1
एक ही आधार का अर्थ है —
💡 संकेत:
भुजा उभय हो।
समझो:
एक पूरी उभय भुजा।
कक्षा 9 · गणित · अध्याय 9 · बिहार बोर्ड (BSEB)CBSE · NCERT 2026-27
समांतर चतुर्भुजों और त्रिभुजों के क्षेत्रफल
Areas of Parallelograms and Triangles
इस पेज को ऐसे पढ़ो:
1. पढ़ो — एक ही आधार · अभ्यास 9.1 · क्रियाकलाप 1 · क्रियाकलाप 2 · प्रमेय 9.1 · अभ्यास 9.2 · त्रिभुज · अभ्यास 9.3 · अभ्यास 9.4, चित्र, हल उदाहरण, बोर्ड टिप
2. जाँचो — हर पाठ के अपने प्रश्न; संख्या पाठ के हिसाब से
3. महारत ★ — उस पाठ के सब सही। गलत वाले «दोबारा करो»
4. याद रखने वाला चित्र एक ही आधार पर दो समांतर चतुर्भुज दिखाता है, जिनकी समान ऊँचाई से क्षेत्रफल बराबर हैं।
यह क्रम बिहार की 15-अध्याय वाली गणित की किताब का है, और गणित मंजरी का अध्याय क्रम अलग है। प्रगति इसी ब्राउज़र में सेव रहती है।
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- 1 एक ही आधार और एक ही समांतर रेखाएँ
- 2 अभ्यास 9.1 — चित्र पहचानना
- 3 क्रियाकलाप 1, क्रियाकलाप 2 और प्रमेय 9.1
- 4 क्षेत्रफल का सूत्र
- 5 अभ्यास 9.2
- 6 त्रिभुज और माध्यिका
- 7 अभ्यास 9.3 और वैकल्पिक 9.4
- अध्याय-विजेता — सभी पाठ महारत ★
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एक ही आधार और एक ही समांतर रेखाएँ
The same base and the same parallels · पाठ्यपुस्तक 9.2 · आधार · समांतर
उभय भुजा और ऊपर की समांतर रेखानोट्स
दो आकृतियाँ एक ही आधार पर हैं जब एक पूरी भुजा दोनों की हो। केवल एक शीर्ष उभय हो तो आधार एक नहीं। वे एक ही समांतर रेखाओं के बीच हैं जब बाकी शीर्ष उस आधार के समांतर एक रेखा पर हों।
बराबर आधार भी चलते हैं। दो अलग रेखाखंड लंबाई में बराबर हों और एक ही रेखा पर हों, तो प्रमेय बाद में उन्हें भी लेती है। चित्र में देखो कि ऊपरी बिंदु सच में उसी समांतर पर हैं या नहीं। एक भुजा उभय होते हुए भी शीर्ष दूसरी रेखा पर हो तो शर्त पूरी नहीं होती।
हल किया हुआ उदाहरणउदाहरण
प्रश्न: समांतर चतुर्भुज ABCD और त्रिभुज PDC का आधार DC उभय है। P और A एक रेखा पर हैं जो DC के समांतर है। क्या दोनों एक ही समांतरों के बीच हैं?
शर्त: उभय आधार DC, और शेष शीर्ष DC के समांतर एक रेखा पर।
निष्कर्ष: हाँ। आधार DC है और ऊपरी शीर्ष उसी समांतर पर हैं।
10-सेकंड रिवीजन
- एक ही आधार = पूरी उभय भुजा
- शेष शीर्ष समांतर रेखा पर
- बराबर आधार बाद की प्रमेयों में चलते हैं
बोर्ड टिप · BSEBबोर्ड टिप
एक उभय बिंदु को आधार मत लिखना। आधार एक भुजा होती है।
बोर्ड टिप · CBSEबोर्ड टिप
चित्र 9.6 जैसी आकृति में ऊपरी रेखा आधार के समांतर न हो तो «एक ही समांतर» मत लिखना।
समझ जाँचोसब सही = महारत ★
2
शेष शीर्ष आधार के समांतर एक रेखा पर हों तो आकृतियाँ एक ही समांतरों के बीच हैं।
समझो:
सही।
3
एक ही आधार एक ______ होती है, एक बिंदु नहीं।
💡 संकेत:
पूरी भुजा।
समझो:
भुजा।
4
दो बराबर रेखाखंड एक ही रेखा पर हों तो बाद की प्रमेय उन्हें मानती है —
💡 संकेत:
लंबाई बराबर।
समझो:
बराबर आधार।
5
एक ही आधार और एक ही समांतर रेखाओं की दो शर्तें लिखो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
एक भुजा दोनों आकृतियों की हो। शेष शीर्ष उस भुजा के समांतर एक रेखा पर हों।
अपना उत्तर जाँचो:
6
कोई भी दो आकृतियाँ जिनका एक बिंदु उभय हो, एक ही आधार पर होती हैं।
समझो:
गलत — आधार एक पूरी भुजा है।
अभ्यास 9.1 — चित्र पहचानना
Exercise 9.1 — reading the figures · पाठ्यपुस्तक 9.2 · अभ्यास 9.1
हर चित्र में दो बातें अलग जाँचोनोट्स
अभ्यास 9.1 पूछता है कि कौन-सी आकृतियाँ एक ही आधार पर और एक ही समांतरों के बीच हैं। पहले आधार देखो, फिर ऊपरी रेखा। एक शर्त पूरी हो और दूसरी न हो तो उत्तर «नहीं» है।
समलम्ब और समांतर चतुर्भुज, दो समांतर चतुर्भुज, दो त्रिभुज, या त्रिभुज और समांतर चतुर्भुज — नाम अलग हो सकते हैं। नियम नाम पर नहीं, आधार और समांतर पर है।
अभ्यास 9.1 — हाँ या नहीं, कारण के साथक्रियाकलाप
हर चित्र पर दो पंक्ति लिखो। पहली: उभय भुजा का नाम, या यह कि आधार अलग है। दूसरी: शेष शीर्ष किस रेखा पर हैं, और वह आधार के समांतर है या नहीं। दोनों हाँ हों तभी जोड़ा शर्त पूरी करता है।
हल किया हुआ उदाहरणउदाहरण
प्रश्न: दो त्रिभुज आधार BC साझा करते हैं। तीसरे शीर्ष एक ऐसी रेखा पर हैं जो BC के समांतर नहीं। क्या जोड़ा शर्त पूरी करता है?
जाँच: आधार एक है। समांतर वाली शर्त नहीं।
निष्कर्ष: नहीं। एक ही आधार काफी नहीं जब ऊपरी रेखा समांतर न हो।
10-सेकंड रिवीजन
- दो शर्तें, दोनों जरूरी
- नाम नहीं, आधार और समांतर
- अभ्यास 9.1 प्रमेय से पहले है
बोर्ड टिप · BSEBबोर्ड टिप
केवल «एक ही आधार» लिखकर चित्र पास मत करना। दूसरी पंक्ति समांतर की हो।
बोर्ड टिप · CBSEबोर्ड टिप
जहाँ पुस्तक कहे कि आकृति एक ही समांतरों के बीच नहीं है, वहाँ क्षेत्रफल बराबर मानकर आगे मत बढ़ना।
समझ जाँचोसब सही = महारत ★
1
अभ्यास 9.1 में जोड़ा तभी गिना जाता है जब —
💡 संकेत:
दो शर्तें।
समझो:
आधार और समांतर दोनों।
2
एक ही आधार हो पर ऊपरी रेखा समांतर न हो, तो भी शर्त पूरी हो जाती है।
समझो:
गलत — दोनों शर्तें चाहिए।
3
अभ्यास 9.1, प्रमेय 9.1 से ______ आता है।
💡 संकेत:
पुस्तक का क्रम।
समझो:
पहले।
4
एक चित्र में आधार उभय है और शीर्ष समांतर पर नहीं हैं। दो पंक्तियों में उत्तर लिखो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
आधार एक है। समांतर वाली शर्त नहीं है, इसलिए यह जोड़ा एक ही समांतरों के बीच नहीं है।
अपना उत्तर जाँचो:
क्रियाकलाप 1, क्रियाकलाप 2 और प्रमेय 9.1
Activity 1, Activity 2 and Theorem 9.1 · पाठ्यपुस्तक 9.3 · क्रियाकलाप 1 · क्रियाकलाप 2 · प्रमेय 9.1
ऊँचाई समान हो तो क्षेत्रफल बराबरनोट्स
प्रमेय 9.1: एक ही आधार, या बराबर आधारों, और एक ही समांतर रेखाओं के बीच बने समांतर चतुर्भुजों के क्षेत्रफल बराबर होते हैं। ऊँचाई दोनों की एक ही है, क्योंकि समांतर रेखाओं के बीच की लंब दूरी स्थिर है।
विलोम भी सच है। बराबर आधार और बराबर क्षेत्रफल हों तो समांतर चतुर्भुज एक ही समांतर रेखाओं के बीच होते हैं। प्रमाण क्षेत्रफल के सूत्र से होता है: आधार समान और क्षेत्रफल समान हो तो ऊँचाई समान।
क्रियाकलाप 1 और क्रियाकलाप 2क्रियाकलाप
क्रियाकलाप 1 ग्राफ शीट पर दो समांतर चतुर्भुज ABCD और PQCD बनवाता है। वर्ग गिनकर क्षेत्रफल मिलाओ। क्रियाकलाप 2 मोटे कागज पर समांतर चतुर्भुज काटकर एक टुकड़ा दूसरी जगह रखवाता है। दोनों जाँचें प्रमेय 9.1 से पहले हैं। नंबर 1 और 2 मत बदलना। गिनती प्रमाण नहीं, चित्र की जाँच है।
हल किया हुआ उदाहरणउदाहरण
प्रश्न: ABCD और EFCD एक ही आधार DC पर और एक ही समांतरों के बीच हैं। ar(ABCD) = 24 cm²। ar(EFCD) निकालो।
प्रमेय: 9.1, क्षेत्रफल बराबर होते हैं।
मान: ar(EFCD) = 24 cm²। इकाई वर्ग सेंटीमीटर है।
10-सेकंड रिवीजन
- प्रमेय 9.1: क्षेत्रफल बराबर
- क्रियाकलाप 1 ग्राफ शीट, क्रियाकलाप 2 कटा कागज
- विलोम: बराबर क्षेत्रफल, एक ही समांतर
बोर्ड टिप · BSEBबोर्ड टिप
24 cm² को आधा मत कर देना। प्रमेय 9.1 समांतर चतुर्भुजों को बराबर कहती है, आधा नहीं।
बोर्ड टिप · CBSEबोर्ड टिप
क्रियाकलाप की वर्ग-गिनती को प्रमेय की जगह मत लिखना। लिखो कि गिनती 9.1 से मेल खाती है।
समझ जाँचोसब सही = महारत ★
1
प्रमेय 9.1 किन आकृतियों पर है?
💡 संकेत:
एक ही आधार।
समझो:
समांतर चतुर्भुज।
2
क्रियाकलाप 1 ग्राफ शीट पर है और क्रियाकलाप 2 कटे कागज पर।
समझो:
सही — क्रम यही है।
3
ar(ABCD) = 24 cm² और शर्तें मिलें तो ar(EFCD) = ______ cm²।
💡 संकेत:
बराबर।
समझो:
24।
4
बराबर आधार और बराबर क्षेत्रफल से निकलता है —
💡 संकेत:
विलोम।
समझो:
एक ही समांतरों के बीच।
5
प्रमेय 9.1 लिखो। क्रियाकलाप 1 और 2 एक-एक पंक्ति में अलग करो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
एक ही आधार और एक ही समांतरों पर समांतर चतुर्भुजों के क्षेत्रफल बराबर होते हैं। क्रियाकलाप 1 वर्ग गिनता है। क्रियाकलाप 2 कागज काटकर मिलाता है।
अपना उत्तर जाँचो:
क्षेत्रफल का सूत्र
The area formula · पाठ्यपुस्तक 9.3 · आधार × ऊँचाई
ऊँचाई उसी आधार पर लंब होनोट्स
समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल = आधार × संगत ऊँचाई। ऊँचाई आधार वाली भुजा पर लंब होती है। तिरछी भुजा को ऊँचाई मत लेना। आयत में लंब भुजा ही ऊँचाई है।
एक ही आधार और एक ही समांतरों पर त्रिभुज का क्षेत्रफल समांतर चतुर्भुज का आधा होता है। इसलिए त्रिभुज = (1/2) × आधार × ऊँचाई। वर्ग सेंटीमीटर में उत्तर दो, जब भुजा सेंटीमीटर हो।
हल किया हुआ उदाहरणउदाहरण
प्रश्न: आधार DC = 8 cm और संगत ऊँचाई AL = 5 cm। समांतर चतुर्भुज और उसी आधार वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल निकालो।
सूत्र: समांतर चतुर्भुज = आधार × ऊँचाई। त्रिभुज = आधा।
मान: 8 cm × 5 cm = 40 cm²। त्रिभुज = (1/2) × 40 cm² = 20 cm²।
10-सेकंड रिवीजन
- क्षेत्रफल = आधार × ऊँचाई
- ऊँचाई लंब है, तिरछी भुजा नहीं
- त्रिभुज आधा, 20 cm² जब समांतर चतुर्भुज 40 cm²
बोर्ड टिप · BSEBबोर्ड टिप
8 × 5 = 40 लिखो और इकाई cm² लगाओ। केवल 40 बिना इकाई के अधूरा है।
बोर्ड टिप · CBSEबोर्ड टिप
तिरछी भुजा 6 cm को ऊँचाई मत बनाना जब लंब 5 cm दिया हो। सूत्र संगत ऊँचाई लेता है।
समझ जाँचोसब सही = महारत ★
1
समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल है —
💡 संकेत:
गुणन।
समझो:
आधार × ऊँचाई।
2
ऊँचाई आधार पर लंब होती है।
समझो:
सही — तिरछी भुजा अपने आप ऊँचाई नहीं होती।
3
8 cm × 5 cm = ______ cm²।
💡 संकेत:
गुणा।
समझो:
40।
4
समांतर चतुर्भुज 40 cm² हो तो उसी आधार और समांतरों पर त्रिभुज है —
💡 संकेत:
आधा।
समझो:
20 cm²।
5
आधार 12 cm और ऊँचाई 4 cm पर समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल निकालो। सूत्र लिखो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
क्षेत्रफल = आधार × ऊँचाई = 12 cm × 4 cm = 48 cm²।
अपना उत्तर जाँचो:
6
त्रिभुज का क्षेत्रफल सदा समांतर चतुर्भुज के बराबर होता है।
समझो:
गलत — एक ही आधार और एक ही समांतरों पर वह आधा होता है।
अभ्यास 9.2
Exercise 9.2 · पाठ्यपुस्तक 9.3 · अभ्यास 9.2
लंब खींचो, फिर प्रमेय 9.1नोट्स
अभ्यास 9.2 समांतर चतुर्भुज पर लंब, भीतरी बिंदु, और दो समांतर चतुर्भुज एक साथ देता है। बराबर क्षेत्रफल लिखने से पहले आधार और समांतर दोनों नाम दो। आयत भी समांतर चतुर्भुज है, इसलिए प्रमेय 9.1 उस पर भी चलती है।
भीतरी बिंदु से दो त्रिभुज बनें तो उनके क्षेत्रफल अलग-अलग हो सकते हैं। उन्हें बराबर तभी लिखो जब आधार और ऊँचाई सच में मेल खाएँ।
अभ्यास 9.2 — क्षेत्रफल बराबर दिखानाक्रियाकलाप
हर प्रश्न में पहले उभय आधार या बराबर आधार लिखो। फिर वह रेखा लिखो जो समांतर है। उसके बाद प्रमेय 9.1। संख्या हो तो आधार × ऊँचाई करो और इकाई cm² रखो। अभ्यास 9.3 अभी नहीं। वह त्रिभुजों के बाद है।
हल किया हुआ उदाहरणउदाहरण
प्रश्न: आयत EFCD और समांतर चतुर्भुज ABCD आधार DC पर हैं। DC = 6 cm, ऊँचाई 4 cm। दोनों क्षेत्रफल लिखो।
सूत्र: क्षेत्रफल = 6 cm × 4 cm। प्रमेय 9.1 से दोनों बराबर।
मान: प्रत्येक = 24 cm²।
10-सेकंड रिवीजन
- अभ्यास 9.2 समांतर चतुर्भुज पर है
- आयत पर भी प्रमेय 9.1 चलती है
- 9.3 बाद में है
बोर्ड टिप · BSEBबोर्ड टिप
आधार का नाम बिना प्रमेय नंबर के मत छोड़ना। 9.1 लिखो।
बोर्ड टिप · CBSEबोर्ड टिप
24 cm² दोनों के लिए है। एक को 24 और दूसरे को 12 लिखना आधा करने की गलती है।
समझ जाँचोसब सही = महारत ★
1
अभ्यास 9.2 मुख्य रूप से है —
💡 संकेत:
खंड 9.3 के बाद।
समझो:
समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल।
2
आयत पर प्रमेय 9.1 नहीं चलती क्योंकि आयत समांतर चतुर्भुज नहीं है।
समझो:
गलत — आयत एक समांतर चतुर्भुज है।
3
6 cm × 4 cm = ______ cm²।
💡 संकेत:
गुणा।
समझो:
24।
4
दो समांतर चतुर्भुज एक ही आधार पर हैं और एक का क्षेत्रफल 18 cm² है। दूसरा लिखो। कारण का नाम दो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
दूसरा भी 18 cm² है, यदि वे एक ही समांतरों के बीच हों। कारण प्रमेय 9.1 है।
अपना उत्तर जाँचो:
त्रिभुज और माध्यिका
Triangles and a median · पाठ्यपुस्तक 9.4 · प्रमेय 9.2 · प्रमेय 9.3
त्रिभुज भी उसी ऊँचाई पर बराबर होते हैंनोट्स
प्रमेय 9.2: एक ही आधार, या बराबर आधारों, और एक ही समांतरों के बीच के त्रिभुजों के क्षेत्रफल बराबर होते हैं। प्रमेय 9.3 विलोम है: बराबर क्षेत्रफल और एक ही आधार हो तो त्रिभुज एक ही समांतरों के बीच होते हैं।
माध्यिका आधार को आधा करती है। दोनों छोटे त्रिभुजों की ऊँचाई समान रहती है। इसलिए प्रत्येक क्षेत्रफल = (1/2) × पूरे त्रिभुज का क्षेत्रफल। आधा आधार × समान ऊँचाई यही देता है।
हल किया हुआ उदाहरणउदाहरण
प्रश्न: AD माध्यिका है और ar(ABC) = 30 cm²। ar(ABD) निकालो।
सूत्र: माध्यिका क्षेत्रफल आधा करती है। ar(ABD) = (1/2) × ar(ABC)।
मान: (1/2) × 30 cm² = 15 cm²। ar(ACD) भी 15 cm²।
10-सेकंड रिवीजन
- प्रमेय 9.2: त्रिभुजों के क्षेत्रफल बराबर
- प्रमेय 9.3 विलोम है
- माध्यिका क्षेत्रफल आधा-आधा करती है
बोर्ड टिप · BSEBबोर्ड टिप
30 cm² का आधा 15 cm² है। दोनों छोटे त्रिभुज लिखो, एक को 30 मत छोड़ना।
बोर्ड टिप · CBSEबोर्ड टिप
विलोम 9.3 तभी है जब क्षेत्रफल बराबर दिए हों और समांतर सिद्ध करनी हो। 9.2 उलटी दिशा है।
समझ जाँचोसब सही = महारत ★
1
एक ही आधार और समांतरों पर दो त्रिभुज —
💡 संकेत:
प्रमेय 9.2।
समझो:
बराबर क्षेत्रफल।
2
माध्यिका त्रिभुज के क्षेत्रफल को दो बराबर भागों में बाँटती है।
समझो:
सही — आधार आधा और ऊँचाई समान।
3
पूरा त्रिभुज 30 cm² हो तो माध्यिका से एक भाग ______ cm² है।
💡 संकेत:
आधा।
समझो:
15।
4
प्रमेय 9.3 कहती है —
💡 संकेत:
विलोम।
समझो:
समांतर सिद्ध होते हैं।
5
ar(ABC) = 48 cm² और AD माध्यिका है। दोनों छोटे क्षेत्रफल लिखो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
प्रत्येक = 48 cm² / 2 = 24 cm²। ar(ABD) = ar(ACD) = 24 cm²।
अपना उत्तर जाँचो:
अभ्यास 9.3 और वैकल्पिक 9.4
Exercise 9.3 and optional 9.4 · पाठ्यपुस्तक · अभ्यास 9.3 · अभ्यास 9.4
त्रिभुज पहले, वैकल्पिक सेट बाद मेंनोट्स
अभ्यास 9.3 माध्यिका, एक ही आधार वाले त्रिभुज, और समांतर रेखाओं की कतार पर क्षेत्रफल जोड़ने को कहता है। हर बार प्रमेय 9.2 या 9.3 का नंबर लिखो। माध्यिका हो तो आधा क्षेत्रफल।
अभ्यास 9.4 वैकल्पिक है, नंबर नहीं बदलता। एक प्रश्न समांतर चतुर्भुज और आयत को एक ही आधार पर रखता है। आगे की कड़ियों में एक परिणाम पाइथागोरस की ओर जाता है। पुस्तक कहती है कि सरल प्रमाण बाद में आएगा। यहाँ क्षेत्रफल की बराबरी काफी है।
अभ्यास 9.3, फिर अभ्यास 9.4क्रियाकलाप
पहले 9.3 पूरा करो। माध्यिका पर खड़े बिंदु के दोनों ओर के त्रिभुज पहचानो। फिर 9.4। आयत और समांतर चतुर्भुज एक ही आधार पर हों तो प्रमेय 9.1। पाइथागोरस वाली पंक्ति को अभी नया प्रमेय नंबर मत देना। पुस्तक उसे बाद के लिए छोड़ती है।
हल किया हुआ उदाहरणउदाहरण
प्रश्न: AD माध्यिका है और ar(ABC) = 40 cm²। ar(ABD) और ar(ACD) निकालो।
सूत्र: माध्यिका क्षेत्रफल आधा करती है। प्रत्येक = (1/2) × ar(ABC)।
मान: 40 cm² / 2 = 20 cm²। दोनों छोटे त्रिभुज 20 cm² हैं। इकाई cm² है।
10-सेकंड रिवीजन
- अभ्यास 9.3 त्रिभुजों पर है
- अभ्यास 9.4 वैकल्पिक है और नंबर 9.4 रहता है
- पाइथागोरस की पंक्ति बाद के प्रमाण के लिए है
बोर्ड टिप · BSEBबोर्ड टिप
9.4 को 9.3 में मिलाकर एक नंबर मत बना देना। पुस्तक दोनों रखती है।
बोर्ड टिप · CBSEबोर्ड टिप
40 का आधा 20 है। दोनों छोटे त्रिभुज 20-20 cm² हैं। एक को 40 लिखना माध्यिका छोड़ देता है।
समझ जाँचोसब सही = महारत ★
1
अभ्यास 9.3 के बाद आता है —
💡 संकेत:
पुस्तक का क्रम।
समझो:
अभ्यास 9.4।
2
अभ्यास 9.4 वैकल्पिक है, इसलिए उसे 9.3 ही लिखना चाहिए।
समझो:
गलत — नंबर 9.4 रहता है।
3
40 cm² का आधा ______ cm² है।
💡 संकेत:
2 से भाग।
समझो:
20।
4
एक ही आधार पर आयत और समांतर चतुर्भुज हों तो क्षेत्रफल —
💡 संकेत:
प्रमेय 9.1।
समझो:
बराबर, जब एक ही समांतर हों।
5
अभ्यास 9.1 से 9.4 का क्रम लिखो और बताओ कौन वैकल्पिक है।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
क्रम 9.1, 9.2, 9.3, फिर 9.4। वैकल्पिक 9.4 है।
अपना उत्तर जाँचो:
6
पाइथागोरस वाली पंक्ति का सरल प्रमाण यह अध्याय अभी पूरा नहीं कहता।
समझो:
सही — पुस्तक सरल प्रमाण बाद के लिए छोड़ती है।
❓ पूरा प्रश्न बैंक — उत्तर व व्याख्या सहित — 66 प्रश्न
प्रकार चुनो। पाठों के 36 जाँच-प्रश्न अलग हैं — हर पाठ में जितने उसके विषय माँगते हैं। सब सही होने पर महारत ★ मिलती है।
BSEB मॉडलअभ्यास · वार्षिक नहीं60 किए · 0 सहीबहुविकल्पीMCQ130 किए · 0 सहीसही / गलतसही-गलत80 किए · 0 सहीरिक्त स्थानरिक्त स्थान80 किए · 0 सहीमिलान करोमिलान20 किए · 0 सहीअभिकथन-कारणअभिकथन-कारण50 किए · 0 सहीसमीकरण संतुलनसंतुलन40 किए · 0 सहीअभिक्रिया पहचानपहचान20 किए · 0 सहीलघु / दीर्घ उत्तरीयअति लघु, लघु, दीर्घ120 किए · 0 सहीCBSE-शैलीPYQ नहीं60 किए · 0 सही
कोई भी प्रश्न «सत्यापित PYQ» नहीं है। BSEB वाला सेट मॉडल अभ्यास है। CBSE वाले प्रश्न CBSE-शैली हैं, किसी वर्ष के पेपर की प्रति नहीं।
बहुविकल्पी
0/13एक विकल्प चुनो। गलत पर संकेत मिलेगा।
1
एक ही आधार है —
💡 संकेत:
पूरी भुजा।
समझो:
उभय भुजा।
2
प्रमेय 9.1 बराबर करती है —
💡 संकेत:
एक ही आधार।
समझो:
क्षेत्रफल।
3
क्षेत्रफल का सूत्र है —
💡 संकेत:
गुणन।
समझो:
आधार × ऊँचाई।
4
8 × 5 का क्षेत्रफल है —
💡 संकेत:
गुणा।
समझो:
40 cm²।
5
40 cm² वाले समांतर चतुर्भुज पर त्रिभुज है —
💡 संकेत:
आधा।
समझो:
20 cm²।
6
प्रमेय 9.2 है —
💡 संकेत:
एक ही आधार।
समझो:
त्रिभुजों के क्षेत्रफल।
7
माध्यिका क्षेत्रफल को बाँटती है —
💡 संकेत:
आधा आधार।
समझो:
दो बराबर भाग।
8
30 cm² का आधा है —
💡 संकेत:
2 से भाग।
समझो:
15 cm²।
9
क्रियाकलाप 1 होता है —
💡 संकेत:
क्रम।
समझो:
ग्राफ शीट।
10
अभ्यास 9.4 है —
💡 संकेत:
पुस्तक।
समझो:
वैकल्पिक 9.4।
11
ऊँचाई होती है —
💡 संकेत:
संगत ऊँचाई।
समझो:
लंब।
12
बराबर क्षेत्रफल और एक ही आधार से —
💡 संकेत:
प्रमेय 9.3।
समझो:
समांतर।
13
6 × 4 का क्षेत्रफल है —
💡 संकेत:
गुणा।
समझो:
24 cm²।
सही / गलत
0/81
एक उभय बिंदु एक ही आधार कहलाता है।
समझो:
गलत — आधार एक भुजा है।
2
प्रमेय 9.1 समांतर चतुर्भुजों के क्षेत्रफल बराबर कहती है।
समझो:
सही।
3
तिरछी भुजा सदा ऊँचाई होती है।
समझो:
गलत — ऊँचाई आधार पर लंब होती है।
4
एक ही आधार और समांतरों पर त्रिभुज, समांतर चतुर्भुज का आधा होता है।
समझो:
सही।
5
क्रियाकलाप 2, क्रियाकलाप 1 से पहले है।
समझो:
गलत — पहले ग्राफ शीट, फिर कटा कागज।
6
माध्यिका क्षेत्रफल नहीं बाँटती।
समझो:
गलत — दो बराबर क्षेत्रफल बनते हैं।
7
अभ्यास 9.4 का नंबर 9.4 ही रहता है।
समझो:
सही — यह वैकल्पिक है।
8
आयत समांतर चतुर्भुज नहीं होता।
समझो:
गलत — आयत एक समांतर चतुर्भुज है, इसलिए प्रमेय 9.1 चलती है।
रिक्त स्थान
0/81
क्षेत्रफल = आधार × ______ ।
💡 संकेत:
लंब दूरी।
समझो:
ऊँचाई।
2
8 × 5 = ______ ।
💡 संकेत:
गुणा।
समझो:
40।
3
40 cm² का आधा ______ cm² है।
💡 संकेत:
त्रिभुज।
समझो:
20।
4
प्रमेय ______ समांतर चतुर्भुजों के बराबर क्षेत्रफल कहती है।
💡 संकेत:
त्रिभुज 9.2।
समझो:
9.1।
5
30 cm² की माध्यिका से एक भाग ______ cm² है।
💡 संकेत:
आधा।
समझो:
15।
6
6 × 4 = ______ ।
💡 संकेत:
गुणा।
समझो:
24।
7
त्रिभुजों वाली प्रमेय संख्या ______ है।
💡 संकेत:
विलोम 9.3।
समझो:
9.2।
8
वैकल्पिक अभ्यास का नंबर ______ है।
💡 संकेत:
9.3 के बाद।
समझो:
9.4।
मिलान करो
0/21
नंबर को काम से मिलाओ।
स्तंभ B: A. वैकल्पिक अभ्यास · B. समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल · C. त्रिभुजों के क्षेत्रफल · D. ग्राफ शीट
1. 9.1
2. 9.2
3. क्रियाकलाप 1
4. 9.4
समझो:
9.1 समांतर चतुर्भुज, 9.2 त्रिभुज, क्रियाकलाप 1 ग्राफ, 9.4 वैकल्पिक।
2
सूत्र को आकृति से मिलाओ।
स्तंभ B: A. आधार पर लंब · B. आधार × ऊँचाई · C. (1/2) × समांतर चतुर्भुज · D. दो बराबर क्षेत्रफल
1. समांतर चतुर्भुज
2. त्रिभुज आधा
3. माध्यिका
4. ऊँचाई
समझो:
समांतर चतुर्भुज गुणन, त्रिभुज आधा, माध्यिका दो बराबर भाग, ऊँचाई लंब।
अभिकथन–कारण
0/5पहले दोनों कथन जाँचो, फिर देखो कि कारण व्याख्या है या नहीं।
1
अभिकथन (A): एक ही आधार और समांतरों पर समांतर चतुर्भुजों के क्षेत्रफल बराबर होते हैं।
कारण (R): दोनों की ऊँचाई समान होती है, इसलिए आधार × ऊँचाई समान होता है।
समझो:
दोनों सही हैं और R कारण है।
2
अभिकथन (A): माध्यिका क्षेत्रफल आधा करती है।
कारण (R): चतुर्भुज के कोणों का योग 360° है।
समझो:
A सही है। R सही हो सकता है पर इस कारण की व्याख्या नहीं है।
3
अभिकथन (A): त्रिभुज उसी आधार पर समांतर चतुर्भुज का आधा होता है।
कारण (R): त्रिभुज का क्षेत्रफल समांतर चतुर्भुज से सदा बड़ा होता है।
समझो:
A सही है। R गलत है।
4
अभिकथन (A): एक उभय बिंदु पर्याप्त आधार है।
कारण (R): एक ही आधार एक पूरी उभय भुजा होती है।
समझो:
A गलत है। R सही है।
5
अभिकथन (A): बराबर क्षेत्रफल वाले त्रिभुज एक ही आधार पर समांतरों के बीच हो सकते हैं।
कारण (R): प्रमेय 9.3 बराबर क्षेत्रफल से समांतर सिद्ध करती है।
समझो:
दोनों सही हैं और R व्याख्या है।
गुणांक अभ्यास
0/4ये इस गणित अध्याय के परिणाम नहीं हैं। केवल H2 + O2 → H2O का गुणांक अभ्यास है।
1
यह गुणांक अभ्यास है, इस गणित अध्याय का परिणाम नहीं। H2 + O2 से H2O के गुणांक भरो (खाली = 1)। यह क्षेत्रफल का परिणाम नहीं है।
H2 + O2 → H2O
समझो: 2H2 + O2 → 2H2O
2
यह गुणांक अभ्यास है, इस गणित अध्याय का परिणाम नहीं। H2 + O2 से H2O के गुणांक भरो (खाली = 1)। हाइड्रोजन की गिनती मिलाओ।
H2 + O2 → H2O
समझो: 2H2 + O2 → 2H2O
3
यह गुणांक अभ्यास है, इस गणित अध्याय का परिणाम नहीं। H2 + O2 से H2O के गुणांक भरो (खाली = 1)। ऑक्सीजन की गिनती मिलाओ।
H2 + O2 → H2O
समझो: 2H2 + O2 → 2H2O
4
यह गुणांक अभ्यास है, इस गणित अध्याय का परिणाम नहीं। H2 + O2 से H2O के गुणांक भरो (खाली = 1)। खाली गुणांक 1 है।
H2 + O2 → H2O
समझो: 2H2 + O2 → 2H2O
वर्गीकरण
0/21
हर जोड़े को सही निर्णय में रखो। एक ही समांतर मानो जहाँ कहा जाए।
उभय भुजा और समांतर
केवल उभय बिंदु
आधार एक, रेखा समांतर नहीं
बराबर आधार और वही समांतर
समझो:
उभय भुजा या बराबर आधार, समांतर के साथ, शर्त पूरी करते हैं। केवल बिंदु काफी नहीं।
2
हर कथन को प्रमेय पर रखो।
समांतर चतुर्भुज बराबर क्षेत्रफल
त्रिभुज बराबर क्षेत्रफल
वैकल्पिक अभ्यास
ऊँचाई समान होने का समांतर चतुर्भुज
समझो:
समांतर चतुर्भुज 9.1 है। त्रिभुज 9.2 है। वैकल्पिक सेट 9.4 है।
अति लघु उत्तरीय
0/51
समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल का सूत्र लिखो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
आधार × संगत ऊँचाई।
अपना उत्तर जाँचो:
2
प्रमेय 9.1 एक पंक्ति में लिखो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
एक ही आधार और एक ही समांतरों पर समांतर चतुर्भुजों के क्षेत्रफल बराबर होते हैं।
अपना उत्तर जाँचो:
3
आधार 9 cm और ऊँचाई 2 cm पर क्षेत्रफल निकालो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
9 cm × 2 cm = 18 cm²।
अपना उत्तर जाँचो:
4
क्रियाकलाप 1 और 2 के नाम क्रम से लिखो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
पहले ग्राफ शीट, फिर कटा कागज।
अपना उत्तर जाँचो:
5
माध्यिका क्षेत्रफल का क्या करती है?
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
उसे दो बराबर भागों में बाँटती है।
अपना उत्तर जाँचो:
लघु उत्तरीय
0/41
आधार 8 cm, ऊँचाई 5 cm। समांतर चतुर्भुज और त्रिभुज दोनों के क्षेत्रफल लिखो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
समांतर चतुर्भुज = 8 × 5 = 40 cm²। त्रिभुज = 20 cm²।
अपना उत्तर जाँचो:
2
ar(ABC) = 36 cm² और AD माध्यिका है। ar(ABD) और ar(ACD) लिखो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
प्रत्येक = 18 cm²।
अपना उत्तर जाँचो:
3
दो समांतर चतुर्भुज एक ही आधार पर हैं। एक का क्षेत्रफल 27 cm² है। दूसरा और प्रमेय लिखो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
यदि समांतर वही हों तो दूसरा भी 27 cm² है। प्रमेय 9.1।
अपना उत्तर जाँचो:
4
अभ्यास 9.1 में एक चित्र का आधार उभय है पर रेखा समांतर नहीं। निर्णय लिखो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
शर्त अधूरी है। एक ही समांतरों के बीच नहीं माना जाएगा, इसलिए क्षेत्रफल बराबर नहीं लिखना।
अपना उत्तर जाँचो:
दीर्घ उत्तरीय
0/31
प्रमेय 9.1 और क्षेत्रफल का सूत्र लिखो। आधार 10 cm, ऊँचाई 3 cm पर समांतर चतुर्भुज और आधा त्रिभुज निकालो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
एक ही आधार और समांतरों पर क्षेत्रफल बराबर। सूत्र आधार × ऊँचाई। 10 × 3 = 30 cm²। त्रिभुज = 15 cm²।
अपना उत्तर जाँचो:
2
प्रमेय 9.2 और 9.3 लिखो। माध्यिका वाला 50 cm² का त्रिभुज बाँटो। क्रियाकलाप 1 और 2 का क्रम दो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
9.2 त्रिभुजों के क्षेत्रफल बराबर। 9.3 विलोम। प्रत्येक भाग 25 cm²। पहले क्रियाकलाप 1 ग्राफ शीट, फिर क्रियाकलाप 2 कटा कागज।
अपना उत्तर जाँचो:
3
अभ्यास 9.1 से 9.4 का क्रम लिखो। बताओ 9.4 वैकल्पिक क्यों है और पाइथागोरस की पंक्ति अभी क्यों पूरा प्रमाण नहीं है।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
क्रम 9.1, 9.2, 9.3, 9.4। 9.4 पुस्तक वैकल्पिक कहती है, नंबर नहीं बदलता। पाइथागोरस की पंक्ति का सरल प्रमाण बाद के अध्याय के लिए छोड़ा गया है।
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BSEB मॉडल प्रश्न-पत्र · अभ्यास
0/6यह मॉडल सेट अभ्यास के लिए है। किसी वर्ष की वार्षिक परीक्षा का प्रश्न नहीं है। स्रोत पृष्ठ मिलने पर ही वार्षिक प्रश्न जोड़े जाएँगे।
1
आधार 7 cm और ऊँचाई 4 cm पर क्षेत्रफल है —
💡 संकेत:
7 × 4।
समझो:
28 cm²।
2
माध्यिका वाले त्रिभुज में 20 cm² का एक भाग पूरे का है —
💡 संकेत:
दोगुना।
समझो:
40 cm²।
3
12 × 3 = ______ ।
💡 संकेत:
गुणा।
समझो:
36।
4
प्रमेय 9.2 त्रिभुजों पर है।
समझो:
सही।
5
आधार 16 cm, ऊँचाई 5 cm। समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल और उसी पर त्रिभुज लिखो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
16 × 5 = 80 cm²। त्रिभुज = 40 cm²।
अपना उत्तर जाँचो:
6
यह गुणांक अभ्यास है, क्षेत्रफल अध्याय का परिणाम नहीं। H2 + O2 से H2O के गुणांक भरकर संतुलित करो (खाली = 1)।
H2 + O2 → H2O
समझो: 2H2 + O2 → 2H2O
CBSE-शैली प्रश्न
0/6ये योग्यता-आधारित अभ्यास प्रश्न हैं। किसी CBSE प्रश्नपत्र की प्रति नहीं हैं।
1
खेत समांतर चतुर्भुज के आकार का है। नाप आधार 20 m और ऊँचाई 8 m है। क्षेत्रफल —
💡 संकेत:
20 × 8।
समझो:
160 m²। इकाई वर्ग मीटर है, केवल मीटर नहीं।
2
दो खेत एक ही मेड़ पर हैं और दूर की मेड़ समांतर है। क्षेत्रफल के बारे में ठीक बात —
💡 संकेत:
प्रमेय 9.1।
समझो:
एक ही आधार और समांतरों पर क्षेत्रफल बराबर होते हैं।
3
अभिकथन (A): एक ही आधार पर त्रिभुज का क्षेत्रफल समांतर चतुर्भुज का आधा है।
कारण (R): त्रिभुज की तीनों भुजाओं का योग 180 होता है।
समझो:
A सही है जब समांतर भी वही हों। R गलत है। 180° कोणों का योग है।
4
ग्राफ शीट पर वर्ग गिनना प्रमेय 9.1 का पूरा प्रमाण है।
समझो:
गलत — गिनती क्रियाकलाप 1 की जाँच है। प्रमाण प्रमेय में है।
5
आयताकार टाइल और झुकी समांतर चतुर्भुज टाइल एक ही आधार 12 cm पर हैं। ऊँचाई 5 cm है। दोनों क्षेत्रफल लिखो। तिरछी भुजा को ऊँचाई क्यों न मानें?
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
दोनों 12 × 5 = 60 cm², प्रमेय 9.1। तिरछी भुजा लंब नहीं है। ऊँचाई आधार पर लंब 5 cm है।
अपना उत्तर जाँचो:
6
त्रिभुजाकार प्लाट की माध्यिका उसे दो हिस्सों में बाँटती है। पूरा क्षेत्रफल 90 m² है। हर हिस्सा लिखो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
प्रत्येक हिस्सा 90 / 2 = 45 m²। माध्यिका क्षेत्रफल आधा करती है।
अपना उत्तर जाँचो:
🏛️ बोर्ड परीक्षा कॉर्नर — बिहार बोर्ड (BSEB)— CBSE
ऊपर «BSEB | CBSE» से बोर्ड बदलो। पाठ वही NCERT है।
BSEB मॉडल · अभ्यासबोर्ड टिप
इस पेज पर वार्षिक परीक्षा का सत्यापित प्रश्न नहीं है, क्योंकि स्रोत पृष्ठ नहीं जोड़ा गया। नीचे मॉडल सेट बोर्ड के पैटर्न पर अभ्यास के लिए है।
सत्यापित लेबल तभी लगेगा जब प्रश्न का स्रोत पृष्ठ उपलब्ध हो।
CBSE-शैली · योग्यता-आधारित
ये केस और अभिकथन-कारण अभ्यास हैं। इन्हें CBSE का पुराना प्रश्न मत समझो।
🔁 स्पेस्ड रिव्यू — आज के प्रश्न
गलत प्रश्न जल्दी लौटते हैं, सही वाले कुछ दिन बाद।
🧠 आपने क्या सीखा + समीकरण-पत्रक
आपने क्या सीखा
- एक ही आधार का अर्थ उभय भुजा है, और शेष शीर्ष आधार के समांतर रेखा पर होते हैं।
- एक ही आधार और एक ही समांतरों पर समांतर चतुर्भुजों के क्षेत्रफल बराबर होते हैं।
- क्षेत्रफल = आधार × संगत ऊँचाई। इकाई वर्ग सेंटीमीटर हो सकती है।
- उसी स्थिति में त्रिभुज का क्षेत्रफल समांतर चतुर्भुज का आधा होता है।
- एक ही आधार और एक ही समांतरों पर त्रिभुजों के क्षेत्रफल बराबर होते हैं।
- माध्यिका क्षेत्रफल आधा-आधा बाँटती है। अभ्यास 9.1 से 9.4 उसी क्रम में हैं।
| क्या | याद रखने लायक |
|---|---|
| आधार | common side, or equal bases |
| ऊँचाई | perpendicular to the base |
| समांतर चतुर्भुज | area = base × height |
| प्रमेय 9.1 | equal areas |
| त्रिभुज | half the parallelogram |
| माध्यिका | two equal areas |
नोट्स मूल लेखन हैं। पाठ्यपुस्तक केवल क्रम और क्रियाकलाप-संख्या के लिए संदर्भ है। «सत्यापित» केवल स्रोत पृष्ठ वाले प्रश्न पर लिखा जाएगा।