 = 323।
मिलान करो
0/21
कथन को उसके अर्थ से मिलाओ।
स्तंभ B: A. अभाज्य गुणनखंड अद्वितीय · B. a = bq + r · C. हर = 2ⁿ5ᵐ · D. शेष 0 तक HCF
1. प्रमेयिका
2. एल्गोरिथ्म
3. आधारभूत प्रमेय
4. सांत दशमलव
समझो:
प्रमेयिका एक विभाजन है, एल्गोरिथ्म HCF है, प्रमेय अद्वितीय गुणनखंड है, सांत का हर 2ⁿ5ᵐ है।
2
संख्या को उसके दशमलव प्रकार से मिलाओ।
स्तंभ B: A. सांत · B. असांत आवर्ती · C. अपरिमेय · D. असांत आवर्ती परिमेय
1. 17/8
2. 1/3
3. √2
4. 22/7
समझो:
17/8 सांत है, 1/3 दोहराता है, √2 अपरिमेय है, 22/7 आवर्ती परिमेय है।
अभिकथन–कारण
0/5पहले दोनों कथन जाँचो।
1
अभिकथन (A): 135 और 225 का HCF 45 है।
कारण (R): 225 = 135×1 + 90, 135 = 90×1 + 45 और 90 = 45×2 + 0।
समझो:
दोनों सही हैं और R वही गणना है जो A बताती है।
2
अभिकथन (A): 6ⁿ का अंत 0 नहीं होता।
कारण (R): दो संख्याओं पर HCF × LCM उनके गुणनफल के बराबर होता है।
समझो:
दोनों सही हैं, पर R, A की व्याख्या नहीं है। A का कारण गुणनखंड में 5 का न होना है।
3
अभिकथन (A): 13/3125 का दशमलव सांत है।
कारण (R): 3125 का एक गुणनखंड 7 है।
समझो:
A सही है क्योंकि 3125 = 5⁵। R गलत है।
4
अभिकथन (A): तीन संख्याओं पर HCF × LCM हमेशा तीनों के गुणनफल के बराबर होता है।
कारण (R): दो संख्याओं पर HCF × LCM उन दोनों के गुणनफल के बराबर होता है।
समझो:
A गलत है। R सही है।
5
अभिकथन (A): √5 अपरिमेय है।
कारण (R): √5 = a/b मानने पर a और b दोनों 5 से भाज्य हो जाते हैं।
समझो:
दोनों सही हैं और R, A का प्रमाण है।
गुणांक अभ्यास
0/4यह गुणांक अभ्यास है। यह इस गणित अध्याय का परिणाम नहीं है। पानी और कार्बन डाइऑक्साइड बनने के छोटे समीकरण हैं।
1
यह गुणांक अभ्यास है, इस गणित अध्याय का परिणाम नहीं। पानी बनने का समीकरण संतुलित करो। गुणांक केवल गुणांक की जगह लिखो।
H2 + O2 → H2O
समझो: 2H2 + O2 → 2H2O
2
यह गुणांक अभ्यास है, इस गणित अध्याय का परिणाम नहीं। कार्बन से कार्बन डाइऑक्साइड बनने का समीकरण संतुलित करो।
C + O2 → CO2
समझो: C + O2 → CO2
3
यह गुणांक अभ्यास है, इस गणित अध्याय का परिणाम नहीं। कार्बन मोनोऑक्साइड से कार्बन डाइऑक्साइड बनने का समीकरण संतुलित करो।
CO + O2 → CO2
समझो: 2CO + O2 → 2CO2
4
यह गुणांक अभ्यास है, इस गणित अध्याय का परिणाम नहीं। मीथेन के जलने पर कार्बन डाइऑक्साइड और पानी बनते हैं। समीकरण संतुलित करो।
CH4 + O2 → CO2 + H2O
समझो: CH4 + 2O2 → CO2 + 2H2O
वर्गीकरण
0/21
हर संख्या को सांत, असांत आवर्ती या अपरिमेय में रखो।
1/2
1/3
√2
7/8
समझो:
1/2 और 7/8 सांत हैं। 1/3 दोहराता है। √2 अपरिमेय है।
2
हर कथन को प्रमेयिका या एल्गोरिथ्म में रखो।
a = bq + r
0 ≤ r < b
शेष 0 तक दोहराओ
HCF(a, b) = HCF(b, r)
समझो:
पहली दो पंक्तियाँ प्रमेयिका हैं। आखिरी दो एल्गोरिथ्म हैं।
अति लघु उत्तरीय
0/51
यूक्लिड की विभाजन प्रमेयिका एक पंक्ति में लिखो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
धनात्मक पूर्णांक a, b पर a = bq + r, जहाँ 0 ≤ r < b।
अपना उत्तर जाँचो:
2
196 और 38220 का HCF क्या है? एक कारण लिखो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
196, क्योंकि 38220 = 196×195 + 0।
अपना उत्तर जाँचो:
3
दो संख्याओं पर HCF और LCM का संबंध लिखो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
HCF × LCM = दोनों संख्याओं का गुणनफल।
अपना उत्तर जाँचो:
4
सांत दशमलव के हर का रूप लिखो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
सरलतम रूप में हर 2ⁿ5ᵐ होता है।
अपना उत्तर जाँचो:
5
7×6×5×4×3×2×1 + 5 भाज्य क्यों है?
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
5(7×6×4×3×2×1 + 1) = 5×1009। दोनों गुणनखंड 1 से बड़े हैं।
अपना उत्तर जाँचो:
लघु उत्तरीय
0/41
510 और 92 का HCF और LCM निकालो और जाँच लिखो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
510 = 2×3×5×17, 92 = 2²×23। HCF = 2, LCM = 2²×3×5×17×23 = 23460। जाँच: 2×23460 = 510×92 = 46920।
अपना उत्तर जाँचो:
2
दिखाओ कि 6 + √2 अपरिमेय है।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
मान लो 6 + √2 परिमेय है। तब √2 = वह परिमेय − 6, जो परिमेय हुआ। यह √2 के अपरिमेय होने से टकराता है।
अपना उत्तर जाँचो:
3
8, 9 और 25 का HCF और LCM अभाज्य गुणनखंड से लिखो। गुणनफल वाला नियम यहाँ क्यों नहीं लगाना?
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
8 = 2³, 9 = 3², 25 = 5²। HCF = 1, LCM = 2³×3²×5² = 1800। तीन संख्याओं पर HCF × LCM तीनों के गुणनफल के बराबर नहीं होता।
अपना उत्तर जाँचो:
4
6/15 और 129/(2²×5⁷×7) के दशमलव का प्रकार कारण सहित लिखो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
6/15 = 2/5, हर 5 है, इसलिए सांत और दशमलव 0.4। दूसरे हर में 7 है, इसलिए असांत आवर्ती।
अपना उत्तर जाँचो:
दीर्घ उत्तरीय
0/31
यूक्लिड के एल्गोरिथ्म से 867 और 255 का HCF निकालो। फिर बताओ कि यही संख्या परेड वाले प्रश्न में क्या भूमिका निभाती। 616 और 32 का HCF भी निकालो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
867 = 255×3 + 102, 255 = 102×2 + 51, 102 = 51×2 + 0, अतः HCF = 51। परेड में सबसे बड़े कॉलम HCF होते हैं। 616 = 32×19 + 8, 32 = 8×4 + 0, अतः 8 कॉलम।
अपना उत्तर जाँचो:
2
√5 अपरिमेय सिद्ध करो। इसी के सहारे 3 + 2√5 अपरिमेय सिद्ध करो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
मान लो √5 = a/b सह-अभाज्य है। a² = 5b² से 5, a को बाँटता है। a = 5k रखने पर 5, b को भी बाँटता है। विरोध। अब 3 + 2√5 परिमेय हो तो √5 = (परिमेय − 3)/2 परिमेय हो जाएगा, जो पहले परिणाम से टकराता है।
अपना उत्तर जाँचो:
3
सांत और असांत आवर्ती का नियम लिखो। 15/1600 और 64/455 पर लगाओ। 15/1600 का दशमलव निकालो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
सरलतम हर 2ⁿ5ᵐ हो तो सांत, अन्यथा असांत आवर्ती। 15/1600 = 3/320 और 320 = 2⁶×5, इसलिए सांत। 3×5⁵/10⁶ = 0.009375। 455 = 5×7×13 में 7 और 13 हैं, इसलिए 64/455 असांत आवर्ती है।
अपना उत्तर जाँचो:
BSEB मॉडल प्रश्न-पत्र · अभ्यास
0/6यह मॉडल सेट अभ्यास के लिए है। किसी वर्ष की वार्षिक परीक्षा का प्रश्न नहीं है।
1
परेड में 616 और 32 के सबसे अधिक कॉलम हैं —
💡 संकेत:
HCF लो।
समझो:
8।
2
3825 का एक अभाज्य गुणनखंड है —
💡 संकेत:
3825 = 3²×5²×17।
समझो:
17 अभाज्य है।
3
LCM(18, 12) = ______ मिनट।
💡 संकेत:
36।
समझो:
सोनिया और रवि।
4
किसी धनात्मक विषम पूर्णांक के तीन रूप लिखो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
6q+1, 6q+3 और 6q+5, जहाँ q एक पूर्णांक है।
अपना उत्तर जाँचो:
5
यह गुणांक अभ्यास है, इस गणित अध्याय का परिणाम नहीं। पानी बनने वाला समीकरण संतुलित करो।
H2 + O2 → H2O
समझो: 2H2 + O2 → 2H2O
6
यूक्लिड से 135 और 225 का HCF लिखो। फिर HCF(306, 657) = 9 से LCM निकालो। तीन संख्याओं वाली सावधानी एक पंक्ति में जोड़ो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
225 = 135×1 + 90, 135 = 90×1 + 45, 90 = 45×2 + 0, HCF = 45। LCM = 306×657/9 = 22338। तीन संख्याओं पर HCF × LCM उनके गुणनफल के बराबर नहीं होता।
अपना उत्तर जाँचो:
CBSE-शैली प्रश्न
0/6ये योग्यता-आधारित अभ्यास प्रश्न हैं। किसी पिछले प्रश्नपत्र की प्रति नहीं हैं।
1
एक छात्र ने 17 = 5×2 + 7 लिखा। गलती है —
💡 संकेत:
r < b चाहिए।
समझो:
7 > 5, इसलिए यह प्रमेयिका का रूप नहीं है। सही लेख 17 = 5×3 + 2 है।
2
एक दुकानदार 6ⁿ डिब्बे इस तरह रखना चाहता है कि आखिरी पंक्ति 10 की पूरी हो। यह —
💡 संकेत:
पूरे 10 का अर्थ अंत में 0।
समझो:
6ⁿ में 5 नहीं है, इसलिए 10 से विभाज्य नहीं।
3
अभिकथन (A): 15/1600 का दशमलव सांत है।
कारण (R): काटने से पहले हर में 3 दिखे तो दशमलव हमेशा असांत होता है।
समझो:
A सही है, 15/1600 = 3/320 = 0.009375। R गलत है, क्योंकि 3 कट जाता है और हर 2⁶×5 रह जाता है।
4
अभिकथन (A): दो बसें 18 और 12 मिनट के अंतर पर उसी स्टॉप से छूटती हैं। वे 36 मिनट बाद फिर साथ छूटेंगी।
कारण (R): अगली साथ की छूट दोनों अंतरालों का LCM है।
समझो:
दोनों सही हैं और R, A की व्याख्या है।
5
एक छात्र कहता है कि 12, 15 और 21 का LCM = 12×15×21 / HCF है। संख्याएँ रखकर दिखाओ कि यह कहाँ टूटता है, और सही LCM लिखो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
HCF = 3। 12×15×21 / 3 = 1260, पर 1260 इनका LCM नहीं है। अभाज्य घातों से LCM = 2²×3×5×7 = 420। तीन संख्याओं पर दो वाला सूत्र नहीं चलता।
अपना उत्तर जाँचो:
6
कैशियर को 867 और 255 रुपए के दो बंडल एक जैसी सबसे बड़ी गड्डियों में बाँटने हैं। गड्डी का आकार और गड्डियों की संख्या निकालो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
पाइल का आकार HCF = 51 रुपए है। 867/51 = 17 गड्डियाँ और 255/51 = 5 गड्डियाँ। कुल 22 गड्डियाँ।
अपना उत्तर जाँचो:
🏛️ बोर्ड परीक्षा कॉर्नर — बिहार बोर्ड (BSEB)— CBSE
ऊपर «BSEB | CBSE» से बोर्ड बदलो। पाठ वही NCERT है।
BSEB मॉडल · अभ्यासबोर्ड टिप
इस पेज पर वार्षिक परीक्षा का सत्यापित प्रश्न नहीं है, क्योंकि स्रोत पृष्ठ नहीं जोड़ा गया। नीचे मॉडल सेट बोर्ड के पैटर्न पर अभ्यास के लिए है।
सत्यापित लेबल तभी लगेगा जब प्रश्न का स्रोत पृष्ठ उपलब्ध हो।
CBSE-शैली · योग्यता-आधारित
ये केस और अभिकथन-कारण अभ्यास हैं। इन्हें CBSE का पुराना प्रश्न मत समझो।
🔁 स्पेस्ड रिव्यू — आज के प्रश्न
गलत प्रश्न जल्दी लौटते हैं, सही वाले कुछ दिन बाद।
🧠 आपने क्या सीखा + समीकरण-पत्रक
आपने क्या सीखा
- यूक्लिड: a = bq + r, जहाँ 0 ≤ r < b।
- HCF वही आखिरी भाजक है जिस पर शेष शून्य हो जाता है।
- हर भाज्य संख्या का अभाज्य गुणनखंड क्रम छोड़कर अद्वितीय है।
- दो संख्याओं पर HCF × LCM = दोनों का गुणनफल।
- अभाज्य p यदि a² को बाँटे तो p, a को भी बाँटता है। इसी से √2 और √5 अपरिमेय हैं।
- सांत दशमलव का हर 2ⁿ5ᵐ रूप का होता है। अन्यथा परिमेय दशमलव असांत आवर्ती है।
| क्या | याद रखने लायक |
|---|---|
| प्रमेयिका | a = bq + r, 0 ≤ r < b |
| HCF के कदम | HCF(a, b) = HCF(b, r) |
| दो संख्याएँ | HCF × LCM = product |
| अभाज्य और वर्ग | p | a² ⇒ p | a |
| सांत दशमलव | q = 2ⁿ5ᵐ |
| असांत आवर्ती | q has another prime |
नोट्स मूल लेखन हैं। पाठ्यपुस्तक केवल क्रम और क्रियाकलाप-संख्या के लिए संदर्भ है। «सत्यापित» केवल स्रोत पृष्ठ वाले प्रश्न पर लिखा जाएगा।