1
वृत्त को ठीक एक बिंदु पर छूने वाली रेखा है —
💡 संकेत:
एक उभयनिष्ठ बिंदु।
समझो:
स्पर्श रेखा।
कक्षा 10 · गणित · अध्याय 10 · बिहार बोर्ड (BSEB)CBSE · NCERT 2026-27
वृत्त
Circles
इस पेज को ऐसे पढ़ो:
1. पढ़ो — क्रिया 1 सीमा · क्रिया 2 छेदक · प्रमेय 10.1 · क्रिया 3 गिनती · प्रमेय 10.2, चित्र, हल उदाहरण, बोर्ड टिप
2. जाँचो — हर पाठ के अपने प्रश्न; संख्या पाठ के हिसाब से
3. महारत ★ — उस पाठ के सब सही। गलत वाले «दोबारा करो»
4. याद रखने वाला चित्र वृत्त की त्रिज्या और स्पर्श रेखा के बीच समकोण दिखाता है।
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- 1 स्पर्श रेखा, छेदक की सीमा
- 2 जीवा सिकुड़कर बिंदु बनती है
- 3 त्रिज्या स्पर्श रेखा पर लंब है
- 4 अंदर शून्य, ऊपर एक, बाहर दो
- 5 बाहर से दोनों स्पर्श खंड बराबर
- 6 कोण और छोटी वृत्त को छूती जीवा
- अध्याय-विजेता — सभी पाठ महारत ★
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स्पर्श रेखा, छेदक की सीमा
The tangent, the limit of a secant · NCERT 10.2 · क्रिया 1 · एक स्पर्श बिंदु
एक बिंदु पर छूनानोट्स
वृत्त को एक बिंदु पर छूने वाली रेखा स्पर्श रेखा है। वह उभयनिष्ठ बिंदु स्पर्श बिंदु कहलाता है।
क्रिया 1 में तार P के चारों ओर घूमता है। जब दूसरा कटान P पर आ जाता है, रेखा स्पर्श रेखा बन जाती है। छेदक दो बिंदुओं पर काटती है। वृत्त पर हर बिंदु पर एक स्पर्श रेखा है, इसलिए स्पर्श रेखाएँ अनंत हैं। समांतर स्पर्श रेखाएँ अधिक से अधिक दो हैं, एक-एक तरफ।
तार को तब तक घुमाओ जब दूसरा बिंदु P बन जाएक्रियाकलाप
गोलाकार तार पर सीधा तार P पर टिका है। घुमाने पर वह वृत्त को P और किसी Q पर काटता है। Q धीरे-धीरे P की ओर आता है। दोनों बिंदु एक हो जाएँ तो रेखा अब काटती नहीं, छूती है। यही क्रिया 1 का निशान है।
हल किया हुआ उदाहरणउदाहरण
प्रश्न: एक रेखा वृत्त को कितने बिंदुओं पर काटे तो वह छेदक है, और कितने पर स्पर्श रेखा?
सूत्र: दो बिंदु = छेदक। एक बिंदु = स्पर्श रेखा।
प्रतिस्थापन: काटने के बिंदु गिनो। शून्य हो तो रेखा वृत्त से अलग है।
उत्तर: दो बिंदुओं पर छेदक। ठीक एक बिंदु पर स्पर्श रेखा। स्पर्श बिंदु वही एक बिंदु है।
10-सेकंड रिवीजन
- स्पर्श रेखा एक बिंदु पर छूती है
- छेदक दो बिंदुओं पर काटती है
- स्पर्श रेखाएँ अनंत, समांतर अधिक से अधिक दो
बोर्ड टिप · BSEBबोर्ड टिप
BSEB में स्पर्श बिंदु का नाम अलग लिखो। केवल “छूती है” अधूरा है।
बोर्ड टिप · CBSEबोर्ड टिप
CBSE में “एक वृत्त की एक ही स्पर्श रेखा” मत लिखो। अनंत होती हैं।
समझ जाँचोसब सही = महारत ★
2
एक वृत्त की स्पर्श रेखाएँ अनंत होती हैं।
समझो:
सही — हर बिंदु पर एक।
3
स्पर्श रेखा और वृत्त का उभयनिष्ठ बिंदु ______ कहलाता है।
💡 संकेत:
जहाँ वह छूती है।
समझो:
स्पर्श बिंदु।
4
वृत्त को दो बिंदुओं पर काटने वाली रेखा है —
💡 संकेत:
दो कटान।
समझो:
छेदक।
5
एक वृत्त की समांतर स्पर्श रेखाएँ तीन हो सकती हैं।
समझो:
गलत — अधिक से अधिक दो।
6
क्रिया 1 में तार घुमाने से स्पर्श रेखा कैसे बनती है?
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
दूसरा कटान बिंदु P की ओर आता है और अंत में P ही बन जाता है। रेखा तब एक ही बिंदु पर छूती है, इसलिए स्पर्श रेखा है।
अपना उत्तर जाँचो:
जीवा सिकुड़कर बिंदु बनती है
The chord shrinks to a point · क्रिया 2 · छेदक के समांतर रेखाएँ
जीवा की लंबाई शून्य होते ही स्पर्शनोट्स
क्रिया 2 में छेदक के समांतर रेखाएँ खींचो। जीवा छोटी होती जाती है और एक तरफ लंबाई शून्य हो जाती है। वही स्पर्श रेखा है।
इससे भी वही बात निकलती है जो क्रिया 1 से निकली: स्पर्श रेखा वह छेदक है जिसके जीवा के दोनों सिरे एक बिंदु हो गए हों। रेखा वृत्त के बिलकुल बाहर हो तो कटान शून्य है, वह स्पर्श नहीं।
समांतर रेखाएँ दोनों तरफ खींचोक्रियाकलाप
एक छेदक PQ खींचो। उसके समांतर रेखाएँ ऊपर और नीचे खींचो। बीच की जीवा लंबी है। किनारे की ओर जीवा छोटी होती है। जिस रेखा पर दो बिंदु मिल जाएँ, उसे स्पर्श रेखा कहो। दूसरी तरफ भी एक स्पर्श रेखा मिलेगी। इसलिए समांतर जोड़ी दो पर रुकती है।
हल किया हुआ उदाहरणउदाहरण
प्रश्न: एक छेदक के समांतर रेखाओं में जीवा 8 cm, फिर 3 cm, फिर 0 cm नापी जाती है। आखिरी रेखा क्या है?
सूत्र: जीवा की लंबाई 0 हो तो दोनों सिरे एक बिंदु हैं।
प्रतिस्थापन: 8 cm और 3 cm अभी दो बिंदु देते हैं, इसलिए वे छेदक हैं। 0 cm पर एक बिंदु बचता है।
उत्तर: आखिरी रेखा स्पर्श रेखा है। इकाई cm जीवा की थी। स्पर्श पर जीवा की लंबाई 0 cm है।
10-सेकंड रिवीजन
- जीवा 0 होते ही स्पर्श रेखा
- क्रिया 2 क्रिया 1 को दोहराती है
- बाहर की रेखा, जिसमें कटान न हो, स्पर्श नहीं
बोर्ड टिप · BSEBबोर्ड टिप
BSEB में 0 cm को “कोई रेखा नहीं” मत लिखो। वह स्पर्श रेखा है।
बोर्ड टिप · CBSEबोर्ड टिप
CBSE में क्रिया 1 और क्रिया 2 का क्रम मत उलटो। दोनों एक ही निष्कर्ष देते हैं।
समझ जाँचोसब सही = महारत ★
1
जीवा की लंबाई 0 cm हो तो रेखा है —
💡 संकेत:
दो सिरे एक बिंदु।
समझो:
स्पर्श रेखा।
2
क्रिया 2 में छेदक के समांतर रेखाएँ खींची जाती हैं।
समझो:
सही।
3
समांतर स्पर्श रेखाएँ अधिक से अधिक ______ होती हैं।
💡 संकेत:
एक-एक तरफ।
समझो:
2।
4
8 cm और 0 cm वाली दो समांतर रेखाओं में कौन छेदक है और कौन स्पर्श?
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
8 cm वाली छेदक है, क्योंकि दो बिंदु हैं। 0 cm वाली स्पर्श रेखा है।
अपना उत्तर जाँचो:
त्रिज्या स्पर्श रेखा पर लंब है
The radius is perpendicular to the tangent · प्रमेय 10.1 · प्रश्नावली 10.1
सबसे छोटी दूरी लंब होती हैनोट्स
केंद्र O से स्पर्श रेखा के बिंदुओं में स्पर्श बिंदु P सबसे पास है। इसलिए OP स्पर्श रेखा पर लंब है। यही प्रमेय 10.1 है।
बाहरी बिंदु Q हो और OQ ज्ञात हो तो स्पर्श लंबाई PQ = √(OQ² − r²)। त्रिज्या 5 cm और OQ = 13 cm हो तो PQ = 12 cm। अगर OQ = 12 cm और r = 5 cm हो तो PQ = √119 cm, 13 cm नहीं। प्रश्नावली 10.1 का तीसरा प्रश्न यही सावधानी है।
पाइथागोरस उलटा पढ़ोक्रियाकलाप
समकोण P पर है। कर्ण OQ है। PQ² = OQ² − OP²। 13² − 5² = 169 − 25 = 144, मूल 12। 12² − 5² = 144 − 25 = 119, मूल √119। ऋण लंबाई नहीं लेते।
हल किया हुआ उदाहरणउदाहरण
प्रश्न: त्रिज्या 5 cm है। केंद्र से बाहरी बिंदु Q की दूरी 13 cm है। स्पर्श लंबाई PQ निकालो।
सूत्र: PQ² = OQ² − r²।
प्रतिस्थापन: PQ² = 13² − 5² = 169 − 25 = 144।
उत्तर: PQ = 12 cm। जाँच: 5-12-13।
10-सेकंड रिवीजन
- OP ⊥ स्पर्श रेखा
- PQ = √(OQ² − r²)
- OQ = 12, r = 5 पर लंबाई √119 cm
बोर्ड टिप · BSEBबोर्ड टिप
BSEB में 169 − 25 = 144 की पंक्ति दिखाओ। सीधे 12 cm अधूरा है।
बोर्ड टिप · CBSEबोर्ड टिप
CBSE में √119 को 13 मत बना देना। 13 तब होता जब OQ = 13 हो।
समझ जाँचोसब सही = महारत ★
1
r = 5 cm, OQ = 13 cm। PQ है —
💡 संकेत:
169 − 25।
समझो:
12 cm।
2
r = 5 cm और OQ = 12 cm हो तो PQ = 13 cm।
समझो:
गलत — PQ = √(144 − 25) = √119 cm।
3
प्रमेय 10.1 में OP और स्पर्श रेखा के बीच कोण ______° है।
💡 संकेत:
लंब।
समझो:
90°।
4
स्पर्श बिंदु पर स्पर्श रेखा का लंब —
💡 संकेत:
प्रमेय 10.1 का उलटा उपयोग।
समझो:
वह लंब केंद्र से होकर जाता है।
5
r = 9 cm और OQ = 15 cm। स्पर्श लंबाई निकालो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
PQ² = 225 − 81 = 144। PQ = 12 cm।
अपना उत्तर जाँचो:
अंदर शून्य, ऊपर एक, बाहर दो
None inside, one on the circle, two outside · क्रिया 3 · प्रश्नावली 10.2 से पहले की गिनती
जगह गिनती तय करती हैनोट्स
क्रिया 3 तीन जगह जाँचती है। अंदर 0, वृत्त पर 1, बाहर 2।
अंदर के बिंदु से हर रेखा वृत्त को दो बार काटती है, इसलिए स्पर्श नहीं बनती। वृत्त पर के बिंदु से ठीक वही एक स्पर्श रेखा है जो प्रमेय 10.1 वाली है। बाहर से दो स्पर्श रेखाएँ बनती हैं और उनके स्पर्श बिंदु अलग होते हैं। प्रश्नावली 10.2 इन्हीं दो रेखाओं के कोण और लंबाई पूछती है।
बिंदु की जगह पहले लिखोक्रियाकलाप
कागज पर वृत्त खींचो। बिंदु अंदर रखो और रेखा घुमाओ: हमेशा दो कटान। बिंदु वृत्त पर रखो: एक ही स्पर्श। बिंदु बाहर रखो: ठीक दो रेखाएँ जो छूती हैं। गिनती 0, 1, 2 याद रखने की जगह है।
| बिंदु | स्पर्श रेखाएँ |
|---|---|
| अंदर | 0 |
| वृत्त पर | 1 |
| बाहर | 2 |
हल किया हुआ उदाहरणउदाहरण
प्रश्न: केंद्र से 3 cm दूर बिंदु है और त्रिज्या 5 cm है। उस बिंदु से कितनी स्पर्श रेखाएँ हैं?
सूत्र: केंद्र से दूरी और त्रिज्या की तुलना।
प्रतिस्थापन: 3 cm < 5 cm, इसलिए बिंदु अंदर है।
उत्तर: 0 स्पर्श रेखाएँ। अगर दूरी 5 cm होती तो 1, और 8 cm होती तो 2।
10-सेकंड रिवीजन
- अंदर 0
- वृत्त पर 1
- बाहर 2
बोर्ड टिप · BSEBबोर्ड टिप
BSEB में दूरी और त्रिज्या की तुलना की पंक्ति लिखो, फिर गिनती।
बोर्ड टिप · CBSEबोर्ड टिप
CBSE में “बाहर से अनंत स्पर्श रेखाएँ” मत लिखो। एक बिंदु से दो होती हैं।
समझ जाँचोसब सही = महारत ★
1
वृत्त के अंदर के बिंदु से स्पर्श रेखाएँ हैं —
💡 संकेत:
हर रेखा दो बार काटती है।
समझो:
0।
2
वृत्त पर के बिंदु से ठीक एक स्पर्श रेखा होती है।
समझो:
सही।
3
बाहर के एक बिंदु से स्पर्श रेखाएँ ______ होती हैं।
💡 संकेत:
क्रिया 3।
समझो:
2।
4
त्रिज्या 5 cm और केंद्र से दूरी 5 cm। स्पर्श रेखाएँ —
💡 संकेत:
बिंदु वृत्त पर है।
समझो:
1।
5
केंद्र से 8 cm और त्रिज्या 5 cm हो तो स्पर्श रेखाएँ शून्य हैं।
समझो:
गलत — बिंदु बाहर है, इसलिए 2।
6
त्रिज्या 6 cm है। बिंदु केंद्र से 6 cm और 10 cm पर हों तो गिनती अलग-अलग लिखो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
6 cm पर बिंदु वृत्त पर है, स्पर्श रेखा 1। 10 cm पर बिंदु बाहर है, स्पर्श रेखाएँ 2।
अपना उत्तर जाँचो:
बाहर से दोनों स्पर्श खंड बराबर
The two tangent segments from outside are equal · प्रमेय 10.2 · प्रश्नावली 10.2 · लंबाई
एक बाहरी बिंदु, दो बराबर लंबाइयाँनोट्स
बाहर के बिंदु T से स्पर्श बिंदु P और Q हों। TP = TQ। यही प्रमेय 10.2 है।
लंबाई फिर से पाइथागोरस है। स्पर्श खंड 8 cm हो और केंद्र से T की दूरी 10 cm हो तो त्रिज्या √(100 − 64) = 6 cm। प्रश्नावली 10.2 का पहला प्रश्न इसी त्रिक का बड़ा रूप है: 7 cm, 24 cm, 25 cm। परिगत चतुर्भुज में बराबर स्पर्श खंडों से AB + CD = AD + BC निकलता है।
जो लंबाई पूछी है उसे अज्ञात रखोक्रियाकलाप
OQ कर्ण है। स्पर्श लंबाई और त्रिज्या भुजाएँ हैं। तीन में से दो दी हों तो तीसरी निकालो। 24 cm स्पर्श और 25 cm केंद्र-दूरी हो तो r = √(625 − 576) = √49 = 7 cm। 8 और 10 से r = 6 cm।
हल किया हुआ उदाहरणउदाहरण
प्रश्न: बाहरी बिंदु से स्पर्श खंड 8 cm है और केंद्र से उस बिंदु की दूरी 10 cm है। त्रिज्या निकालो।
सूत्र: r² = OQ² − (स्पर्श)²।
प्रतिस्थापन: r² = 10² − 8² = 100 − 64 = 36।
उत्तर: r = 6 cm। दूसरा स्पर्श खंड भी 8 cm है।
10-सेकंड रिवीजन
- TP = TQ
- r = √(OQ² − स्पर्श²)
- AB + CD = AD + BC
बोर्ड टिप · BSEBबोर्ड टिप
BSEB में प्रमेय 10.2 का नाम और TP = TQ दोनों लिखो।
बोर्ड टिप · CBSEबोर्ड टिप
CBSE में 24 cm और 25 cm देखकर त्रिज्या 7 cm है, 24.5 cm नहीं।
समझ जाँचोसब सही = महारत ★
1
स्पर्श 8 cm, केंद्र से दूरी 10 cm। त्रिज्या है —
💡 संकेत:
100 − 64।
समझो:
6 cm।
2
एक बाहरी बिंदु से दोनों स्पर्श खंड बराबर होते हैं।
समझो:
सही — प्रमेय 10.2।
3
स्पर्श 24 cm और केंद्र-दूरी 25 cm हो तो त्रिज्या ______ cm है।
💡 संकेत:
625 − 576।
समझो:
7 cm।
4
परिगत चतुर्भुज ABCD में AB = 6 cm, BC = 7 cm, CD = 8 cm। AD निकालो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
AB + CD = AD + BC। 6 + 8 = AD + 7। AD = 7 cm।
अपना उत्तर जाँचो:
कोण और छोटी वृत्त को छूती जीवा
Angles, and the chord that touches the inner circle · प्रश्नावली 10.2 · 70°, 50° और जीवा
दो समकोण चतुर्भुज में बैठे हैंनोट्स
OP और OQ स्पर्श रेखाओं पर लंब हैं। कोण PTQ = 180° − कोण POQ। कोण POQ = 110° हो तो कोण PTQ = 70°।
बाहरी कोण 80° हो तो OP उसे आधा करती है, 40°। त्रिभुज OAP में 90° + 40° के बाद कोण POA = 50°। संकेंद्रित वृत्तों में बड़ी त्रिज्या 10 cm और छोटी 8 cm हो तो छूने वाली जीवा की आधी लंबाई √(100 − 64) = 6 cm, पूरी जीवा 12 cm।
360° में से दो समकोण घटाओक्रियाकलाप
चतुर्भुज OPTQ में 90° + 90° + 110° = 290°। बचा कोण 70°। बाहरी 80° वाले प्रश्न में आधा 40° है और 180° − 90° − 40° = 50°। जीवा वाले प्रश्न में आधी जीवा निकालकर दुगुना करो।
हल किया हुआ उदाहरणउदाहरण
प्रश्न: दो संकेंद्रित वृत्तों की त्रिज्याएँ 10 cm और 8 cm हैं। बड़ी वृत्त की वह जीवा निकालो जो छोटी को छूती है।
सूत्र: आधी जीवा = √(R² − r²)।
प्रतिस्थापन: √(10² − 8²) = √(100 − 64) = √36 = 6।
उत्तर: पूरी जीवा = 12 cm।
10-सेकंड रिवीजन
- कोण PTQ = 180° − कोण POQ
- बाहरी 80° पर कोण POA = 50°
- जीवा = 2√(R² − r²)
बोर्ड टिप · BSEBबोर्ड टिप
BSEB में 90° + 90° की पंक्ति दिखाओ, फिर बचा कोण।
बोर्ड टिप · CBSEबोर्ड टिप
CBSE में आधी जीवा को पूरा उत्तर मत छोड़ना। 6 cm आधी है, 12 cm पूरी।
समझ जाँचोसब सही = महारत ★
1
कोण POQ = 110° हो तो कोण PTQ है —
💡 संकेत:
180 − 110।
समझो:
70°।
2
दो स्पर्श रेखाएँ 80° पर हों तो कोण POA = 50°।
समझो:
सही — 180 − 90 − 40।
3
त्रिज्या 10 cm और 8 cm हों तो छूने वाली पूरी जीवा ______ cm है।
💡 संकेत:
2 × 6।
समझो:
12 cm।
4
कोण POQ = 110° वाले चतुर्भुज में स्पर्श बिंदुओं पर कोण हैं —
💡 संकेत:
प्रमेय 10.1।
समझो:
दोनों 90°।
5
कोण POQ = 120° हो तो बाहरी कोण PTQ निकालो। कारण एक पंक्ति में लिखो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
स्पर्श बिंदुओं पर 90° + 90° हैं। PTQ = 180° − 120° = 60°।
अपना उत्तर जाँचो:
❓ पूरा प्रश्न बैंक — उत्तर व व्याख्या सहित — 65 प्रश्न
प्रकार चुनो। पाठों के 30 जाँच-प्रश्न अलग हैं — हर पाठ में जितने उसके विषय माँगते हैं। सब सही होने पर महारत ★ मिलती है।
BSEB मॉडलअभ्यास · वार्षिक नहीं60 किए · 0 सहीबहुविकल्पीMCQ120 किए · 0 सहीसही / गलतसही-गलत80 किए · 0 सहीरिक्त स्थानरिक्त स्थान80 किए · 0 सहीमिलान करोमिलान20 किए · 0 सहीअभिकथन-कारणअभिकथन-कारण50 किए · 0 सहीसमीकरण संतुलनसंतुलन40 किए · 0 सहीअभिक्रिया पहचानपहचान20 किए · 0 सहीलघु / दीर्घ उत्तरीयअति लघु, लघु, दीर्घ120 किए · 0 सहीCBSE-शैलीPYQ नहीं60 किए · 0 सही
कोई भी प्रश्न «सत्यापित PYQ» नहीं है। BSEB वाला सेट मॉडल अभ्यास है। CBSE वाले प्रश्न CBSE-शैली हैं, किसी वर्ष के पेपर की प्रति नहीं।
बहुविकल्पी
0/12एक विकल्प चुनो। गलत पर संकेत मिलेगा।
1
वृत्त को एक बिंदु पर छूने वाली रेखा है —
💡 संकेत:
एक बिंदु।
समझो:
स्पर्श रेखा।
2
समांतर स्पर्श रेखाएँ अधिक से अधिक हैं —
💡 संकेत:
एक-एक तरफ।
समझो:
2।
3
r = 5 cm, OQ = 13 cm। स्पर्श लंबाई —
💡 संकेत:
169 − 25।
समझो:
12 cm।
4
r = 5 cm, OQ = 12 cm। स्पर्श लंबाई —
💡 संकेत:
144 − 25।
समझो:
√119 cm।
5
वृत्त के बाहर एक बिंदु से स्पर्श रेखाएँ —
💡 संकेत:
क्रिया 3।
समझो:
2।
6
स्पर्श 24 cm, केंद्र-दूरी 25 cm। त्रिज्या —
💡 संकेत:
625 − 576।
समझो:
7 cm।
7
कोण POQ = 110°। कोण PTQ —
💡 संकेत:
180 − 110।
समझो:
70°।
8
बाहरी कोण 80°। कोण POA —
💡 संकेत:
180 − 90 − 40।
समझो:
50°।
9
त्रिज्या 10 cm और 8 cm। पूरी जीवा —
💡 संकेत:
2 × 6।
समझो:
12 cm।
10
स्पर्श 8 cm, केंद्र से 10 cm। त्रिज्या —
💡 संकेत:
100 − 64।
समझो:
6 cm।
11
AB = 6, BC = 7, CD = 8, परिगत। AD —
💡 संकेत:
6 + 8 = AD + 7।
समझो:
7 cm।
12
केंद्र से दूरी त्रिज्या से कम हो तो स्पर्श रेखाएँ —
💡 संकेत:
बिंदु अंदर है।
समझो:
0।
सही / गलत
0/81
छेदक वृत्त को दो बिंदुओं पर काटती है।
समझो:
सही।
2
स्पर्श रेखा त्रिज्या के समांतर होती है।
समझो:
गलत — वह त्रिज्या पर लंब होती है।
3
वृत्त पर के बिंदु से ठीक एक स्पर्श रेखा होती है।
समझो:
सही।
4
TP और TQ एक बाहरी बिंदु से बराबर होते हैं।
समझो:
सही — प्रमेय 10.2।
5
OQ = 12 cm, r = 5 cm पर स्पर्श लंबाई 13 cm है।
समझो:
गलत — √119 cm।
6
परिगत चतुर्भुज में AB + CD = AD + BC।
समझो:
सही।
7
एक वृत्त की केवल दो स्पर्श रेखाएँ होती हैं।
समझो:
गलत — अनंत। समांतर अधिक से अधिक दो होती हैं।
8
कोण POQ = 120° हो तो कोण PTQ = 60°।
समझो:
सही — 180 − 120।
रिक्त स्थान
0/81
दो बिंदुओं पर काटने वाली रेखा ______ है।
💡 संकेत:
छेदक।
समझो:
स्पर्श नहीं।
2
OP और स्पर्श रेखा के बीच ______° है।
💡 संकेत:
90।
समझो:
प्रमेय 10.1।
3
r = 5, OQ = 13। PQ = ______ cm।
💡 संकेत:
12 cm।
समझो:
5-12-13।
4
बाहर से स्पर्श रेखाओं की संख्या ______ है।
💡 संकेत:
2।
समझो:
क्रिया 3।
5
24 cm और 25 cm पर त्रिज्या ______ cm है।
💡 संकेत:
7 cm।
समझो:
7-24-25।
6
कोण POQ = 110° हो तो PTQ = ______°।
💡 संकेत:
70।
समझो:
180 − 110।
7
त्रिज्या 10 और 8 पर पूरी जीवा ______ cm है।
💡 संकेत:
12 cm।
समझो:
2√36।
8
AB + CD = AD + ______।
💡 संकेत:
BC।
समझो:
परिगत चतुर्भुज।
मिलान करो
0/21
नाम को उसके अर्थ से मिलाओ।
स्तंभ B: A. TP = TQ · B. एक स्पर्श बिंदु · C. दो कटान · D. त्रिज्या लंब
1. स्पर्श रेखा
2. छेदक
3. प्रमेय 10.1
4. प्रमेय 10.2
समझो:
स्पर्श एक बिंदु, छेदक दो कटान, 10.1 लंब, 10.2 बराबर लंबाई।
2
क्रिया या प्रश्नावली को उसके काम से मिलाओ।
स्तंभ B: A. 70° जब केंद्र पर 110° · B. तार घुमाकर एक बिंदु · C. 0, 1, 2 · D. √(OQ² − r²)
1. क्रिया 1
2. क्रिया 3
3. 10.1 की लंबाई
4. 10.2 का कोण
समझो:
क्रिया 1 सीमा है, क्रिया 3 गिनती है, 10.1 लंबाई है, 10.2 कोण है।
अभिकथन–कारण
0/5पहले दोनों कथन जाँचो, फिर देखो कि कारण व्याख्या है या नहीं।
1
अभिकथन (A): r = 5 cm और OQ = 13 cm हो तो स्पर्श लंबाई 12 cm है।
कारण (R): PQ² = OQ² − r² और 169 − 25 = 144।
समझो:
दोनों सही हैं और R कारण है।
2
अभिकथन (A): एक वृत्त की स्पर्श रेखाएँ अनंत होती हैं।
कारण (R): बाहर के एक बिंदु से ठीक दो स्पर्श रेखाएँ होती हैं।
समझो:
दोनों सही हैं, पर R अनंत होने की व्याख्या नहीं। अनंत इसलिए कि हर बिंदु पर एक स्पर्श है।
3
अभिकथन (A): कोण POQ = 110° हो तो कोण PTQ = 70°।
कारण (R): स्पर्श बिंदुओं पर कोण 80° होते हैं।
समझो:
A सही है। R गलत है, वे कोण 90° हैं।
4
अभिकथन (A): वृत्त के अंदर के बिंदु से दो स्पर्श रेखाएँ खिंचती हैं।
कारण (R): अंदर से हर रेखा वृत्त को दो बिंदुओं पर काटती है।
समझो:
A गलत है। R सही है, इसलिए गिनती 0 है।
5
अभिकथन (A): त्रिज्या 10 cm और 8 cm पर छूने वाली जीवा 12 cm है।
कारण (R): आधी जीवा √(100 − 64) = 6 cm है।
समझो:
दोनों सही हैं और R आधी लंबाई है, पूरी 12 cm।
गुणांक अभ्यास
0/4ये रसायन की पंक्तियाँ इस गणित अध्याय का परिणाम नहीं हैं। केवल गुणांक भरने का अभ्यास है। खाली स्थान का अर्थ 1 है।
1
यह गुणांक अभ्यास है और इस गणित अध्याय का परिणाम नहीं। H2 + O2 से पानी बनने की पंक्ति में गुणांक भरो (खाली = 1)।
H2 + O2 → H2O
समझो: 2H2 + O2 → 2H2O
2
यह गुणांक अभ्यास है और इस गणित अध्याय का परिणाम नहीं। N2 + H2 से अमोनिया की पंक्ति में गुणांक भरो (खाली = 1)।
N2 + H2 → NH3
समझो: N2 + 3H2 → 2NH3
3
यह गुणांक अभ्यास है और इस गणित अध्याय का परिणाम नहीं। C + O2 से कार्बन डाइऑक्साइड की पंक्ति में गुणांक भरो (खाली = 1)।
C + O2 → CO2
समझो: C + O2 → CO2
4
यह गुणांक अभ्यास है और इस गणित अध्याय का परिणाम नहीं। CH4 + O2 की दहन पंक्ति में गुणांक भरो (खाली = 1)।
CH4 + O2 → CO2 + H2O
समझो: CH4 + 2O2 → CO2 + 2H2O
वर्गीकरण
0/21
हर रेखा को स्पर्श, छेदक या अलग में रखो।
एक स्पर्श बिंदु
दो कटान
कोई उभयनिष्ठ बिंदु नहीं
जीवा की लंबाई 0 cm
समझो:
एक बिंदु स्पर्श है। दो कटान छेदक हैं। कोई बिंदु न हो तो रेखा अलग है। 0 cm जीवा स्पर्श है।
2
हर बिंदु को उसकी स्पर्श-गिनती में रखो।
केंद्र से दूरी त्रिज्या से कम
दूरी त्रिज्या के बराबर
दूरी त्रिज्या से ज्यादा
समांतर स्पर्श रेखाओं की अधिक से अधिक गिनती
समझो:
अंदर 0, वृत्त पर 1, बाहर 2। समांतर भी अधिक से अधिक 2।
अति लघु उत्तरीय
0/51
स्पर्श रेखा की परिभाषा लिखो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
वृत्त को ठीक एक बिंदु पर छूने वाली रेखा स्पर्श रेखा है।
अपना उत्तर जाँचो:
2
प्रमेय 10.1 लिखो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
स्पर्श बिंदु से जाने वाली त्रिज्या स्पर्श रेखा पर लंब होती है।
अपना उत्तर जाँचो:
3
प्रमेय 10.2 लिखो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
बाहर के एक बिंदु से खींची स्पर्श रेखाओं के खंड बराबर होते हैं।
अपना उत्तर जाँचो:
4
अंदर, वृत्त पर और बाहर की गिनती लिखो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
0, 1 और 2।
अपना उत्तर जाँचो:
5
परिगत चतुर्भुज की भुजाओं का संबंध लिखो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
AB + CD = AD + BC।
अपना उत्तर जाँचो:
लघु उत्तरीय
0/41
r = 8 cm, OQ = 17 cm। स्पर्श लंबाई निकालो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
PQ² = 289 − 64 = 225। PQ = 15 cm।
अपना उत्तर जाँचो:
2
स्पर्श खंड 12 cm है और त्रिज्या 5 cm है। केंद्र से बाहरी बिंदु की दूरी निकालो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
OQ² = 144 + 25 = 169। OQ = 13 cm।
अपना उत्तर जाँचो:
3
कोण POQ = 100° हो तो कोण PTQ निकालो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
PTQ = 180° − 100° = 80°। स्पर्श बिंदुओं पर 90° हैं।
अपना उत्तर जाँचो:
4
संकेंद्रित त्रिज्याएँ 13 cm और 5 cm हैं। छोटी को छूने वाली बड़ी जीवा निकालो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
आधी जीवा √(169 − 25) = √144 = 12 cm। पूरी जीवा 24 cm।
अपना उत्तर जाँचो:
दीर्घ उत्तरीय
0/31
r = 5 cm और OQ = 12 cm पर स्पर्श लंबाई निकालो। फिर बताओ यह 13 cm क्यों नहीं है। उसी वृत्त पर OQ = 13 cm हो तो लंबाई क्या होगी?
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
PQ² = 144 − 25 = 119। PQ = √119 cm। 13 cm तब होता जब 5-12-13 में कर्ण 13 हो। OQ = 13 पर PQ² = 169 − 25 = 144, PQ = 12 cm।
अपना उत्तर जाँचो:
2
दो स्पर्श रेखाएँ 70° पर मिलती हैं। केंद्र पर कोण POA निकालो और बताओ OP कोण को क्यों आधा करती है।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
TP = TQ, OP उभयनिष्ठ और त्रिज्याएँ बराबर, इसलिए त्रिभुज सर्वांगसम हैं और OP कोण 70° को आधा करती है। आधा 35°। कोण POA = 180° − 90° − 35° = 55°।
अपना उत्तर जाँचो:
3
एक पहिया सड़क पर चलता है। सड़क स्पर्श रेखा क्यों है? त्रिज्या सड़क से कौन-सा कोण बनाती है? यदि त्रिज्या 14 cm हो और हब से एक बाहरी बिंदु 50 cm दूर हो तो स्पर्श लंबाई निकालो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
सड़क पहिये को एक बिंदु पर छूती है, इसलिए स्पर्श रेखा है। त्रिज्या 90° बनाती है। लंबाई √(2500 − 196) = √2304 = 48 cm।
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BSEB मॉडल प्रश्न-पत्र · अभ्यास
0/6यह मॉडल सेट अभ्यास के लिए है। किसी वर्ष की वार्षिक परीक्षा का प्रश्न नहीं है।
1
प्रश्नावली 10.1 में r = 5 cm, OQ = 12 cm का सही विकल्प है —
💡 संकेत:
144 − 25।
समझो:
√119 cm।
2
बाहर के बिंदु से स्पर्श रेखाएँ हैं —
💡 संकेत:
प्रमेय 10.2।
समझो:
2 और बराबर।
3
कोण POQ = 140° हो तो PTQ = ______°।
💡 संकेत:
40°।
समझो:
180 − 140।
4
स्पर्श लंबाई 9 cm है और त्रिज्या 12 cm है। केंद्र से बाहरी बिंदु की दूरी निकालो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
OQ² = 81 + 144 = 225। OQ = 15 cm।
अपना उत्तर जाँचो:
5
परिगत चतुर्भुज की तीन भुजाएँ 5 cm, 6 cm और 7 cm हैं, क्रम AB, BC, CD। AD निकालो। फिर बताओ यह संबंध स्पर्श खंडों से क्यों आता है।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
AB + CD = AD + BC। 5 + 7 = AD + 6। AD = 6 cm। एक ही बाहरी कोने से दो स्पर्श खंड बराबर होते हैं, इसलिए विपरीत जोड़ों का योग बराबर हो जाता है।
अपना उत्तर जाँचो:
6
अभिकथन (A): वृत्त पर के बिंदु से एक ही स्पर्श रेखा होती है।
कारण (R): उस बिंदु से दो बराबर स्पर्श खंड भी बनते हैं।
समझो:
A सही है। R गलत है। दो खंड बाहर के बिंदु से बनते हैं।
CBSE-शैली प्रश्न
0/6ये योग्यता-आधारित अभ्यास प्रश्न हैं। किसी वर्ष के प्रश्नपत्र की प्रति नहीं हैं।
1
एक छात्र OQ = 12 cm और r = 5 cm पर 13 cm चुनता है। सही लंबाई है —
💡 संकेत:
कर्ण 12 है, 13 नहीं।
समझो:
√(144 − 25) = √119 cm। 13 cm तब है जब OQ = 13।
2
पहिया सड़क को छूता है। सड़क है —
💡 संकेत:
एक स्पर्श बिंदु।
समझो:
स्पर्श रेखा, और त्रिज्या उस पर लंब है।
3
अभिकथन (A): AB = 5 cm, BC = 6 cm, CD = 7 cm वाली परिगत चतुर्भुज में AD = 6 cm।
कारण (R): AB + CD = AD + BC।
समझो:
दोनों सही हैं। 5 + 7 = AD + 6।
4
अभिकथन (A): वृत्त के अंदर से एक स्पर्श रेखा खींची जा सकती है।
कारण (R): अंदर के बिंदु से गुजरने वाली रेखा वृत्त को दो बिंदुओं पर काटती है।
समझो:
A गलत है। R सही है।
5
दो स्पर्श रेखाएँ 100° पर मिलती हैं। केंद्र पर कोण POA निकालो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
OP कोण को आधा करती है, 50°। समकोण स्पर्श बिंदु पर है। POA = 180 − 90 − 50 = 40°।
अपना उत्तर जाँचो:
6
संकेंद्रित वृत्तों की त्रिज्याएँ 25 cm और 7 cm हैं। छोटी को छूने वाली बड़ी जीवा निकालो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
आधी जीवा √(625 − 49) = √576 = 24 cm। पूरी जीवा 48 cm।
अपना उत्तर जाँचो:
🏛️ बोर्ड परीक्षा कॉर्नर — बिहार बोर्ड (BSEB)— CBSE
ऊपर «BSEB | CBSE» से बोर्ड बदलो। पाठ वही NCERT है।
BSEB मॉडल · अभ्यासबोर्ड टिप
इस पेज पर वार्षिक परीक्षा का सत्यापित प्रश्न नहीं है, क्योंकि स्रोत पृष्ठ नहीं जोड़ा गया। नीचे मॉडल सेट बोर्ड के पैटर्न पर अभ्यास के लिए है।
सत्यापित लेबल तभी लगेगा जब प्रश्न का स्रोत पृष्ठ उपलब्ध हो।
CBSE-शैली · योग्यता-आधारित
ये केस और अभिकथन-कारण अभ्यास हैं। इन्हें CBSE का पुराना प्रश्न मत समझो।
🔁 स्पेस्ड रिव्यू — आज के प्रश्न
गलत प्रश्न जल्दी लौटते हैं, सही वाले कुछ दिन बाद।
🧠 आपने क्या सीखा + समीकरण-पत्रक
आपने क्या सीखा
- स्पर्श रेखा एक बिंदु पर छूती है। छेदक दो बिंदुओं पर काटती है।
- त्रिज्या स्पर्श बिंदु पर स्पर्श रेखा के लंब होती है।
- अंदर से 0, वृत्त पर से 1, बाहर से 2 स्पर्श रेखाएँ।
- बाहर के एक बिंदु से दोनों स्पर्श खंड बराबर होते हैं।
- स्पर्श लंबाई² + त्रिज्या² = केंद्र से दूरी²।
- परिगत चतुर्भुज में AB + CD = AD + BC।
| क्या | याद रखने लायक |
|---|---|
| स्पर्श रेखा | one point of contact |
| छेदक | two intersection points |
| प्रमेय 10.1 | radius ⊥ tangent |
| गिनती | 0 inside, 1 on, 2 outside |
| प्रमेय 10.2 | equal tangent segments |
| परिगत | AB + CD = AD + BC |
नोट्स मूल लेखन हैं। पाठ्यपुस्तक केवल क्रम और क्रियाकलाप-संख्या के लिए संदर्भ है। «सत्यापित» केवल स्रोत पृष्ठ वाले प्रश्न पर लिखा जाएगा।