1
सर्वांगसम त्रिभुजों में समान होता है —
💡 संकेत:
एक दूसरे को ढके।
समझो:
आकार और माप दोनों।
कक्षा 9 · गणित · अध्याय 7 · बिहार बोर्ड (BSEB)CBSE · NCERT 2026-27
त्रिभुज
Triangles
इस पेज को ऐसे पढ़ो:
1. पढ़ो — सर्वांगसमता · SAS · ASA · AAS · अभ्यास 7.1 · समद्विबाहु · अभ्यास 7.2 · SSS · RHS · अभ्यास 7.3 · बड़ी भुजा · अभ्यास 7.4 · अभ्यास 7.5, चित्र, हल उदाहरण, बोर्ड टिप
2. जाँचो — हर पाठ के अपने प्रश्न; संख्या पाठ के हिसाब से
3. महारत ★ — उस पाठ के सब सही। गलत वाले «दोबारा करो»
4. याद रखने वाला चित्र दो त्रिभुज दिखाता है, जिनमें दो भुजाएँ और उनके बीच का कोण बराबर अंकित हैं।
यह क्रम बिहार की 15-अध्याय वाली गणित की किताब का है, और गणित मंजरी का अध्याय क्रम अलग है। प्रगति इसी ब्राउज़र में सेव रहती है।
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- 1 सर्वांगसम त्रिभुज और संगत भाग
- 2 SAS, ASA और AAS — अभ्यास 7.1
- 3 समद्विबाहु त्रिभुज — अभ्यास 7.2
- 4 SSS और RHS — अभ्यास 7.3
- 5 बड़ी भुजा और बड़ा कोण
- 6 त्रिभुज असमिका — अभ्यास 7.4
- 7 वैकल्पिक अभ्यास 7.5
- अध्याय-विजेता — सभी पाठ महारत ★
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सर्वांगसम त्रिभुज और संगत भाग
Congruent triangles and corresponding parts · पाठ्यपुस्तक 7.2 · संगतता · CPCT
पत्राचार तय करता है कि कौन भाग मेल खाता हैनोट्स
दो त्रिभुज सर्वांगसम तब हैं जब एक को दूसरे पर रखकर पूरा ढक सको। आकार और माप दोनों समान होते हैं। केवल कोण बराबर हों तो यह काफी नहीं। भुजा की लंबाई भी मेल खानी चाहिए।
पत्राचार ΔABC ↔ ΔPQR का अर्थ है A के साथ P, B के साथ Q, C के साथ R। तब AB = PQ, BC = QR, CA = RP, और कोण भी इसी क्रम से बराबर होते हैं। सर्वांगसमता के बाद यह लिखना CPCT कहलाता है: संगत भाग बराबर हैं।
पुस्तक की काट — त्रिभुज को दूसरे पर रखनाक्रियाकलाप
पुस्तक एक त्रिभुज की कई प्रतियाँ काटकर दूसरे पर रखने को कहती है। कुछ प्रतियाँ घुमाने पर ढक जाती हैं, एक नहीं ढकती। यह क्रमांकित क्रियाकलाप नहीं है। जो प्रति ढक जाए वह सर्वांगसम है। जो केवल कोणों में मिले और भुजा में न मिले, वह सर्वांगसम नहीं।
हल किया हुआ उदाहरणउदाहरण
प्रश्न: ΔABC ≅ ΔDEF और पत्राचार A↔D, B↔E, C↔F है। AB = 6 cm। DE और ∠B का जोड़ा लिखो।
नियम: CPCT, संगत भाग बराबर होते हैं।
मान: DE = AB = 6 cm। ∠B का जोड़ा ∠E है, इसलिए ∠B = ∠E।
10-सेकंड रिवीजन
- सर्वांगसम: आकार और माप दोनों
- पत्राचार संगत भाग तय करता है
- CPCT सर्वांगसमता के बाद लिखो
बोर्ड टिप · BSEBबोर्ड टिप
उत्तर में पत्राचार का क्रम वही रखो जो सर्वांगसमता के चिह्न में है। ABC ≅ DEF हो तो AB का जोड़ा DE है, DF नहीं।
बोर्ड टिप · CBSEबोर्ड टिप
केवल «बराबर हैं» मत लिखना। कौन-सा भाग किसके संगत है, यह एक पंक्ति में बताओ।
समझ जाँचोसब सही = महारत ★
2
तीनों कोण बराबर हों तो त्रिभुज अवश्य सर्वांगसम होते हैं।
समझो:
गलत — कोण बराबर होने से भुजा बड़ी रह सकती है। एक भुजा भी मेल खानी चाहिए।
3
ΔABC ≅ ΔPQR हो तो BC का संगत भाग ______ है।
💡 संकेत:
B↔Q और C↔R।
समझो:
QR।
4
CPCT का अर्थ है —
💡 संकेत:
पत्राचार के बाद।
समझो:
संगत भाग बराबर होते हैं।
5
ΔABC ≅ ΔLMN, पत्राचार A↔L, B↔M, C↔N। तीन संगत जोड़े लिखो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
AB = LM, BC = MN, ∠A = ∠L। यही CPCT है।
अपना उत्तर जाँचो:
SAS, ASA और AAS — अभ्यास 7.1
SAS, ASA and AAS — Exercise 7.1 · पाठ्यपुस्तक 7.3 · अभिगृहीत 7.1 · प्रमेय 7.1 · अभ्यास 7.1
बराबर भागों में से एक भुजा जरूरी हैनोट्स
अभिगृहीत 7.1 (SAS): दो भुजाएँ और उनके बीच का कोण बराबर हों तो त्रिभुज सर्वांगसम हैं। प्रमेय 7.1 (ASA): दो कोण और उनके बीच की भुजा बराबर हो तो भी सर्वांगसमता होती है।
AAS अलग दिखता है। दो कोण और एक संगत भुजा बराबर हो, भले भुजा बीच में न हो। तीसरा कोण 180° में से शेष बचता है, इसलिए जोड़ा ASA बन जाता है। तीनों कोण बराबर हों और कोई भुजा न दी हो तो सर्वांगसमता नहीं बनती। पुस्तक 40°, 50°, 90° वाले कई त्रिभुज दिखाती है।
अभ्यास 7.1 — नियम का नाम लिखकर CPCTक्रियाकलाप
अभ्यास 7.1 दिए हुए बराबर भागों से दो त्रिभुज सर्वांगसम सिद्ध करने को कहता है। पहले समान कोण और भुजा चिह्नित करो। फिर SAS, ASA या AAS में से एक नियम लिखो। उसके बाद CPCT से वह भुजा या कोण निकालो जो प्रश्न माँगता है। कोण बीच का है या नहीं, यह देखे बिना SAS मत लिखना।
हल किया हुआ उदाहरणउदाहरण
प्रश्न: ΔABC और ΔDEF में ∠B = ∠E = 50°, ∠C = ∠F = 60°, और BC = EF = 8 cm। नियम बताओ।
सूत्र: तीसरा कोण = 180° − (दिए दो कोण)। भुजा BC दोनों दिए कोणों के बीच है, इसलिए ASA।
मान: ∠A = 180° − (50° + 60°) = 70°। इकाई डिग्री है। BC शामिल भुजा है। ΔABC ≅ ΔDEF, ASA से।
10-सेकंड रिवीजन
- SAS: शामिल कोण, अभिगृहीत 7.1
- ASA: शामिल भुजा, प्रमेय 7.1
- AAA सर्वांगसमता नहीं देता
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BSEB उत्तर में नियम का नाम और नंबर दोनों दो। केवल चिह्न ≅ आधा कारण है।
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40°, 50°, 90° वाले अलग-अलग आकार दिखाकर बताओ कि तीन कोण भुजा के बिना काफी नहीं।
समझ जाँचोसब सही = महारत ★
1
SAS में बराबर कोण होता है —
💡 संकेत:
शामिल कोण।
समझो:
दो भुजाओं के बीच।
2
ASA सर्वांगसमता प्रमेय 7.1 है।
समझो:
सही। SAS अभिगृहीत 7.1 है, प्रमेय नहीं।
3
कोण 50° और 60° हों तो तीसरा कोण ______ डिग्री है।
💡 संकेत:
180 − 110।
समझो:
70°।
4
दो कोण 45° और 60° बराबर हैं और उनकी सम्मुख भुजाएँ नहीं, बल्कि एक अन्य संगत भुजा बराबर है। कौन-सा नियम लोगे और क्यों?
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
AAS। तीसरा कोण 180° − 105° = 75° भी बराबर हो जाता है, इसलिए एक भुजा के साथ सर्वांगसमता बनती है। SAS नहीं, क्योंकि कोण शामिल नहीं बताया गया।
अपना उत्तर जाँचो:
समद्विबाहु त्रिभुज — अभ्यास 7.2
Isosceles triangles — Exercise 7.2 · पाठ्यपुस्तक 7.4 · प्रमेय 7.2 · प्रमेय 7.3 · अभ्यास 7.2
बराबर भुजा के सामने बराबर कोणनोट्स
समद्विबाहु त्रिभुज में दो भुजाएँ बराबर होती हैं। प्रमेय 7.2: बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं। प्रमेय 7.3 विलोम है: बराबर कोणों की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं। प्रमाण कोण समद्विभाजक खींचकर SAS या ASA से होता है।
शीर्ष कोण और दो आधार कोण मिलकर 180° होते हैं। आधार कोण बराबर हों तो प्रत्येक = (180° − शीर्ष) / 2। समबाहु में तीनों भुजाएँ बराबर, इसलिए तीनों कोण 60°।
अभ्यास 7.2 — समद्विभाजक और बराबर कोणक्रियाकलाप
अभ्यास 7.2 समद्विबाहु त्रिभुज में कोण समद्विभाजक, समान कोण और एक ही आधार पर खड़े दो समद्विबाहु त्रिभुज देता है। पहले प्रमेय 7.2 या 7.3 से बराबर भाग लिखो। फिर छोटे त्रिभुजों पर SAS या ASA लगाओ। अंत में CPCT।
हल किया हुआ उदाहरणउदाहरण
प्रश्न: AB = AC और शीर्ष ∠A = 80°। आधार कोण निकालो।
सूत्र: प्रत्येक आधार कोण = (180° − शीर्ष कोण) / 2। प्रमेय 7.2 से दोनों बराबर हैं।
मान: (180° − 80°) / 2 = 100° / 2 = 50°। इकाई डिग्री है। ∠B = ∠C = 50°।
10-सेकंड रिवीजन
- प्रमेय 7.2: बराबर भुजा, बराबर कोण
- प्रमेय 7.3 विलोम है
- आधार कोण = (180° − शीर्ष) / 2
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80° को आधा करके 40° मत लिखना। पहले 180° − 80° = 100°, फिर आधा 50°।
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विलोम पूछे जाने पर प्रमेय 7.3 लिखो। बराबर कोण से भुजा सिद्ध होती है, भुजा से कोण नहीं।
समझ जाँचोसब सही = महारत ★
1
AB = AC हो तो —
💡 संकेत:
सम्मुख कोण।
समझो:
∠B = ∠C, प्रमेय 7.2।
2
प्रमेय 7.3, प्रमेय 7.2 का विलोम है।
समझो:
सही — बराबर कोणों की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं।
3
शीर्ष कोण 80° हो तो प्रत्येक आधार कोण ______ डिग्री है।
💡 संकेत:
(180 − 80) / 2।
समझो:
50°।
4
समबाहु त्रिभुज का प्रत्येक कोण है —
💡 संकेत:
180 / 3।
समझो:
60°।
5
∠B = ∠C है। कौन-सी भुजाएँ बराबर होंगी? प्रमेय नंबर दो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
∠B के सामने AC है और ∠C के सामने AB है, इसलिए AC = AB। यह प्रमेय 7.3 है।
अपना उत्तर जाँचो:
6
समद्विबाहु त्रिभुज में तीनों कोण सदा 60° होते हैं।
समझो:
गलत — 60° समबाहु की बात है। समद्विबाहु में केवल दो आधार कोण बराबर होते हैं।
SSS और RHS — अभ्यास 7.3
SSS and RHS — Exercise 7.3 · पाठ्यपुस्तक 7.5 · प्रमेय 7.4 · प्रमेय 7.5 · अभ्यास 7.3
तीनों भुजाएँ, या कर्ण और एक भुजानोट्स
प्रमेय 7.4 (SSS): तीनों भुजाएँ बराबर हों तो त्रिभुज सर्वांगसम हैं। कोण दिए बिना भी यह नियम चलता है। प्रमेय 7.5 (RHS): दो समकोण त्रिभुजों में कर्ण और एक भुजा बराबर हो तो वे सर्वांगसम हैं। समकोण कर्ण के सामने होता है।
RHS में समकोण शामिल कोण नहीं होता। इसलिए इसे SAS मत लिखना। एक न्यून कोण और कर्ण बराबर हों तो भी समकोण त्रिभुज में तीसरा कोण जुड़ जाता है, पर इस अध्याय का नामित नियम RHS और SSS है।
अभ्यास 7.3 — SSS या RHS चुनोक्रियाकलाप
अभ्यास 7.3 अक्सर एक ही आधार पर दो समद्विबाहु त्रिभुज, या समकोण और कर्ण देता है। तीनों जोड़े भुजाओं के हों तो SSS। एक कोण 90° और कर्ण तथा एक भुजा बराबर हों तो RHS। समकोण को साधारण भुजा मानकर SSS मत बना देना।
हल किया हुआ उदाहरणउदाहरण
प्रश्न: दो समकोण त्रिभुज में कर्ण 13 cm और एक भुजा 5 cm बराबर है। नियम लिखो।
नियम: RHS, प्रमेय 7.5। कर्ण समकोण के सामने की भुजा है।
जाँच: 5 cm भुजा है, 13 cm कर्ण है। दोनों त्रिभुजों में यह जोड़ा मेल खाता है, इसलिए त्रिभुज सर्वांगसम हैं।
10-सेकंड रिवीजन
- SSS तीन भुजाओं का नियम है
- RHS में कर्ण और एक भुजा
- RHS को SAS मत कहना
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कर्ण वह भुजा है जो 90° के सामने हो। किसी भी लंबी भुजा को कर्ण मत लिखना जब तक समकोण न हो।
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SSS में तीन जोड़े दिखाओ। दो भुजा लिखकर तीसरी «स्पष्ट है» मत छोड़ना।
समझ जाँचोसब सही = महारत ★
1
SSS सर्वांगसमता है —
💡 संकेत:
तीन भुजाएँ।
समझो:
प्रमेय 7.4।
2
RHS नियम किसी भी त्रिभुज पर चलता है, समकोण जरूरी नहीं।
समझो:
गलत — दोनों त्रिभुज समकोण वाले होने चाहिए।
3
कर्ण समकोण के ______ की भुजा है।
💡 संकेत:
90° के सामने।
समझो:
सामने।
4
कर्ण 13 cm और एक भुजा 5 cm दो समकोण त्रिभुजों में बराबर हों तो नियम है —
💡 संकेत:
प्रमेय 7.5।
समझो:
RHS।
5
AB = DE = 7 cm, BC = EF = 8 cm, CA = FD = 9 cm। कौन-सा प्रमेय सर्वांगसमता देता है?
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
तीनों भुजाएँ बराबर हैं, इसलिए ΔABC ≅ ΔDEF प्रमेय 7.4, SSS से।
अपना उत्तर जाँचो:
बड़ी भुजा और बड़ा कोण
The longer side and the larger angle · पाठ्यपुस्तक 7.6 · प्रमेय 7.6 · प्रमेय 7.7
असमान भुजा, असमान सम्मुख कोणनोट्स
प्रमेय 7.6: दो भुजाएँ असमान हों तो बड़ी भुजा के सामने का कोण बड़ा होता है। प्रमेय 7.7 विलोम है: बड़े कोण के सामने की भुजा लंबी होती है। यह विरोधाभास से सिद्ध होता है।
समद्विबाहु वाला परिणाम इससे अलग है। वहाँ भुजाएँ बराबर थीं, इसलिए कोण बराबर थे। यहाँ भुजाएँ असमान हैं, इसलिए कोण भी असमान हैं। बड़ा कोण 180° से ऊपर नहीं जा सकता।
पुस्तक की तीन माप — धागा, विषमबाहु, चापक्रियाकलाप
पुस्तक पहले पिन और धागे से भुजा BC बाँधकर पेंसिल घुमाती है। फिर एक विषमबाहु त्रिभुज नापने को कहती है: सबसे लंबी भुजा के सामने सबसे बड़ा कोण आता है। फिर AB को त्रिज्या मानकर चाप पर कई बिंदु जोड़ती है। ये तीनों जाँच «Activity» लिखी हैं। इन्हें 7.1 या 7.2 नंबर मत देना। नाप प्रमेय की जगह नहीं लेती।
हल किया हुआ उदाहरणउदाहरण
प्रश्न: भुजाएँ BC = 7 cm, CA = 5 cm, AB = 6 cm। सबसे बड़ा कोण कौन-सा है?
नियम: प्रमेय 7.6, बड़ी भुजा के सामने बड़ा कोण।
मान: सबसे बड़ी भुजा BC = 7 cm है। उसके सामने ∠A है। इसलिए सबसे बड़ा कोण ∠A है।
10-सेकंड रिवीजन
- प्रमेय 7.6: बड़ी भुजा, बड़ा कोण
- प्रमेय 7.7 विलोम है
- नाप वाली जाँच क्रमांकित क्रियाकलाप नहीं
बोर्ड टिप · BSEBबोर्ड टिप
कोण का नाम भुजा के सामने देखो। BC के सामने ∠A होता है, ∠B नहीं।
बोर्ड टिप · CBSEबोर्ड टिप
विषमबाहु की नाप को प्रमाण मत लिखना। लिखो कि नाप प्रमेय 7.6 से मेल खाती है।
समझ जाँचोसब सही = महारत ★
1
BC सबसे लंबी भुजा हो तो सबसे बड़ा कोण है —
💡 संकेत:
सामने का शीर्ष।
समझो:
∠A।
2
प्रमेय 7.7 कहती है कि बड़े कोण के सामने बड़ी भुजा होती है।
समझो:
सही — यह 7.6 का विलोम है।
3
भुजा 5 cm, 6 cm, 7 cm में सबसे बड़े कोण के सामने की भुजा ______ cm है।
💡 संकेत:
सबसे लंबी।
समझो:
7 cm।
4
∠B > ∠C हो तो कौन-सी भुजा बड़ी है? प्रमेय लिखो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
∠B के सामने AC है और ∠C के सामने AB है। AC > AB, प्रमेय 7.7 से।
अपना उत्तर जाँचो:
त्रिभुज असमिका — अभ्यास 7.4
The triangle inequality — Exercise 7.4 · पाठ्यपुस्तक 7.6 · प्रमेय 7.8 · अभ्यास 7.4
दो भुजाएँ मिलकर तीसरी से बड़ीनोट्स
प्रमेय 7.8: किन्हीं दो भुजाओं का योग तीसरी भुजा से बड़ा होता है। तीन जाँच करो: a + b > c, b + c > a, और c + a > b। एक भी जाँच गिरे तो त्रिभुज नहीं बनता।
अभ्यास 7.4 इसी असमिका और बड़े कोण की भाषा में है। समकोण त्रिभुज में कर्ण सबसे बड़ी भुजा है, क्योंकि उसके सामने 90° सबसे बड़ा कोण होता है। योग बराबर हो तो बिंदु एक रेखा पर आ जाते हैं, त्रिभुज नहीं बनता।
अभ्यास 7.4 — तीन जोड़ और बड़ा कोणक्रियाकलाप
अभ्यास 7.4 में समकोण की बड़ी भुजा, दो त्रिभुजों के कोणों की तुलना, और कोण समद्विभाजक वाली असमिका आती है। संख्या हो तो तीनों जोड़ लिखो और इकाई cm रखो। केवल चित्र हो तो प्रमेय 7.6 या 7.7 का नाम दो। वैकल्पिक अभ्यास अभी नहीं। वह 7.5 अगले पाठ में है।
हल किया हुआ उदाहरणउदाहरण
प्रश्न: 3 cm, 4 cm और 8 cm से त्रिभुज बनेगा या नहीं?
सूत्र: हर दो भुजाओं का योग तीसरी से बड़ा हो। प्रमेय 7.8।
मान: 3 + 4 = 7, और 7 > 8 नहीं। 3 + 8 = 11 > 4, तथा 4 + 8 = 12 > 3। एक जाँच गिरती है, इसलिए त्रिभुज नहीं। इकाई cm है।
10-सेकंड रिवीजन
- तीन जोड़, तीनों में तीसरी से बड़े
- बराबर योग पर त्रिभुज नहीं बनता
- कर्ण समकोण के सामने सबसे बड़ी भुजा
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केवल सबसे छोटी दो भुजाओं का जोड़ काफी है देखने के लिए, पर उत्तर में तीनों जाँच लिखो।
बोर्ड टिप · CBSEबोर्ड टिप
7 cm को 8 cm से «लगभग बड़ा» मत कहना। 7 > 8 गलत है, इसलिए त्रिभुज नहीं।
समझ जाँचोसब सही = महारत ★
1
3 cm, 4 cm, 8 cm पर त्रिभुज —
💡 संकेत:
3 + 4 = 7।
समझो:
नहीं बनता, क्योंकि 7 > 8 नहीं।
2
दो भुजाओं का योग तीसरी के बराबर हो तो भी त्रिभुज बन जाता है।
समझो:
गलत — योग बड़ा होना चाहिए, बराबर नहीं।
3
3 cm और 4 cm का योग ______ cm है।
💡 संकेत:
जोड़।
समझो:
7 cm।
4
समकोण त्रिभुज में सबसे बड़ी भुजा है —
💡 संकेत:
90° के सामने।
समझो:
कर्ण।
5
5 cm, 6 cm, 7 cm तीनों असमिका जाँच लिखो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
5 + 6 = 11 > 7, 6 + 7 = 13 > 5, 7 + 5 = 12 > 6। तीनों सच हैं, इसलिए त्रिभुज बनता है। इकाई cm है।
अपना उत्तर जाँचो:
6
प्रमेय 7.8 दो भुजाओं के योग की बात करती है।
समझो:
सही — योग तीसरी से बड़ा होता है।
वैकल्पिक अभ्यास 7.5
Optional Exercise 7.5 · पाठ्यपुस्तक · अभ्यास 7.5 वैकल्पिक
तीन शीर्षों से समान दूरी, तीन भुजाओं से समान दूरीनोट्स
पुस्तक अभ्यास 7.5 को वैकल्पिक बताती है। नंबर हटाया नहीं जाता। पहला बिंदु तीनों शीर्षों से समान दूरी पर होता है। दूसरा बिंदु तीनों भुजाओं से समान दूरी पर होता है।
AB का लंब समद्विभाजक उन बिंदुओं का रास्ता है जो A और B से समान दूरी पर हैं। BC का लंब समद्विभाजक B और C के लिए यही करता है। दोनों जहाँ मिलें, वहाँ से तीनों शीर्ष बराबर दूरी पर हैं। भुजाओं से समान दूरी वाले बिंदु के लिए कोण समद्विभाजक मिलते हैं। रंगोली वाला प्रश्न समरूप टुकड़े भरने की बात है, नया नंबर नहीं।
अभ्यास 7.5 — बिंदु और रंगोलीक्रियाकलाप
पहले भीतर वह बिंदु खोजो जो तीनों शीर्षों से समान दूरी पर हो। दो लंब समद्विभाजक काफी हैं। फिर वह बिंदु खोजो जो तीनों भुजाओं से समान दूरी पर हो। कोण समद्विभाजक उपयोग करो। पार्क वाले प्रश्न में भी यही दूरी की भाषा है। रंगोली में खाली समरूप हिस्से उसी नियम से भरो।
हल किया हुआ उदाहरणउदाहरण
प्रश्न: AB और BC के लंब समद्विभाजक O पर मिलते हैं। OA = 5 cm। OB और OC निकालो।
नियम: लंब समद्विभाजक पर का बिंदु सिरों से समान दूरी पर होता है।
मान: OA = OB = 5 cm, क्योंकि O, AB के लंब समद्विभाजक पर है। OB = OC = 5 cm, क्योंकि O, BC के लंब समद्विभाजक पर है। इसलिए OC = 5 cm। इकाई cm है।
10-सेकंड रिवीजन
- अभ्यास 7.5 वैकल्पिक है, पर नंबर वही है
- शीर्षों से समान दूरी: लंब समद्विभाजक
- भुजाओं से समान दूरी: कोण समद्विभाजक
बोर्ड टिप · BSEBबोर्ड टिप
दो बिंदुओं को एक मत लिखना। शीर्षों वाला बिंदु और भुजाओं वाला बिंदु अलग प्रश्न हैं।
बोर्ड टिप · CBSEबोर्ड टिप
5 cm केवल OA दिया है। OB और OC भी 5 cm इसलिए हैं कि O दोनों लंब समद्विभाजकों पर है। कारण लिखो।
समझ जाँचोसब सही = महारत ★
1
तीनों शीर्षों से समान दूरी वाला बिंदु मिलता है —
💡 संकेत:
सिरों से दूरी।
समझो:
लंब समद्विभाजक।
2
अभ्यास 7.5 वैकल्पिक है, इसलिए उसका नंबर 7.4 कर देना चाहिए।
समझो:
गलत — नंबर 7.5 ही रहता है। पुस्तक उसे वैकल्पिक कहती है।
3
OA = 5 cm और O दोनों लंब समद्विभाजकों पर हो तो OC ______ cm है।
💡 संकेत:
समान दूरी।
समझो:
5 cm।
4
तीनों भुजाओं से समान दूरी का बिंदु जुड़ा है —
💡 संकेत:
कोण आधे होते हैं।
समझो:
कोण समद्विभाजक।
5
अभ्यास 7.5 के दो भीतरी बिंदुओं में फर्क एक-एक पंक्ति में लिखो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
पहला बिंदु तीनों शीर्षों से समान दूरी पर है और लंब समद्विभाजकों का कटान है। दूसरा बिंदु तीनों भुजाओं से समान दूरी पर है और कोण समद्विभाजकों का कटान है।
अपना उत्तर जाँचो:
❓ पूरा प्रश्न बैंक — उत्तर व व्याख्या सहित — 66 प्रश्न
प्रकार चुनो। पाठों के 35 जाँच-प्रश्न अलग हैं — हर पाठ में जितने उसके विषय माँगते हैं। सब सही होने पर महारत ★ मिलती है।
BSEB मॉडलअभ्यास · वार्षिक नहीं60 किए · 0 सहीबहुविकल्पीMCQ130 किए · 0 सहीसही / गलतसही-गलत80 किए · 0 सहीरिक्त स्थानरिक्त स्थान80 किए · 0 सहीमिलान करोमिलान20 किए · 0 सहीअभिकथन-कारणअभिकथन-कारण50 किए · 0 सहीसमीकरण संतुलनसंतुलन40 किए · 0 सहीअभिक्रिया पहचानपहचान20 किए · 0 सहीलघु / दीर्घ उत्तरीयअति लघु, लघु, दीर्घ120 किए · 0 सहीCBSE-शैलीPYQ नहीं60 किए · 0 सही
कोई भी प्रश्न «सत्यापित PYQ» नहीं है। BSEB वाला सेट मॉडल अभ्यास है। CBSE वाले प्रश्न CBSE-शैली हैं, किसी वर्ष के पेपर की प्रति नहीं।
बहुविकल्पी
0/13एक विकल्प चुनो। गलत पर संकेत मिलेगा।
1
सर्वांगसम त्रिभुज होते हैं —
💡 संकेत:
पूरा ढकें।
समझो:
आकार और माप दोनों समान।
2
SAS का कोण होता है —
💡 संकेत:
अभिगृहीत 7.1।
समझो:
दो भुजाओं के बीच का कोण।
3
ASA है —
💡 संकेत:
शामिल भुजा।
समझो:
प्रमेय 7.1।
4
तीनों कोण बराबर हों तो —
💡 संकेत:
AAA काफी नहीं।
समझो:
भुजा भी चाहिए।
5
AB = AC हो तो बराबर कोण हैं —
💡 संकेत:
प्रमेय 7.2।
समझो:
∠B = ∠C।
6
शीर्ष 80° पर प्रत्येक आधार कोण है —
💡 संकेत:
(180 − 80) / 2।
समझो:
50°।
7
SSS है —
💡 संकेत:
तीन भुजाएँ।
समझो:
प्रमेय 7.4।
8
RHS किस त्रिभुज पर है?
💡 संकेत:
कर्ण समकोण के सामने।
समझो:
समकोण त्रिभुज।
9
सबसे लंबी भुजा BC हो तो सबसे बड़ा कोण है —
💡 संकेत:
प्रमेय 7.6।
समझो:
∠A।
10
3 cm, 4 cm, 8 cm —
💡 संकेत:
3 + 4 = 7।
समझो:
त्रिभुज नहीं।
11
ΔABC ≅ ΔPQR हो तो AB का जोड़ा है —
💡 संकेत:
A↔P, B↔Q।
समझो:
PQ।
12
तीनों शीर्षों से समान दूरी का बिंदु है —
💡 संकेत:
अभ्यास 7.5।
समझो:
लंब समद्विभाजक।
13
प्रमेय 7.8 में दो भुजाओं का योग होता है —
💡 संकेत:
असमिका।
समझो:
तीसरी से बड़ा।
सही / गलत
0/81
CPCT सर्वांगसमता से पहले की गई रचना का नाम है।
समझो:
गलत — CPCT संगत भागों की बराबरी है, सर्वांगसमता के बाद।
2
SAS अभिगृहीत 7.1 है।
समझो:
सही।
3
AAS में तीसरा कोण 180° के योग से बराबर होता है।
समझो:
सही — इसलिए एक भुजा के साथ सर्वांगसमता बनती है।
4
प्रमेय 7.3 बराबर भुजाओं से कोण सिद्ध करती है।
समझो:
गलत — 7.3 विलोम है। बराबर कोणों से भुजाएँ बराबर होती हैं।
5
RHS को SAS भी कह सकते हैं क्योंकि 90° शामिल कोण है।
समझो:
गलत — समकोण कर्ण और भुजा के बीच शामिल कोण नहीं माना जाता। नाम RHS है।
6
बड़े कोण के सामने बड़ी भुजा होती है।
समझो:
सही — प्रमेय 7.7।
7
5 cm, 6 cm, 7 cm त्रिभुज नहीं बनाते।
समझो:
गलत — 5 + 6 = 11 > 7, और बाकी जाँच भी सच हैं।
8
अभ्यास 7.5 का नंबर पुस्तक में वैकल्पिक लिखकर भी 7.5 ही है।
समझो:
सही।
रिक्त स्थान
0/81
ΔABC ≅ ΔDEF हो तो BC का जोड़ा ______ है।
💡 संकेत:
B↔E, C↔F।
समझो:
EF।
2
कोण 50° और 60° के बाद तीसरा ______ डिग्री है।
💡 संकेत:
180 − 110।
समझो:
70।
3
शीर्ष 80° पर आधार कोण ______ डिग्री है।
💡 संकेत:
100 का आधा।
समझो:
50।
4
SSS प्रमेय संख्या ______ है।
💡 संकेत:
RHS 7.5 है।
समझो:
7.4।
5
RHS प्रमेय संख्या ______ है।
💡 संकेत:
SSS 7.4 है।
समझो:
7.5।
6
भुजाएँ 5, 6, 7 cm में सबसे बड़ा कोण भुजा ______ cm के सामने है।
💡 संकेत:
सबसे लंबी भुजा।
समझो:
7।
7
3 + 4 = ______ , जो 8 से बड़ा नहीं।
💡 संकेत:
जोड़।
समझो:
7।
8
OA = 5 cm पर OC ______ cm है जब O दोनों लंब समद्विभाजकों पर हो।
💡 संकेत:
समान दूरी।
समझो:
5।
मिलान करो
0/21
नियम को उसके नंबर से मिलाओ।
स्तंभ B: A. प्रमेय 7.5 · B. अभिगृहीत 7.1 · C. प्रमेय 7.1 · D. प्रमेय 7.4
1. SAS
2. ASA
3. SSS
4. RHS
समझो:
SAS 7.1 अभिगृहीत, ASA प्रमेय 7.1, SSS प्रमेय 7.4, RHS प्रमेय 7.5।
2
कथन को प्रमेय से मिलाओ।
स्तंभ B: A. 7.8 · B. 7.2 · C. 7.7 · D. 7.6
1. बराबर भुजा, बराबर कोण
2. बड़ा कोण, बड़ी भुजा
3. दो भुजाओं का योग
4. बड़ी भुजा, बड़ा कोण
समझो:
7.2 समद्विबाहु कोण, 7.7 विलोम भुजा, 7.8 योग, 7.6 बड़ा कोण।
अभिकथन–कारण
0/5पहले दोनों कथन जाँचो, फिर देखो कि कारण व्याख्या है या नहीं।
1
अभिकथन (A): SAS में कोण दो भुजाओं के बीच होता है।
कारण (R): शामिल कोण वही है जो दोनों बराबर भुजाएँ बनाती हैं।
समझो:
दोनों सही हैं और R, A की व्याख्या है।
2
अभिकथन (A): बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं।
कारण (R): दो भुजाओं का योग तीसरी से बड़ा होता है।
समझो:
दोनों सही हैं, पर R समद्विबाहु कोण की व्याख्या नहीं करता।
3
अभिकथन (A): RHS दो समकोण त्रिभुजों का नियम है।
कारण (R): RHS में समकोण की जरूरत नहीं होती।
समझो:
A सही है। R गलत है।
4
अभिकथन (A): 3 cm, 4 cm और 8 cm त्रिभुज बनाते हैं।
कारण (R): दो भुजाओं का योग तीसरी से बड़ा होना चाहिए।
समझो:
A गलत है क्योंकि 7 > 8 नहीं। R सही है, प्रमेय 7.8।
5
अभिकथन (A): बड़ी भुजा के सामने बड़ा कोण होता है।
कारण (R): असमान भुजाओं में सम्मुख कोण भी असमान होते हैं और बड़ा कोण बड़ी भुजा के सामने आता है।
समझो:
दोनों सही हैं और R प्रमेय 7.6 की व्याख्या है।
गुणांक अभ्यास
0/4ये इस गणित अध्याय के परिणाम नहीं हैं। केवल H2 + O2 → H2O का गुणांक अभ्यास है।
1
यह गुणांक अभ्यास है, इस गणित अध्याय का परिणाम नहीं। H2 + O2 से H2O के गुणांक भरो (खाली = 1)। यह त्रिभुज का परिणाम नहीं है।
H2 + O2 → H2O
समझो: 2H2 + O2 → 2H2O
2
यह गुणांक अभ्यास है, इस गणित अध्याय का परिणाम नहीं। H2 + O2 से H2O के गुणांक भरो (खाली = 1)। हाइड्रोजन की गिनती मिलाओ।
H2 + O2 → H2O
समझो: 2H2 + O2 → 2H2O
3
यह गुणांक अभ्यास है, इस गणित अध्याय का परिणाम नहीं। H2 + O2 से H2O के गुणांक भरो (खाली = 1)। ऑक्सीजन की गिनती मिलाओ।
H2 + O2 → H2O
समझो: 2H2 + O2 → 2H2O
4
यह गुणांक अभ्यास है, इस गणित अध्याय का परिणाम नहीं। H2 + O2 से H2O के गुणांक भरो (खाली = 1)। खाली गुणांक 1 है।
H2 + O2 → H2O
समझो: 2H2 + O2 → 2H2O
वर्गीकरण
0/21
हर नियम को उसके प्रकार में रखो।
SAS
ASA
SSS
RHS
समझो:
केवल SAS अभिगृहीत 7.1 है। ASA, SSS और RHS प्रमेय हैं।
2
हर कथन को सही प्रमेय पर रखो।
बराबर भुजाएँ, बराबर कोण
बड़ी भुजा, बड़ा कोण
दो भुजाओं का योग बड़ा
दो बराबर भुजाएँ, दो बराबर कोण
समझो:
समद्विबाहु बात 7.2 के परिवार में है। बड़ी भुजा 7.6 है। योग 7.8 है।
अति लघु उत्तरीय
0/51
CPCT एक पंक्ति में लिखो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग बराबर होते हैं।
अपना उत्तर जाँचो:
2
अभिगृहीत 7.1 लिखो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
दो भुजाएँ और शामिल कोण बराबर हों तो त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं।
अपना उत्तर जाँचो:
3
शीर्ष कोण 40° वाले समद्विबाहु त्रिभुज के आधार कोण निकालो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
(180° − 40°) / 2 = 70°। दोनों आधार कोण 70° हैं।
अपना उत्तर जाँचो:
4
प्रमेय 7.5 किस त्रिभुज पर है?
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
दो समकोण त्रिभुज, जब कर्ण और एक भुजा बराबर हों।
अपना उत्तर जाँचो:
5
प्रमेय 7.8 एक पंक्ति में लिखो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
किन्हीं दो भुजाओं का योग तीसरी भुजा से बड़ा होता है।
अपना उत्तर जाँचो:
लघु उत्तरीय
0/41
∠B = ∠E = 40°, ∠C = ∠F = 70°, BC = EF। नियम और तीसरा कोण लिखो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
तीसरा कोण = 180° − 110° = 70°। BC शामिल भुजा है, इसलिए ASA, प्रमेय 7.1।
अपना उत्तर जाँचो:
2
भुजाएँ 4 cm, 5 cm, 6 cm। सबसे बड़ा कोण किसके सामने है? असमिका की एक जाँच भी लिखो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
सबसे बड़ी भुजा 6 cm है, इसलिए सबसे बड़ा कोण उसके सामने है। 4 + 5 = 9 > 6, इसलिए त्रिभुज बनता है।
अपना उत्तर जाँचो:
3
OA = 6 cm और O, AB तथा AC के लंब समद्विभाजकों का कटान है। OB और OC लिखो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
OB = OA = 6 cm और OC = OA = 6 cm, क्योंकि लंब समद्विभाजक पर दूरी बराबर होती है।
अपना उत्तर जाँचो:
4
दो समकोण त्रिभुजों में कर्ण 10 cm और एक भुजा 6 cm बराबर है। नियम का नाम और नंबर दो। SAS क्यों नहीं?
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
RHS, प्रमेय 7.5। SAS नहीं, क्योंकि 90° उस भुजा और कर्ण का शामिल कोण मानकर नहीं लिया जाता।
अपना उत्तर जाँचो:
दीर्घ उत्तरीय
0/31
SAS, ASA और AAS अपने शब्दों में लिखो। फिर 50° और 60° तथा शामिल भुजा 8 cm वाले उदाहरण में तीसरा कोण निकालो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
SAS में दो भुजाएँ और बीच का कोण। ASA में दो कोण और बीच की भुजा। AAS में दो कोण और एक संगत भुजा, तीसरा कोण 180° से बराबर होता है। तीसरा कोण = 180° − 110° = 70°।
अपना उत्तर जाँचो:
2
प्रमेय 7.2, 7.6 और 7.8 लिखो। शीर्ष 100° वाले समद्विबाहु त्रिभुज के आधार कोण निकालो। 2 cm, 3 cm, 6 cm पर एक वाक्य लिखो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
बराबर भुजाओं के कोण बराबर। बड़ी भुजा के सामने बड़ा कोण। दो भुजाओं का योग तीसरी से बड़ा। आधार कोण = (180° − 100°) / 2 = 40°। 2 + 3 = 5, जो 6 से बड़ा नहीं, इसलिए त्रिभुज नहीं।
अपना उत्तर जाँचो:
3
अभ्यास 7.1 से 7.5 का क्रम एक पंक्ति में लिखो। फिर SSS और RHS में फर्क, और अभ्यास 7.5 के दो बिंदुओं का फर्क लिखो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
क्रम 7.1, 7.2, 7.3, 7.4, फिर वैकल्पिक 7.5। SSS तीन भुजाएँ माँगता है। RHS समकोण, कर्ण और एक भुजा माँगता है। 7.5 का एक बिंदु शीर्षों से समान दूरी पर है, दूसरा भुजाओं से।
अपना उत्तर जाँचो:
BSEB मॉडल प्रश्न-पत्र · अभ्यास
0/6यह मॉडल सेट अभ्यास के लिए है। किसी वर्ष की वार्षिक परीक्षा का प्रश्न नहीं है। स्रोत पृष्ठ मिलने पर ही वार्षिक प्रश्न जोड़े जाएँगे।
1
समद्विबाहु त्रिभुज में AB = AC और ∠A = 70°। ∠B है —
💡 संकेत:
(180 − 70) / 2।
समझो:
55°।
2
कर्ण और एक भुजा बराबर हों तो दो समकोण त्रिभुज —
💡 संकेत:
प्रमेय 7.5।
समझो:
RHS।
3
4 cm, 5 cm, 10 cm में छोटी दो का योग ______ cm है।
💡 संकेत:
4 + 5।
समझो:
9।
4
प्रमेय 7.1 ASA है।
समझो:
सही।
5
भुजाएँ AB = 8 cm, BC = 6 cm, CA = 7 cm। सबसे बड़ा कोण और सबसे छोटा कोण किसके सामने हैं?
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
सबसे बड़ी भुजा AB = 8 cm के सामने ∠C है। सबसे छोटी BC = 6 cm के सामने ∠A है। प्रमेय 7.6।
अपना उत्तर जाँचो:
6
यह गुणांक अभ्यास है, त्रिभुज अध्याय का परिणाम नहीं। H2 + O2 से H2O के गुणांक भरकर संतुलित करो (खाली = 1)।
H2 + O2 → H2O
समझो: 2H2 + O2 → 2H2O
CBSE-शैली प्रश्न
0/6ये योग्यता-आधारित अभ्यास प्रश्न हैं। किसी CBSE प्रश्नपत्र की प्रति नहीं हैं।
1
छात्र ने 3 cm, 4 cm, 8 cm को त्रिभुज मान लिया। सुधार है —
💡 संकेत:
प्रमेय 7.8।
समझो:
7, 8 से बड़ा नहीं, इसलिए त्रिभुज नहीं।
2
पार्क में तीन खंभे हैं और पानी का नल उनसे समान दूरी पर चाहिए। नल बैठेगा —
💡 संकेत:
अभ्यास 7.5 की भाषा।
समझो:
लंब समद्विभाजकों का कटान तीनों शीर्षों से समान दूरी देता है।
3
अभिकथन (A): समद्विबाहु त्रिभुज में आधार कोण बराबर होते हैं।
कारण (R): त्रिभुज की तीनों भुजाओं का योग 180° होता है।
समझो:
A सही है। R गलत है। 180° कोणों का योग है, भुजाओं का नहीं।
4
तीन कोण 40°, 60° और 80° बराबर हों तो भुजाएँ भी सदा बराबर होती हैं।
समझो:
गलत — कोण मेल खाएँ तो आकार मिलता है, माप के लिए एक भुजा चाहिए।
5
खिड़की का एक त्रिभुजाकार फ्रेम समद्विबाहु है। शीर्ष कोण 96° है। आधार कोण निकालो और बताओ कि नाप प्रमाण क्यों नहीं।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
(180° − 96°) / 2 = 42°। दोनों आधार कोण 42° हैं। नाप चित्र समझाती है। कारण प्रमेय 7.2 और कोण योग 180° है।
अपना उत्तर जाँचो:
6
दो सीढ़ियों के सहारे समकोण बनाते हैं। कर्ण 15 m और एक भुजा 9 m दोनों में बराबर है। कौन-सा नियम फ्रेम को सर्वांगसम कहता है?
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
RHS, प्रमेय 7.5। कर्ण 15 m समकोण के सामने है और भुजा 9 m बराबर है। SAS नहीं लिखना।
अपना उत्तर जाँचो:
🏛️ बोर्ड परीक्षा कॉर्नर — बिहार बोर्ड (BSEB)— CBSE
ऊपर «BSEB | CBSE» से बोर्ड बदलो। पाठ वही NCERT है।
BSEB मॉडल · अभ्यासबोर्ड टिप
इस पेज पर वार्षिक परीक्षा का सत्यापित प्रश्न नहीं है, क्योंकि स्रोत पृष्ठ नहीं जोड़ा गया। नीचे मॉडल सेट बोर्ड के पैटर्न पर अभ्यास के लिए है।
सत्यापित लेबल तभी लगेगा जब प्रश्न का स्रोत पृष्ठ उपलब्ध हो।
CBSE-शैली · योग्यता-आधारित
ये केस और अभिकथन-कारण अभ्यास हैं। इन्हें CBSE का पुराना प्रश्न मत समझो।
🔁 स्पेस्ड रिव्यू — आज के प्रश्न
गलत प्रश्न जल्दी लौटते हैं, सही वाले कुछ दिन बाद।
🧠 आपने क्या सीखा + समीकरण-पत्रक
आपने क्या सीखा
- सर्वांगसम त्रिभुज माप और आकार दोनों में मेल खाते हैं, और संगत भाग बराबर होते हैं।
- SAS अभिगृहीत है। ASA प्रमेय है। AAS तीसरे कोण से चलता है। तीनों कोण काफी नहीं।
- बराबर भुजाओं के सामने बराबर कोण होते हैं, और विलोम भी सच है।
- SSS तीनों भुजाओं से है। RHS समकोण त्रिभुज में कर्ण और एक भुजा से है।
- बड़ी भुजा के सामने बड़ा कोण होता है, और बड़े कोण के सामने बड़ी भुजा।
- दो भुजाओं का योग तीसरी से बड़ा होता है। अभ्यास 7.1 से 7.5 उसी क्रम में हैं।
| क्या | याद रखने लायक |
|---|---|
| SAS | Axiom 7.1, included angle |
| ASA | Theorem 7.1 |
| SSS | Theorem 7.4 |
| RHS | Theorem 7.5 |
| समद्विबाहु | Theorems 7.2 and 7.3 |
| असमिका | side sum greater |
नोट्स मूल लेखन हैं। पाठ्यपुस्तक केवल क्रम और क्रियाकलाप-संख्या के लिए संदर्भ है। «सत्यापित» केवल स्रोत पृष्ठ वाले प्रश्न पर लिखा जाएगा।