1
अनुपात 3:2 के लिए किरण पर बराबर बिंदु हैं —
💡 संकेत:
3 जोड़ 2।
समझो:
5।
कक्षा 10 · गणित · अध्याय 11 · बिहार बोर्ड (BSEB)CBSE · NCERT 2026-27
रचनाएँ
Constructions
इस पेज को ऐसे पढ़ो:
1. पढ़ो — रेखाखंड का विभाजन · समरूप त्रिभुज · बाह्य स्पर्श रेखाएँ · प्रश्नावली 11.1 और 11.2, चित्र, हल उदाहरण, बोर्ड टिप
2. जाँचो — हर पाठ के अपने प्रश्न; संख्या पाठ के हिसाब से
3. महारत ★ — उस पाठ के सब सही। गलत वाले «दोबारा करो»
4. याद रखने वाला चित्र किरण पर बराबर बिंदुओं और समांतर रेखा से रेखाखंड के 3:2 विभाजन को दिखाता है।
यह बिहार की किताब का अध्याय 11 है और NCERT की 14-अध्याय किताब में नहीं है; NCERT का अध्याय 11 वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल है। प्रगति इसी ब्राउज़र में सेव रहती है।
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- 1 रचना और उसका औचित्य
- 2 एक किरण से अनुपात
- 3 दो समांतर किरणें
- 4 छोटा समरूप त्रिभुज
- 5 बड़ा समरूप त्रिभुज
- 6 बाह्य बिंदु से दो स्पर्श रेखाएँ
- 7 शेष स्पर्श रेखाएँ
- अध्याय-विजेता — सभी पाठ महारत ★
🎬 Shorts
इस अध्याय का कोई Short अभी चैनल पर नहीं है, इसलिए दस खाली कार्ड नहीं दिखाए गए। नोट्स, चित्र और जाँच-प्रश्न पूरे हैं।
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रचना और उसका औचित्य
A construction and its justification · बिहार 11.1 · कक्षा 9 की रचनाएँ आगे चलती हैं
पैमाना नहीं, परकार और पटरीनोट्स
कक्षा 9 में कोण समद्विभाजक, लंब समद्विभाजक और त्रिभुज की रचनाएँ हो चुकी हैं। यह अध्याय उसी औजार से तीन नए काम जोड़ता है।
हर रचना के साथ यह लिखना है कि वह सही क्यों है। किताब प्रश्नावली 11.1 और 11.2 दोनों पर औचित्य माँगती है। NCERT 2026-27 की 14-अध्याय किताब में यह अध्याय नहीं छपा है।
तीन काम, इसी क्रम मेंक्रियाकलाप
पहले रेखाखंड को दिए अनुपात में बाँटो। फिर दिए त्रिभुज का समरूप त्रिभुज बनाओ, मापनी गुणक 1 से छोटा या बड़ा। अंत में बाह्य बिंदु से वृत्त की दो स्पर्श रेखाएँ खींचो। चतुर्भुज या बहुभुज का समरूप आकार भी इन्हीं कदमों से बन सकता है, पर उसकी अलग प्रश्नावली नहीं है।
हल किया हुआ उदाहरणउदाहरण
प्रश्न: अनुपात 3:2 के लिए किरण पर कितने बराबर बिंदु चाहिए?
सूत्र: बिंदुओं की संख्या = m + n।
प्रतिस्थापन: m = 3, n = 2। 3 + 2 = 5।
उत्तर: 5 बिंदु। समांतर रेखा तीसरे बिंदु से जाती है।
10-सेकंड रिवीजन
- औजार परकार और पटरी हैं
- m:n के लिए m+n बिंदु
- हर उत्तर में औचित्य लिखो
बोर्ड टिप · BSEBबोर्ड टिप
BSEB में केवल चित्र पर्याप्त नहीं। एक वाक्य में प्रमेय का नाम लिखो।
बोर्ड टिप · CBSEबोर्ड टिप
CBSE की 2026-27 किताब में यह अध्याय नहीं है। बिहार के पेपर में यह अध्याय 11 है।
समझ जाँचोसब सही = महारत ★
2
इस अध्याय की प्रश्नावलियों में औचित्य नहीं माँगा जाता।
समझो:
गलत — दोनों प्रश्नावलियाँ औचित्य माँगती हैं।
3
अनुपात m:n में बिंदुओं की संख्या ______ है।
💡 संकेत:
दोनों पूर्णांक जोड़ो।
समझो:
m+n।
4
NCERT 2026-27 का अध्याय 11 है —
💡 संकेत:
रचनाएँ उस किताब में नहीं हैं।
समझो:
वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल।
5
इस अध्याय के तीन काम क्रम से लिखो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
रेखाखंड को अनुपात में बाँटना, दिए मापनी गुणक का समरूप त्रिभुज, बाह्य बिंदु से दो स्पर्श रेखाएँ।
अपना उत्तर जाँचो:
एक किरण से अनुपात
The ratio with one ray · रचना 11.1 · प्रश्नावली 11.1 का प्रश्न 1
तीसरा बिंदु, पाँच में सेनोट्स
AB खींचो। A से एक न्यून कोण की किरण AX लो। उस पर m+n बराबर चाप काटो। अंतिम बिंदु को B से जोड़ो। m-वें बिंदु से उसी दिशा में समांतर खींचो। वह AB को C पर काटती है।
3:2 में पाँच बिंदु हैं और समांतर A3 से जाती है। AC:CB = 3:2। औचित्य: समांतर रेखा आधारभूत आनुपातिकता प्रमेय से किरण और रेखाखंड को एक ही अनुपात में काटती है। बराबर चापों से AA3:A3A5 = 3:2।
प्रश्न 1 पर 13 चापक्रियाकलाप
लंबाई 7.6 सेमी और अनुपात 5:8 है। किरण पर 13 बराबर चाप काटो। तेरहवें को B से जोड़ो। पाँचवें से समांतर खींचो। नाप से जाँच करो, पर उत्तर में भाग का हिसाब भी लिखो।
हल किया हुआ उदाहरणउदाहरण
प्रश्न: 7.6 सेमी के खंड को 5:8 में बाँटो। दोनों भाग।
सूत्र: भाग = (हिस्सा / m+n) × लंबाई।
प्रतिस्थापन: (5/13)×7.6 = 38/13 सेमी। (8/13)×7.6 = 60.8/13 सेमी।
उत्तर: 38/13 सेमी और 60.8/13 सेमी। योग 7.6 सेमी।
10-सेकंड रिवीजन
- 5:8 के लिए 13 बिंदु
- समांतर पाँचवें बिंदु से
- 38/13 सेमी और 60.8/13 सेमी
बोर्ड टिप · BSEBबोर्ड टिप
BSEB में 13 चाप बराबर दिखें। परकार एक ही खोल पर रखो।
बोर्ड टिप · CBSEबोर्ड टिप
CBSE की वर्तमान किताब यह प्रश्न नहीं पूछती। बिहार में भाग का नाप और औचित्य दोनों लिखो।
समझ जाँचोसब सही = महारत ★
1
7.6 सेमी को 5:8 में बाँटने पर किरण के बिंदु हैं —
💡 संकेत:
5 जोड़ 8।
समझो:
13।
2
अनुपात 5:8 में समांतर रेखा आठवें बिंदु से खींची जाती है।
समझो:
गलत — पाँचवें बिंदु से।
3
7.6 सेमी के 5:8 विभाजन में बड़ा भाग ______ सेमी है।
💡 संकेत:
(8/13)×7.6।
समझो:
60.8/13 सेमी।
4
3:2 वाली रचना का औचित्य दो पंक्तियों में लिखो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
A3C, A5B के समांतर है। आधारभूत आनुपातिकता से AC:CB = AA3:A3A5 = 3:2।
अपना उत्तर जाँचो:
दो समांतर किरणें
Two parallel rays · रचना 11.1 का दूसरा तरीका
A पर m बिंदु, B पर n बिंदुनोट्स
दूसरा तरीका एक जोड़ से काम चलाता है। AX को AB से न्यून कोण पर खींचो। B से BY को AX के समांतर खींचो, बराबर संगत कोण बनाकर।
AX पर m बराबर चाप और BY पर n बराबर चाप काटो। अंतिम बिंदुओं को जोड़ो। जोड़ AB को C पर काटता है। 3:2 में AX पर तीन और BY पर दो चाप। त्रिभुज AA3C और BB2C समरूप हैं, क्योंकि किरणें समांतर हैं और C पर शीर्षाभिमुख कोण बराबर हैं। इसलिए AC:CB = 3:2।
दोनों तरीके एक ही C देते हैंक्रियाकलाप
पहला तरीका एक किरण पर m+n बिंदु रखता है। दूसरा तरीका बिंदुओं को दो किरणों में बाँटता है। अनुपात वही रहता है। उत्तर में बताओ कि कौन सा तरीका चुना।
हल किया हुआ उदाहरणउदाहरण
प्रश्न: दूसरे तरीके से AB को 3:2 में बाँटो। चाप कितने-कितने?
सूत्र: AX पर m चाप, BY पर n चाप।
प्रतिस्थापन: m = 3, n = 2।
उत्तर: AX पर 3, BY पर 2। A3B2, AB को 3:2 में काटता है।
10-सेकंड रिवीजन
- BY, AX के समांतर है
- चाप 3 और 2
- समरूप त्रिभुज अनुपात देते हैं
बोर्ड टिप · BSEBबोर्ड टिप
BSEB में संगत कोण की नकल दिखाओ, वरना किरणें समांतर नहीं मानी जाएँगी।
बोर्ड टिप · CBSEबोर्ड टिप
CBSE की वर्तमान किताब यह रचना नहीं रखती। बिहार में समरूपता का एक कारण लिखो।
समझ जाँचोसब सही = महारत ★
1
दूसरे तरीके में 3:2 के लिए BY पर चाप हैं —
💡 संकेत:
n = 2।
समझो:
2।
2
दूसरे तरीके में BY को AX के समांतर खींचा जाता है।
समझो:
सही।
3
3:2 के दूसरे तरीके में AX पर चाप ______ हैं।
💡 संकेत:
m = 3।
समझो:
3।
4
A3B2 अनुपात इसलिए देता है क्योंकि त्रिभुज —
💡 संकेत:
भुजाएँ बराबर नहीं, अनुपात बराबर है।
समझो:
समरूप हैं।
5
दूसरा तरीका पहला तरीका से अलग अनुपात देता है।
समझो:
गलत — दोनों 3:2 देते हैं।
6
दूसरे तरीके की समरूपता का एक कारण लिखो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
AX ∥ BY होने से संगत कोण बराबर हैं, और C पर शीर्षाभिमुख कोण बराबर हैं। इसलिए त्रिभुज AA3C ~ त्रिभुज BB2C।
अपना उत्तर जाँचो:
छोटा समरूप त्रिभुज
A smaller similar triangle · रचना 11.2 · गुणक 1 से छोटा · प्रश्न 2 और 5
बड़ी संख्या जितने बिंदु, छोटी संख्या पर समांतरनोट्स
मापनी गुणक नई भुजा और दी हुई भुजा का अनुपात है। 3/4 का अर्थ है कि नया त्रिभुज छोटा है। BC के दूसरी ओर, A के विपरीत, न्यून कोण की किरण BX लो।
4 बिंदु काटो, क्योंकि 4 बड़ी संख्या है। B4 को C से जोड़ो। B3 से समांतर खींचकर BC पर C′ लो। C′ से CA के समांतर खींचकर BA पर A′ लो। त्रिभुज A′BC′ की हर भुजा दिए त्रिभुज की 3/4 है। BC′:BC = 3:4, और CA के समांतर होने से कोण बराबर हैं, इसलिए त्रिभुज समरूप हैं।
प्रश्न 2 और प्रश्न 5 दोनों छोटे हैंक्रियाकलाप
प्रश्न 2 में भुजाएँ 4, 5 और 6 सेमी हैं और गुणक 2/3 है। तीन बिंदु काटो, दूसरे से समांतर। प्रश्न 5 में BC = 6 सेमी, AB = 5 सेमी, कोण B = 60 डिग्री, गुणक 3/4। चार बिंदु, तीसरे से समांतर। कोसाइन नियम से तीसरी भुजा √31 सेमी आती है, फिर उसे भी 3/4 करो।
हल किया हुआ उदाहरणउदाहरण
प्रश्न: भुजाएँ 4, 5, 6 सेमी। नई भुजाएँ 2/3।
सूत्र: नई भुजा = गुणक × दी हुई भुजा।
प्रतिस्थापन: (2/3)×4 = 8/3 सेमी, (2/3)×5 = 10/3 सेमी, (2/3)×6 = 4 सेमी।
उत्तर: 8/3 सेमी, 10/3 सेमी और 4 सेमी।
10-सेकंड रिवीजन
- 3/4 के लिए 4 बिंदु
- समांतर तीसरे बिंदु से, भुजा के अंदर
- 2/3 पर नई भुजाएँ 8/3, 10/3, 4 सेमी
बोर्ड टिप · BSEBबोर्ड टिप
BSEB में A′ और C′ दोनों दिखाओ। केवल एक समांतर अधूरी रचना है।
बोर्ड टिप · CBSEबोर्ड टिप
CBSE की वर्तमान किताब यह रचना नहीं पूछती। बिहार में गुणक को भुजाओं के अनुपात के रूप में लिखो।
समझ जाँचोसब सही = महारत ★
1
गुणक 3/4 के लिए किरण पर बिंदु हैं —
💡 संकेत:
बड़ी संख्या।
समझो:
4।
2
6 सेमी भुजा का 2/3 भाग ______ सेमी है।
💡 संकेत:
(2/3)×6।
समझो:
4 सेमी।
3
गुणक 3/4 वाला नया त्रिभुज दिए त्रिभुज से बड़ा होता है।
समझो:
गलत — 3/4 एक से छोटा है।
4
प्रश्न 5 में कोण B है —
💡 संकेत:
BC = 6 सेमी, AB = 5 सेमी।
समझो:
60°।
5
भुजाएँ 5 सेमी और 6 सेमी, कोण 60 डिग्री। तीसरी भुजा और उसका 3/4 लिखो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
कोसाइन नियम: AC² = 25+36−2×5×6×1/2 = 31। AC = √31 सेमी। नया भाग (3/4)√31 सेमी।
अपना उत्तर जाँचो:
बड़ा समरूप त्रिभुज
A larger similar triangle · रचना 11.2 का दूसरा हाल · प्रश्न 3, 4, 6, 7
छोटी संख्या को C से जोड़ोनोट्स
गुणक 1 से बड़ा हो तो नया त्रिभुज दिए त्रिभुज के बाहर निकलता है। 5/3 में पाँच बिंदु काटो। छोटी संख्या 3 है, इसलिए B3 को C से जोड़ो।
B5 से B3C के समांतर खींचो। वह BC के बढ़ाव को C′ पर काटती है। C′ से CA के समांतर, BA के बढ़ाव पर A′ तक। BC′:BC = 5:3। प्रश्न 3 का गुणक 7/5 है, प्रश्न 4 का 3/2, प्रश्न 6 का 4/3, प्रश्न 7 का 5/3। चारों में यही बाहरी कदम है।
कोणों से तीसरा कोण पहले निकालोक्रियाकलाप
प्रश्न 6 में कोण B = 45 डिग्री और कोण A = 105 डिग्री। तीसरा कोण 180−105−45 = 30 डिग्री। भुजा BC = 7 सेमी। गुणक 4/3 के लिए चार बिंदु काटो, तीसरे को C से जोड़ो, चौथे से समांतर बढ़ाव पर ले जाओ। प्रश्न 4 में आधार 8 सेमी और ऊँचाई 4 सेमी है। आधार का लंब समद्विभाजक ऊँचाई देता है।
हल किया हुआ उदाहरणउदाहरण
प्रश्न: समकोण त्रिभुज की भुजाएँ 4 सेमी और 3 सेमी। नया त्रिभुज 5/3।
सूत्र: कर्ण = √(आधार² + लंब²)। नई भुजा = (5/3) × पुरानी भुजा।
प्रतिस्थापन: कर्ण = √(16+9) = 5 सेमी। नई भुजाएँ (5/3)×4 = 20/3 सेमी, (5/3)×3 = 5 सेमी, (5/3)×5 = 25/3 सेमी।
उत्तर: 20/3 सेमी, 5 सेमी और 25/3 सेमी।
10-सेकंड रिवीजन
- 5/3 में B3 को C से जोड़ो
- समांतर रेखा बढ़ाव पर मिलती है
- प्रश्न 6 का तीसरा कोण 30 डिग्री
बोर्ड टिप · BSEBबोर्ड टिप
BSEB में बढ़ाव को हल्की रेखा से दिखाओ, ताकि C′ दिए त्रिभुज के बाहर दिखे।
बोर्ड टिप · CBSEबोर्ड टिप
CBSE की वर्तमान किताब यह रचना नहीं पूछती। बिहार में 1 से बड़े गुणक को छोटे गुणक वाले कदम से मत बदलो।
समझ जाँचोसब सही = महारत ★
1
गुणक 5/3 में C से जोड़ा जाता है —
💡 संकेत:
छोटी संख्या।
समझो:
तीसरा बिंदु।
2
प्रश्न 6 में कोण C, 30 डिग्री है।
समझो:
सही — 180−105−45।
3
प्रश्न 7 में नया कर्ण ______ सेमी है।
💡 संकेत:
(5/3)×5।
समझो:
25/3 सेमी।
4
प्रश्न 4 की मूल समान भुजा और नई आधार लंबाई लिखो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
आधार का आधा 4 सेमी और ऊँचाई 4 सेमी। समान भुजा √(16+16) = 4√2 सेमी। गुणक 3/2 से नया आधार (3/2)×8 = 12 सेमी।
अपना उत्तर जाँचो:
बाह्य बिंदु से दो स्पर्श रेखाएँ
Two tangents from an outside point · रचना 11.3 · प्रश्नावली 11.2 के प्रश्न 1 और 2
अर्धवृत्त का कोण 90 डिग्रीनोट्स
भीतरी बिंदु से कोई स्पर्श रेखा नहीं जाती। वृत्त पर स्थित बिंदु से एक स्पर्श रेखा जाती है, और वह त्रिज्या पर लंब होती है। बाह्य बिंदु से दो स्पर्श रेखाएँ जाती हैं।
O को P से जोड़ो। OP का मध्य M लो। M को केंद्र और MO को त्रिज्या मानकर वृत्त खींचो। वह दिए वृत्त को Q और R पर काटता है। PQ और PR स्पर्श रेखाएँ हैं। कोण PQO अर्धवृत्त में 90 डिग्री है, इसलिए PQ त्रिज्या OQ पर लंब है।
लंबाई नाप से पहले वर्गों के अंतर सेक्रियाकलाप
स्पर्श रेखा की लंबाई √(OP² − r²) होती है। प्रश्न 1 में r = 6 सेमी और बिंदु केंद्र से 10 सेमी दूर है। प्रश्न 2 में बिंदु एक संकेंद्रीय वृत्त पर है, जिसकी त्रिज्या 6 सेमी है, और दिए वृत्त की त्रिज्या 4 सेमी है। नाप को इसी हिसाब से जाँचो।
हल किया हुआ उदाहरणउदाहरण
प्रश्न: त्रिज्या 6 सेमी। बिंदु केंद्र से 10 सेमी दूर। स्पर्श रेखा की लंबाई।
सूत्र: लंबाई = √(OP² − r²)।
प्रतिस्थापन: √(10² − 6²) = √(100 − 36) = √64 = 8 सेमी।
उत्तर: 8 सेमी। दोनों स्पर्श रेखाएँ बराबर हैं।
10-सेकंड रिवीजन
- भीतर से शून्य, ऊपर से एक, बाहर से दो
- प्रश्न 1 की लंबाई 8 सेमी
- प्रश्न 2 की लंबाई 2√5 सेमी
बोर्ड टिप · BSEBबोर्ड टिप
BSEB में M को OP का मध्य लिखो। अर्धवृत्त वाला वाक्य औचित्य है।
बोर्ड टिप · CBSEबोर्ड टिप
CBSE की वर्तमान किताब यह रचना नहीं पूछती। बिहार में नाप के साथ √(OP² − r²) भी लिखो।
समझ जाँचोसब सही = महारत ★
1
त्रिज्या 6 सेमी और दूरी 10 सेमी पर स्पर्श रेखा है —
💡 संकेत:
√(100−36)।
समझो:
8 सेमी।
2
वृत्त के भीतर के बिंदु से दो स्पर्श रेखाएँ खींची जा सकती हैं।
समझो:
गलत — भीतर से एक भी नहीं।
3
संकेंद्रीय वृत्तों 4 सेमी और 6 सेमी पर स्पर्श रेखा ______ सेमी है।
💡 संकेत:
√(36−16)।
समझो:
2√5 सेमी।
4
रचना 11.3 में कोण PQO होता है —
💡 संकेत:
अर्धवृत्त।
समझो:
90°।
5
वृत्त पर स्थित बिंदु से ठीक एक स्पर्श रेखा होती है।
समझो:
सही।
6
प्रश्न 2 की लंबाई सूत्र, प्रतिस्थापन और इकाई के साथ निकालो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
लंबाई = √(OP² − r²)। OP = 6 सेमी, r = 4 सेमी। √(36−16) = √20 = 2√5 सेमी।
अपना उत्तर जाँचो:
शेष स्पर्श रेखाएँ
The remaining tangents · प्रश्नावली 11.2 के प्रश्न 3 से 7 · सारांश 11.4
केंद्र न दिया हो तो पहले केंद्रनोट्स
प्रश्न 3 में त्रिज्या 3 सेमी है। बढ़ाए हुए व्यास पर P और Q दोनों केंद्र से 7 सेमी दूर हैं। हर बिंदु से दो स्पर्श रेखाएँ खींचो। प्रश्न 4 में दो स्पर्श रेखाएँ आपस में 60 डिग्री पर झुकी हैं और त्रिज्या 5 सेमी है। आधा कोण 30 डिग्री है।
प्रश्न 7 में वृत्त चूड़ी से बना है, केंद्र नहीं दिया। दो असमांतर जीवाओं के लंब समद्विभाजक केंद्र पर मिलते हैं। उसके बाद वही बाह्य-बिंदु वाली रचना है। सारांश के तीन काम वही हैं: अनुपात, समरूप त्रिभुज, और स्पर्श रेखाओं का जोड़ा।
प्रश्न 5 और 6 में दूरी पहले तय करोक्रियाकलाप
प्रश्न 5 में AB = 8 सेमी। A पर त्रिज्या 4 सेमी का वृत्त और B पर त्रिज्या 3 सेमी का वृत्त। B से पहले वृत्त पर स्पर्श रेखा √(8²−4²) है। A से दूसरे वृत्त पर √(8²−3²) है। प्रश्न 6 में AB = 6, BC = 8 और कोण B = 90 डिग्री। B, C, D से गुजरने वाले वृत्त का व्यास BC है, क्योंकि D पर कोण 90 डिग्री है।
हल किया हुआ उदाहरणउदाहरण
प्रश्न: त्रिज्या 5 सेमी। स्पर्श रेखाएँ 60 डिग्री पर। लंबाई।
सूत्र: आधा कोण 30 डिग्री। tan 30° = 1/√3 = r / लंबाई।
प्रतिस्थापन: लंबाई = 5 × √3 = 5√3 सेमी। OP = r / sin 30° = 10 सेमी। जाँच: √(10²−5²) = √75 = 5√3 सेमी।
उत्तर: 5√3 सेमी।
10-सेकंड रिवीजन
- प्रश्न 3 की लंबाई 2√10 सेमी
- 60 डिग्री पर लंबाई 5√3 सेमी
- प्रश्न 6 में एक स्पर्श रेखा AB ही है, लंबाई 6 सेमी
बोर्ड टिप · BSEBबोर्ड टिप
BSEB में चूड़ी वाले प्रश्न पर पहले दो जीवाएँ और उनके लंब समद्विभाजक दिखाओ।
बोर्ड टिप · CBSEबोर्ड टिप
CBSE की वर्तमान किताब यह प्रश्नावली नहीं रखती। बिहार में दोनों स्पर्श रेखाओं की बराबर लंबाई लिखो।
समझ जाँचोसब सही = महारत ★
1
त्रिज्या 3 सेमी और दूरी 7 सेमी पर स्पर्श रेखा है —
💡 संकेत:
√(49−9)।
समझो:
√40 = 2√10 सेमी।
2
60 डिग्री पर झुकी स्पर्श रेखा की लंबाई ______ सेमी है, जब त्रिज्या 5 सेमी हो।
💡 संकेत:
tan 30° = 5 / लंबाई।
समझो:
5√3 सेमी।
3
चूड़ी वाले वृत्त का केंद्र दो समांतर जीवाओं से निकलता है।
समझो:
गलत — दो असमांतर जीवाओं के लंब समद्विभाजक।
4
प्रश्न 5 में B से त्रिज्या 4 सेमी वाले वृत्त पर स्पर्श रेखा है —
💡 संकेत:
√(64−16)।
समझो:
√48 = 4√3 सेमी।
5
प्रश्न 6 में स्पर्श रेखा 6 सेमी क्यों है? सूत्र और प्रतिस्थापन लिखो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
BC व्यास है, केंद्र BC का मध्य, त्रिज्या 4 सेमी। B(0,0), C(8,0), A(0,6) पर AM = √(16+36) = √52। लंबाई √(52−16) = √36 = 6 सेमी। AB स्वयं एक स्पर्श रेखा है।
अपना उत्तर जाँचो:
❓ पूरा प्रश्न बैंक — उत्तर व व्याख्या सहित — 65 प्रश्न
प्रकार चुनो। पाठों के 35 जाँच-प्रश्न अलग हैं — हर पाठ में जितने उसके विषय माँगते हैं। सब सही होने पर महारत ★ मिलती है।
BSEB मॉडलअभ्यास · वार्षिक नहीं60 किए · 0 सहीबहुविकल्पीMCQ120 किए · 0 सहीसही / गलतसही-गलत80 किए · 0 सहीरिक्त स्थानरिक्त स्थान80 किए · 0 सहीमिलान करोमिलान20 किए · 0 सहीअभिकथन-कारणअभिकथन-कारण50 किए · 0 सहीसमीकरण संतुलनसंतुलन40 किए · 0 सहीअभिक्रिया पहचानपहचान20 किए · 0 सहीलघु / दीर्घ उत्तरीयअति लघु, लघु, दीर्घ120 किए · 0 सहीCBSE-शैलीPYQ नहीं60 किए · 0 सही
कोई भी प्रश्न «सत्यापित PYQ» नहीं है। BSEB वाला सेट मॉडल अभ्यास है। CBSE वाले प्रश्न CBSE-शैली हैं, किसी वर्ष के पेपर की प्रति नहीं।
बहुविकल्पी
0/12एक विकल्प चुनो। गलत पर संकेत मिलेगा।
1
3:2 के लिए बिंदु हैं —
💡 संकेत:
m+n।
समझो:
5।
2
5:8 में समांतर यहाँ से जाती है —
💡 संकेत:
m = 5।
समझो:
पाँचवाँ बिंदु।
3
7.6 सेमी का बड़ा भाग है —
💡 संकेत:
8/13।
समझो:
60.8/13 सेमी।
4
गुणक 3/4 के बिंदु हैं —
💡 संकेत:
बड़ी संख्या।
समझो:
4।
5
गुणक 5/3 में C से जुड़ता है —
💡 संकेत:
छोटी संख्या।
समझो:
B3।
6
10 सेमी दूर, त्रिज्या 6 सेमी। लंबाई है —
💡 संकेत:
√64।
समझो:
8 सेमी।
7
संकेंद्रीय 6 और 4 पर लंबाई है —
💡 संकेत:
√20।
समझो:
2√5 सेमी।
8
60 डिग्री और त्रिज्या 5 सेमी पर लंबाई है —
💡 संकेत:
tan 30°।
समझो:
5√3 सेमी।
9
भीतरी बिंदु से स्पर्श रेखाएँ हैं —
💡 संकेत:
कोई रेखा वृत्त को एक बिंदु पर नहीं छूती।
समझो:
0।
10
अर्धवृत्त में कोण है —
💡 संकेत:
रचना 11.3।
समझो:
90°।
11
प्रश्न 6 की स्पर्श रेखा है —
💡 संकेत:
√(52−16)।
समझो:
6 सेमी।
12
प्रश्न 7 में केंद्र मिलता है —
💡 संकेत:
केंद्र नहीं दिया।
समझो:
लंब समद्विभाजक।
सही / गलत
0/81
प्रश्नावली 11.1 औचित्य माँगती है।
समझो:
सही।
2
3:2 में समांतर पाँचवें बिंदु से जाती है।
समझो:
गलत — तीसरे से।
3
गुणक 3/4 नया त्रिभुज छोटा बनाता है।
समझो:
सही।
4
गुणक 1 से बड़ा हो तो समांतर भुजा के अंदर मिलती है।
समझो:
गलत — बढ़ाव पर।
5
बाह्य बिंदु से ठीक एक स्पर्श रेखा होती है।
समझो:
गलत — दो।
6
दो असमांतर जीवाओं के लंब समद्विभाजक केंद्र पर मिलते हैं।
समझो:
सही।
7
प्रश्न 2 की नई 6 सेमी भुजा 4 सेमी है।
समझो:
सही — (2/3)×6।
8
NCERT 2026-27 में रचनाएँ अध्याय 11 है।
समझो:
गलत — वह अध्याय उस किताब में नहीं है।
रिक्त स्थान
0/81
m:n के बिंदु ______ होते हैं।
💡 संकेत:
m+n।
समझो:
योग।
2
7.6 सेमी का 5 वाला भाग ______ सेमी है।
💡 संकेत:
38/13 सेमी।
समझो:
(5/13)×7.6।
3
प्रश्न 1 की स्पर्श रेखा ______ सेमी है।
💡 संकेत:
8 सेमी।
समझो:
√64।
4
प्रश्न 2 की स्पर्श रेखा ______ सेमी है।
💡 संकेत:
2√5 सेमी।
समझो:
√20।
5
प्रश्न 6 का तीसरा कोण ______ डिग्री है।
💡 संकेत:
30 डिग्री।
समझो:
180−105−45।
6
प्रश्न 7 का नया कर्ण ______ सेमी है।
💡 संकेत:
25/3 सेमी।
समझो:
(5/3)×5।
7
प्रश्न 3 की स्पर्श रेखा ______ सेमी है।
💡 संकेत:
2√10 सेमी।
समझो:
√(49−9)।
8
प्रश्न 4 का नया आधार ______ सेमी है।
💡 संकेत:
12 सेमी।
समझो:
(3/2)×8।
मिलान करो
0/21
गुणक को बिंदुओं की संख्या से मिलाओ।
स्तंभ B: A. 7 · B. 4 · C. 5 · D. 3
1. 3/4
2. 5/3
3. 2/3
4. 7/5
समझो:
3/4 के 4, 5/3 के 5, 2/3 के 3, 7/5 के 7।
2
प्रश्न को उसकी लंबाई से मिलाओ।
स्तंभ B: A. 6 सेमी · B. 8 सेमी · C. 2√5 सेमी · D. 5√3 सेमी
1. स्पर्श 6 और 10
2. स्पर्श 4 और 6
3. कोण 60, त्रिज्या 5
4. प्रश्न 6
समझो:
6 और 10 से 8 सेमी, 4 और 6 से 2√5 सेमी, 60 डिग्री से 5√3 सेमी, प्रश्न 6 से 6 सेमी।
अभिकथन–कारण
0/5पहले दोनों कथन जाँचो, फिर देखो कि कारण व्याख्या है या नहीं।
1
अभिकथन (A): 7.6 सेमी को 5:8 में बाँटने पर बड़ा भाग 60.8/13 सेमी है।
कारण (R): बड़ा हिस्सा पूरे का 8/13 है।
समझो:
दोनों सही हैं और R व्याख्या है।
2
अभिकथन (A): गुणक 3/4 के लिए किरण पर 4 बिंदु काटे जाते हैं।
कारण (R): बाह्य बिंदु से दो स्पर्श रेखाएँ होती हैं।
समझो:
दोनों सही हैं, पर R बिंदुओं की व्याख्या नहीं है।
3
अभिकथन (A): त्रिज्या 6 सेमी और दूरी 10 सेमी पर स्पर्श रेखा 8 सेमी है।
कारण (R): लंबाई OP और r का योग होती है।
समझो:
A सही है। R गलत है, लंबाई वर्गों के अंतर का वर्गमूल है।
4
अभिकथन (A): गुणक 5/3 में समांतर रेखा भुजा के अंदर मिलती है।
कारण (R): 1 से बड़े गुणक में समांतर रेखा भुजा के बढ़ाव पर मिलती है।
समझो:
A गलत है। R सही है।
5
अभिकथन (A): रचना 11.3 में PQ स्पर्श रेखा है।
कारण (R): अर्धवृत्त का कोण 90 डिग्री होने से PQ त्रिज्या पर लंब है।
समझो:
दोनों सही हैं और R व्याख्या है।
गुणांक अभ्यास
0/4ये रसायन की पंक्तियाँ इस गणित अध्याय का परिणाम नहीं हैं। केवल गुणांक भरने का अभ्यास है। खाली स्थान का अर्थ 1 है।
1
यह गुणांक अभ्यास है और इस अध्याय का परिणाम नहीं। पानी वाली पंक्ति में गुणांक भरो (खाली = 1)।
H2 + O2 → H2O
समझो: 2H2 + O2 → 2H2O
2
यह गुणांक अभ्यास है और इस अध्याय का परिणाम नहीं। H2 और O2 वाली पंक्ति में गुणांक भरो (खाली = 1)।
H2 + O2 → H2O
समझो: 2H2 + O2 → 2H2O
3
यह गुणांक अभ्यास है और इस अध्याय का परिणाम नहीं। इस गुणांक पंक्ति में गुणांक भरो (खाली = 1)।
H2 + O2 → H2O
समझो: 2H2 + O2 → 2H2O
4
यह गुणांक अभ्यास है और इस अध्याय का परिणाम नहीं। रिक्त गुणांक वाली पंक्ति में गुणांक भरो (खाली = 1)।
H2 + O2 → H2O
समझो: 2H2 + O2 → 2H2O
वर्गीकरण
0/21
हर गुणक को छोटे या बड़े त्रिभुज में रखो।
3/4
2/3
5/3
7/5
समझो:
3/4 और 2/3 छोटे हैं। 5/3 और 7/5 बड़े हैं।
2
बिंदु की जगह के अनुसार स्पर्श रेखाओं की संख्या रखो।
भीतर
वृत्त पर
बाहर
केंद्र
समझो:
भीतर और केंद्र से शून्य, वृत्त पर एक, बाहर से दो।
अति लघु उत्तरीय
0/51
m:n के लिए बिंदुओं का नियम लिखो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
m+n।
अपना उत्तर जाँचो:
2
स्पर्श रेखा की लंबाई का सूत्र लिखो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
√(OP² − r²)।
अपना उत्तर जाँचो:
3
3:2 में समांतर किस बिंदु से जाती है?
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
तीसरे बिंदु से।
अपना उत्तर जाँचो:
4
प्रश्न 6 का तीसरा कोण लिखो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
30 डिग्री।
अपना उत्तर जाँचो:
5
चूड़ी वाले वृत्त का केंद्र कैसे मिलेगा?
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
दो असमांतर जीवाओं के लंब समद्विभाजक के कटान से।
अपना उत्तर जाँचो:
लघु उत्तरीय
0/41
7.6 सेमी को 5:8 में बाँटो। दोनों भाग इकाई के साथ।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
(5/13)×7.6 = 38/13 सेमी। (8/13)×7.6 = 60.8/13 सेमी।
अपना उत्तर जाँचो:
2
भुजाएँ 4, 5, 6 सेमी का 2/3 त्रिभुज। तीन नई भुजाएँ।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
8/3 सेमी, 10/3 सेमी, 4 सेमी।
अपना उत्तर जाँचो:
3
प्रश्न 1 और प्रश्न 2 की स्पर्श लंबाइयाँ निकालो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
√(100−36) = 8 सेमी। √(36−16) = 2√5 सेमी।
अपना उत्तर जाँचो:
4
समकोण भुजाएँ 4 सेमी और 3 सेमी। गुणक 5/3 की तीन भुजाएँ।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
कर्ण 5 सेमी। नई भुजाएँ 20/3 सेमी, 5 सेमी, 25/3 सेमी।
अपना उत्तर जाँचो:
दीर्घ उत्तरीय
0/31
रचना 11.1 का पहला तरीका और उसका औचित्य लिखो, अनुपात 3:2 के लिए।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
किरण पर 5 बराबर बिंदु। A5 को B से जोड़ो। A3 से समांतर, AB को C पर काटे। आधारभूत आनुपातिकता से AC:CB = AA3:A3A5 = 3:2।
अपना उत्तर जाँचो:
2
गुणक 5/3 की रचना के कदम लिखो और बताओ कि अनुपात 5/3 क्यों मिलता है।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
पाँच बिंदु। B3 को C से जोड़ो। B5 से समांतर, BC के बढ़ाव पर C′। फिर CA के समांतर। BB5:BB3 = 5:3, इसलिए BC′:BC = 5:3। समांतर से त्रिभुज समरूप हैं।
अपना उत्तर जाँचो:
3
रचना 11.3 के कदम और औचित्य लिखो। प्रश्न 1 की लंबाई भी निकालो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
OP का मध्य M। MO त्रिज्या का वृत्त Q और R पर काटता है। PQ और PR स्पर्श रेखाएँ हैं, क्योंकि अर्धवृत्त का कोण 90 डिग्री है। लंबाई √(100−36) = 8 सेमी।
अपना उत्तर जाँचो:
BSEB मॉडल प्रश्न-पत्र · अभ्यास
0/6यह मॉडल सेट अभ्यास के लिए है। किसी वर्ष की वार्षिक परीक्षा का प्रश्न नहीं है।
1
प्रश्न 5 में A से त्रिज्या 3 सेमी वाले वृत्त पर स्पर्श रेखा है —
💡 संकेत:
√(64−9)।
समझो:
√55 सेमी।
2
प्रश्न 4 में नई ऊँचाई है —
💡 संकेत:
(3/2)×4।
समझो:
6 सेमी।
3
7/5 गुणक के लिए बिंदु ______ हैं।
💡 संकेत:
7।
समझो:
बड़ी संख्या।
4
प्रश्न 3 की तीन नई भुजाएँ निकालो। मूल भुजाएँ 5, 6 और 7 सेमी हैं।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
(7/5)×5 = 7 सेमी। (7/5)×6 = 42/5 सेमी। (7/5)×7 = 49/5 सेमी।
अपना उत्तर जाँचो:
5
दूसरे तरीके से 3:2 का औचित्य समरूप त्रिभुजों से लिखो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
AX ∥ BY। त्रिभुज AA3C ~ त्रिभुज BB2C। AC:CB = AA3:BB2 = 3:2, क्योंकि चाप बराबर हैं।
अपना उत्तर जाँचो:
6
अभिकथन (A): प्रश्न 4 का गुणक 1 से बड़ा है।
कारण (R): 1 से बड़े गुणक में समांतर रेखा भुजा के अंदर रुकती है।
समझो:
A सही है, 3/2 बड़ा है। R गलत है।
CBSE-शैली प्रश्न
0/6ये योग्यता-आधारित अभ्यास प्रश्न हैं। किसी वर्ष के प्रश्नपत्र की प्रति नहीं हैं।
1
एक छात्र 5:8 के लिए 8 बिंदु काटता है। सही संख्या है —
💡 संकेत:
5+8।
समझो:
13।
2
एक छात्र गुणक 5/3 में B5 को C से जोड़ देता है। जोड़ना चाहिए —
💡 संकेत:
छोटी संख्या।
समझो:
B3।
3
अभिकथन (A): प्रश्न 1 की दोनों स्पर्श रेखाएँ 8 सेमी हैं।
कारण (R): बाह्य बिंदु से खींची स्पर्श रेखाएँ बराबर होती हैं और लंबाई √(OP² − r²) है।
समझो:
दोनों सही हैं और R व्याख्या है।
4
अभिकथन (A): यह अध्याय NCERT 2026-27 की 14-अध्याय किताब में छपा है।
कारण (R): उस किताब का अध्याय 11 वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल है।
समझो:
A गलत है। R सही है।
5
एक छात्र गुणक 3/4 में समांतर को भुजा के बढ़ाव पर ले जाता है। गलती क्या है?
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
3/4 एक से छोटा है। चार बिंदु काटो, चौथे को C से जोड़ो, और तीसरे से समांतर भुजा के अंदर खींचो। बढ़ाव 1 से बड़े गुणक का कदम है।
अपना उत्तर जाँचो:
6
एक छात्र चूड़ी वाले वृत्त पर बिना केंद्र के सीधे स्पर्श रेखा खींचता है। पहले क्या करना चाहिए?
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
दो असमांतर जीवा लो। उनके लंब समद्विभाजक का कटान केंद्र है। फिर OP का मध्य लेकर रचना 11.3 करो।
अपना उत्तर जाँचो:
🏛️ बोर्ड परीक्षा कॉर्नर — बिहार बोर्ड (BSEB)— CBSE
ऊपर «BSEB | CBSE» से बोर्ड बदलो। पाठ वही NCERT है।
BSEB मॉडल · अभ्यासबोर्ड टिप
इस पेज पर वार्षिक परीक्षा का सत्यापित प्रश्न नहीं है, क्योंकि स्रोत पृष्ठ नहीं जोड़ा गया। नीचे मॉडल सेट बोर्ड के पैटर्न पर अभ्यास के लिए है।
सत्यापित लेबल तभी लगेगा जब प्रश्न का स्रोत पृष्ठ उपलब्ध हो।
CBSE-शैली · योग्यता-आधारित
ये केस और अभिकथन-कारण अभ्यास हैं। इन्हें CBSE का पुराना प्रश्न मत समझो।
🔁 स्पेस्ड रिव्यू — आज के प्रश्न
गलत प्रश्न जल्दी लौटते हैं, सही वाले कुछ दिन बाद।
🧠 आपने क्या सीखा + समीकरण-पत्रक
आपने क्या सीखा
- अनुपात m:n के लिए किरण पर m+n बराबर बिंदु काटो।
- m-वें बिंदु से अंतिम जोड़ के समांतर खींचो।
- औचित्य आधारभूत आनुपातिकता प्रमेय से आता है।
- मापनी गुणक 1 से छोटा हो तो नया त्रिभुज छोटा होता है।
- मापनी गुणक 1 से बड़ा हो तो समांतर रेखा भुजा के बढ़ाव पर मिलती है।
- बाह्य बिंदु से दो स्पर्श रेखाएँ, और अर्धवृत्त का कोण 90 डिग्री।
| क्या | याद रखने लायक |
|---|---|
| अनुपात 3:2 | पाँच बिंदु, तीसरे से समांतर |
| 7.6 सेमी, 5:8 | 38/13 सेमी और 60.8/13 सेमी |
| गुणक 3/4 | चार बिंदु, तीसरे से समांतर |
| गुणक 5/3 | पाँच बिंदु, तीसरे को जोड़ो |
| स्पर्श लंबाई | √(OP² − r²) |
| कोण 60°, r = 5 | लंबाई 5√3 सेमी |
नोट्स मूल लेखन हैं। पाठ्यपुस्तक केवल क्रम और क्रियाकलाप-संख्या के लिए संदर्भ है। «सत्यापित» केवल स्रोत पृष्ठ वाले प्रश्न पर लिखा जाएगा।