1
मीनार की चोटी देखते समय कोण है —
💡 संकेत:
सिर ऊपर।
समझो:
उन्नयन कोण।
कक्षा 10 · गणित · अध्याय 9 · बिहार बोर्ड (BSEB)CBSE · NCERT 2026-27
त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग
Some Applications of Trigonometry
इस पेज को ऐसे पढ़ो:
1. पढ़ो — दृष्टि रेखा · उन्नयन · कर्ण वाली रस्सी · टूटा पेड़ · दो कोण · अवनमन, चित्र, हल उदाहरण, बोर्ड टिप
2. जाँचो — हर पाठ के अपने प्रश्न; संख्या पाठ के हिसाब से
3. महारत ★ — उस पाठ के सब सही। गलत वाले «दोबारा करो»
4. याद रखने वाला चित्र मीनार, क्षैतिज भूमि और उन्नयन कोण दिखाकर tan = ऊँचाई/दूरी लिखता है।
प्रगति इसी ब्राउज़र में सेव रहती है।
🏅 आपकी उपलब्धियाँ — 0/6 बैज
🔥 0दिन की स्ट्रीक · सबसे लंबी 0
⭐ 0कुल XP · आज 0
🎓 1लेवल
अगला लेवल: 150 XP बाकीसही उत्तर +10 · संकेत के बाद +5 · रिव्यू +6 · बैज +25
पिछले 7 दिन:
सब कुछ इसी फ़ोन/ब्राउज़र में सेव होता है — कोई लॉगिन नहीं।
- 1 दृष्टि रेखा, उन्नयन और अवनमन
- 2 एक उन्नयन कोण से ऊँचाई
- 3 रस्सी, फिसलपट्टी और धागा
- 4 टूटा हुआ पेड़
- 5 दो उन्नयन कोण
- 6 अवनमन कोण से दूरी
- अध्याय-विजेता — सभी पाठ महारत ★
🎬 Shorts
इस अध्याय का कोई Short अभी चैनल पर नहीं है, इसलिए दस खाली कार्ड नहीं दिखाए गए। नोट्स, चित्र और जाँच-प्रश्न पूरे हैं।
📄 PDF डाउनलोड — नोट्स + उत्तर-कुंजी
दृष्टि रेखा, उन्नयन और अवनमन
Line of sight, elevation and depression · NCERT 9.1 · नाम, फिर प्रश्नावली
क्षैतिज से ऊपर या नीचेनोट्स
आँख से वस्तु तक की रेखा दृष्टि रेखा है। क्षैतिज से ऊपर का कोण उन्नयन है। क्षैतिज से नीचे का कोण अवनमन है।
मीनार का ऊपरी सिरा देखते समय सिर उठता है, यह उन्नयन है। बालकनी से नीचे गमला देखते समय सिर झुकता है, यह अवनमन है। प्रश्नावली 9.1 से पहले यही दो नाम तय करने हैं। कोण क्षैतिज के साथ बनता है, मीनार की दीवार के साथ नहीं।
पहले सिर की दिशा लिखोक्रियाकलाप
चित्र में आँख जमीन पर हो और रेखा ऊपर जाए तो उन्नयन। आँख ऊपर हो और रेखा नीचे जाए तो अवनमन। एक ही दृष्टि रेखा दोनों नाम नहीं ले सकती। नाम लिखे बिना tan मत लगाओ।
हल किया हुआ उदाहरणउदाहरण
प्रश्न: एक छात्र मीनार की चोटी देखता है। दूसरा छात्र छत से सड़क पर खड़े व्यक्ति को देखता है। कोण के नाम लिखो।
सूत्र: ऊपर की दृष्टि उन्नयन, नीचे की दृष्टि अवनमन।
प्रतिस्थापन: पहली दृष्टि क्षैतिज से ऊपर है। दूसरी क्षैतिज से नीचे है।
उत्तर: पहला उन्नयन कोण है। दूसरा अवनमन कोण है।
10-सेकंड रिवीजन
- उन्नयन = क्षैतिज से ऊपर
- अवनमन = क्षैतिज से नीचे
- कोण दीवार के साथ नहीं बनता
बोर्ड टिप · BSEBबोर्ड टिप
BSEB में पहले “उन्नयन” या “अवनमन” शब्द, फिर चित्र।
बोर्ड टिप · CBSEबोर्ड टिप
CBSE में दोनों को एक ही कोण मत कहो। सिर की दिशा अलग है।
समझ जाँचोसब सही = महारत ★
2
अवनमन कोण क्षैतिज से नीचे बनता है।
समझो:
सही — सिर झुकता है।
3
आँख से वस्तु तक की रेखा का नाम ______ है।
💡 संकेत:
देखने की रेखा।
समझो:
दृष्टि रेखा।
4
छत से सड़क देखना है —
💡 संकेत:
रेखा नीचे जाती है।
समझो:
अवनमन।
5
उन्नयन और अवनमन में एक अंतर लिखो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
उन्नयन क्षैतिज से ऊपर होता है और अवनमन क्षैतिज से नीचे। दोनों दृष्टि रेखा के कोण हैं।
अपना उत्तर जाँचो:
एक उन्नयन कोण से ऊँचाई
Height from one angle of elevation · प्रश्नावली 9.1 · मीनार और tan
ऊँचाई = दूरी × tan कोणनोट्स
मीनार खड़ी है, समकोण पैर पर है। जमीन पर कोण C हो और दूरी BC हो। tan C = AB/BC, इसलिए ऊँचाई = दूरी × tan C।
45° पर tan = 1, ऊँचाई = दूरी। 30° पर ऊँचाई = दूरी/√3। 60° पर ऊँचाई = दूरी × √3। प्रश्नावली 9.1 का मीनार वाला प्रश्न यही है। इकाई मीटर रखो। उत्तर में √3 छोड़ो, जब तक प्रश्न दशमलव न माँगे।
समकोण पैर पर लगाओक्रियाकलाप
दूरी 20 m और कोण 45° हो तो tan 45° = h/20। 1 = h/20। h = 20। दूरी 30 m और कोण 30° हो तो h = 30 × 1/√3 = 10√3। चित्र के बिना अनुपात की भुजाएँ अदल-बदल जाती हैं।
हल किया हुआ उदाहरणउदाहरण
प्रश्न: मीनार के पैर से 20 m दूर जमीन पर उन्नयन कोण 45° है। ऊँचाई निकालो।
सूत्र: tan 45° = ऊँचाई / दूरी।
प्रतिस्थापन: 1 = h / 20।
उत्तर: h = 20 m। जाँच: 45° पर सम्मुख और आसन्न बराबर होते हैं।
10-सेकंड रिवीजन
- tan = ऊँचाई/दूरी
- 45° पर ऊँचाई = दूरी
- इकाई m है
बोर्ड टिप · BSEBबोर्ड टिप
BSEB में tan की पंक्ति, फिर प्रतिस्थापन, फिर मीटर।
बोर्ड टिप · CBSEबोर्ड टिप
CBSE में 30° पर 10√3 m लिखो। 17.3 लिखना तभी जब प्रश्न कहे।
समझ जाँचोसब सही = महारत ★
1
20 m दूर, उन्नयन 45° हो तो मीनार की ऊँचाई है —
💡 संकेत:
tan 45° = 1।
समझो:
20 m।
2
30 m दूर और उन्नयन 30° हो तो ऊँचाई 30 m है।
समझो:
गलत — ऊँचाई 30/√3 = 10√3 m है।
3
दूरी 30 m और कोण 30° हो तो ऊँचाई ______ m है।
💡 संकेत:
30 × 1/√3।
समझो:
10√3 m।
4
दूरी 10 m और उन्नयन 60° हो तो ऊँचाई है —
💡 संकेत:
tan 60° = √3।
समझो:
10√3 m।
5
उन्नयन कोण जमीन वाले कोने पर लगता है जब आँख जमीन पर हो।
समझो:
सही — सम्मुख भुजा मीनार है।
6
पैर से 15 m दूर उन्नयन 45° है। ऊँचाई निकालो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
tan 45° = h/15। 1 = h/15। h = 15 m।
अपना उत्तर जाँचो:
रस्सी, फिसलपट्टी और धागा
Rope, slide and string · प्रश्नावली 9.1 · प्रश्न 1, 3, 5 · कर्ण
तिरछी लंबाई कर्ण हैनोट्स
रस्सी, फिसलपट्टी या पतंग का धागा जमीन से कोण बनाता है। ऊँचाई = लंबाई × sin कोण। लंबाई = ऊँचाई / sin कोण।
sin 30° = 1/2 और sin 60° = √3/2। धागे में ढील नहीं मानते, यही प्रश्नावली की शर्त है। cos तब लगता है जब जमीन पर पड़ी दूरी निकालनी हो: दूरी = लंबाई × cos कोण।
कौन-सी भुजा दी है, वही तय करोक्रियाकलाप
10 m रस्सी, कोण 30°। रस्सी कर्ण है। ऊँचाई = 10 × 1/2 = 5 m। फिसलपट्टी की ऊँचाई 3 m और कोण 60° हो तो लंबाई = 3 / (√3/2) = 2√3 m। ऊँचाई को कर्ण मत समझ लेना।
हल किया हुआ उदाहरणउदाहरण
प्रश्न: 10 m लंबी रस्सी जमीन से 30° बनाती है। खंभे की ऊँचाई निकालो।
सूत्र: sin 30° = ऊँचाई / रस्सी।
प्रतिस्थापन: 1/2 = h / 10।
उत्तर: h = 5 m। जमीन पर दूरी = 10 × cos 30° = 5√3 m।
10-सेकंड रिवीजन
- रस्सी कर्ण है
- ऊँचाई = लंबाई × sin कोण
- ढील वाला धागा इस अनुपात में नहीं आता
बोर्ड टिप · BSEBबोर्ड टिप
BSEB में “कर्ण = रस्सी” एक शब्दों की पंक्ति लिखो।
बोर्ड टिप · CBSEबोर्ड टिप
CBSE में sin और tan को एक ही प्रश्न में मत बदलो। दी हुई भुजा देखो।
समझ जाँचोसब सही = महारत ★
1
10 m रस्सी, कोण 30°। खंभे की ऊँचाई है —
💡 संकेत:
10 × 1/2।
समझो:
5 m।
2
3 m ऊँची और 60° वाली फिसलपट्टी की लंबाई 3 m है।
समझो:
गलत — लंबाई 3/(√3/2) = 2√3 m।
3
10 m रस्सी और 30° पर जमीन की दूरी ______ m है।
💡 संकेत:
10 × √3/2।
समझो:
5√3 m।
4
पतंग की ऊँचाई 20 m है और धागा जमीन से 30° पर है। ढील नहीं है। धागे की लंबाई निकालो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
sin 30° = 20/L। 1/2 = 20/L। L = 40 m।
अपना उत्तर जाँचो:
टूटा हुआ पेड़
A broken tree · प्रश्नावली 9.1 · प्रश्न 2 · ठूँठ + कर्ण
ऊँचाई दो टुकड़ों का योग हैनोट्स
पेड़ टूटकर झुकता है और सिरा जमीन छूता है। ठूँठ खड़ी भुजा है। टूटा भाग कर्ण है। पूरी ऊँचाई = दूरी × tan कोण + दूरी / cos कोण।
कोण 30° और दूरी 6 m हो तो ठूँठ = 6/√3 = 2√3 m और टूटा भाग = 6/(√3/2) = 4√3 m। योग 6√3 m। केवल ठूँठ लिखना आधा उत्तर है। प्रश्नावली 9.1 का दूसरा प्रश्न यही ढाँचा है।
समकोण पैर पर, कोण छूने वाले बिंदु परक्रियाकलाप
पैर A, ठूँठ का सिरा B, छूने का बिंदु C। कोण C पर है। AC दूरी है, AB ठूँठ है, BC टूटा भाग है। tan C = AB/AC और cos C = AC/BC। दोनों निकालकर जोड़ो।
हल किया हुआ उदाहरणउदाहरण
प्रश्न: टूटा भाग जमीन से 30° बनाता है और पैर से छूने की दूरी 6 m है। पेड़ की पूरी ऊँचाई निकालो।
सूत्र: ठूँठ = 6 tan 30°, टूटा भाग = 6 / cos 30°।
प्रतिस्थापन: ठूँठ = 6 × 1/√3 = 2√3 m। टूटा भाग = 6 / (√3/2) = 4√3 m।
उत्तर: पूरी ऊँचाई = 2√3 + 4√3 = 6√3 m।
10-सेकंड रिवीजन
- ठूँठ = दूरी × tan कोण
- टूटा भाग कर्ण है
- पूरी ऊँचाई दोनों का योग है
बोर्ड टिप · BSEBबोर्ड टिप
BSEB में ठूँठ और टूटे भाग की दो पंक्तियाँ अलग रखो, फिर योग।
बोर्ड टिप · CBSEबोर्ड टिप
CBSE में 6√3 m को केवल 2√3 m मत छोड़ना। योग छूट जाता है।
समझ जाँचोसब सही = महारत ★
1
दूरी 6 m, कोण 30°। टूटे पेड़ की पूरी ऊँचाई है —
💡 संकेत:
2√3 + 4√3।
समझो:
6√3 m।
2
उसी प्रश्न में ठूँठ 2√3 m है।
समझो:
सही — 6 × tan 30°।
3
उसी प्रश्न में टूटे भाग की लंबाई ______ m है।
💡 संकेत:
6 / cos 30°।
समझो:
4√3 m।
4
टूटे पेड़ में कर्ण है —
💡 संकेत:
तिरछी भुजा।
समझो:
टूटा भाग कर्ण है।
5
दूरी 3 m और कोण 30° हो तो ठूँठ और पूरी ऊँचाई निकालो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
ठूँठ = 3/√3 = √3 m। टूटा भाग = 3/(√3/2) = 2√3 m। पूरी ऊँचाई = 3√3 m।
अपना उत्तर जाँचो:
दो उन्नयन कोण
Two angles of elevation · प्रश्नावली 9.1 · प्रश्न 6 से 11 · चलना और दो ऊँचाइयाँ
पास वाला कोण बड़ा होता हैनोट्स
वस्तु की ओर चलो तो उन्नयन कोण बढ़ता है। पहली जगह दूरी x + d हो और कोण 30°, पास वाली जगह दूरी x हो और कोण 60°। h = x √3 और h = (x + d)/√3।
d = 10 m हो तो x + 10 = 3x, x = 5 m और h = 5√3 m। आँख जमीन पर न हो तो त्रिभुज की ऊँचाई में से आँख की ऊँचाई घटाओ। मीनार छत पर हो तो नीचे की इमारत और ऊपर की मीनार के दो tan अलग लिखो। प्रश्नावली 9.1 के बीच के प्रश्न यही हैं।
दो समीकरण, एक hक्रियाकलाप
tan 60° = h/x देता है h = x√3। tan 30° = h/(x+10) देता है 1/√3 = x√3/(x+10)। इसलिए x+10 = 3x। चला गया फासला 10 m है और बची दूरी 5 m। दोनों कोण एक ही ऊँचाई के हैं।
हल किया हुआ उदाहरणउदाहरण
प्रश्न: एक बिंदु से मीनार का उन्नयन 30° है। 10 m पास जाने पर कोण 60° हो जाता है। ऊँचाई और बची दूरी निकालो।
सूत्र: tan 60° = h/x, tan 30° = h/(x+10)।
प्रतिस्थापन: h = x√3। 1/√3 = x√3/(x+10)। x+10 = 3x। x = 5।
उत्तर: बची दूरी 5 m। ऊँचाई 5√3 m। चली हुई दूरी 10 m है।
10-सेकंड रिवीजन
- पास जाने पर कोण बढ़ता है
- 60° और 30° में बची दूरी चली दूरी की आधी
- आँख की ऊँचाई घटाओ
बोर्ड टिप · BSEBबोर्ड टिप
BSEB में x और x+d दोनों चित्र पर लिखो। एक ही दूरी से दो कोण मत निकालो।
बोर्ड टिप · CBSEबोर्ड टिप
CBSE में 1.5 m आँख हो तो 30 m इमारत की त्रिभुज-ऊँचाई 28.5 m होती है। पूरे 30 m मत रखो।
समझ जाँचोसब सही = महारत ★
1
30° से 60° तक 10 m पास जाने पर बची दूरी है —
💡 संकेत:
x+10 = 3x।
समझो:
5 m। ऊँचाई 5√3 m।
2
उसी स्थिति में मीनार की ऊँचाई 5√3 m है।
समझो:
सही — h = 5 × √3।
3
1.5 m आँख और 30 m इमारत हो तो त्रिभुज की ऊँचाई ______ m है।
💡 संकेत:
30 − 1.5।
समझो:
28.5 m।
4
वस्तु की ओर चलने पर उन्नयन कोण —
💡 संकेत:
पास का कोण बड़ा।
समझो:
बढ़ता है।
5
दो कोण एक ही दूरी पर लगाकर दोनों tan बराबर कर देते हैं।
समझो:
गलत — दूरियाँ x और x+d अलग हैं।
6
20 m पास जाने पर कोण 30° से 60° हो जाए तो बची दूरी और ऊँचाई निकालो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
x+20 = 3x, इसलिए x = 10 m। h = 10√3 m।
अपना उत्तर जाँचो:
अवनमन कोण से दूरी
Distance from an angle of depression · प्रश्नावली 9.1 · प्रश्न 12 से 15
ऊपर का कोण जमीन वाले कोने में उतरता हैनोट्स
अवनमन ऊपर की क्षैतिज से नापा जाता है। जमीन समांतर है, इसलिए त्रिभुज में जमीन वाला कोण अवनमन के बराबर होता है।
12 m छत से अवनमन 30° हो तो tan 30° = 12/d और d = 12√3 m। दो नाव एक तरफ हों, कोण 45° और 30°, चट्टान 40 m हो तो पास वाली दूरी 40 m और दूर वाली 40√3 m। अंतर 40(√3 − 1) m। प्रश्नावली 9.1 के आखिरी प्रश्न अवनमन के हैं। कार की चाल एकसमान हो तो समय दूरियों के अनुपात में होता है।
अवनमन को जमीन के कोने में उतारोक्रियाकलाप
छत से देखो तो कोण ऊपर लगा है, पर गणना वाले त्रिभुज में वह जमीन पर बैठता है। मीनार और दृष्टि रेखा के बीच 60° लिख देना भूल है। वह कोण 90° − अवनमन होता। पतंग या कार के दो स्थान हों तो दोनों दूरियाँ घटाओ।
हल किया हुआ उदाहरणउदाहरण
प्रश्न: 12 m ऊँची छत से एक बिंदु का अवनमन 30° है। पैर से उस बिंदु की दूरी निकालो।
सूत्र: जमीन वाला कोण 30° है। tan 30° = 12/d।
प्रतिस्थापन: 1/√3 = 12/d।
उत्तर: d = 12√3 m।
10-सेकंड रिवीजन
- अवनमन = जमीन वाला कोण
- 45° पर दूरी = ऊँचाई
- दो नावों का अंतर दूरियाँ घटाकर
बोर्ड टिप · BSEBबोर्ड टिप
BSEB में लिखो कि क्षैतिज समांतर हैं, इसलिए कोण बराबर है।
बोर्ड टिप · CBSEबोर्ड टिप
CBSE में 40(√3 − 1) m को 40√3 − 40 भी लिख सकते हो। जोड़ मत कर देना।
समझ जाँचोसब सही = महारत ★
1
12 m छत, अवनमन 30°। पैर से दूरी है —
💡 संकेत:
d = 12 × √3।
समझो:
12√3 m।
2
40 m चट्टान से 45° और 30° पर दो नावों के बीच दूरी 40(√3 − 1) m है।
समझो:
सही — 40√3 − 40।
3
45° अवनमन और ऊँचाई 40 m हो तो पास वाली दूरी ______ m है।
💡 संकेत:
tan 45° = 1।
समझो:
40 m।
4
कार पहले 30° अवनमन पर है और 6 सेकंड बाद 60° पर। बची दूरी पहली दूरी का कौन-सा भाग है?
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
60° और 30° में बची दूरी, चली हुई दूरी की आधी होती है, इसलिए पहली दूरी का एक-तिहाई बची है। समय दूरी के अनुपात में है। पैर तक 6 × (1/2) = 3 सेकंड और लगेंगे, क्योंकि चली दूरी बची दूरी की दोगुनी थी।
अपना उत्तर जाँचो:
❓ पूरा प्रश्न बैंक — उत्तर व व्याख्या सहित — 65 प्रश्न
प्रकार चुनो। पाठों के 30 जाँच-प्रश्न अलग हैं — हर पाठ में जितने उसके विषय माँगते हैं। सब सही होने पर महारत ★ मिलती है।
BSEB मॉडलअभ्यास · वार्षिक नहीं60 किए · 0 सहीबहुविकल्पीMCQ120 किए · 0 सहीसही / गलतसही-गलत80 किए · 0 सहीरिक्त स्थानरिक्त स्थान80 किए · 0 सहीमिलान करोमिलान20 किए · 0 सहीअभिकथन-कारणअभिकथन-कारण50 किए · 0 सहीसमीकरण संतुलनसंतुलन40 किए · 0 सहीअभिक्रिया पहचानपहचान20 किए · 0 सहीलघु / दीर्घ उत्तरीयअति लघु, लघु, दीर्घ120 किए · 0 सहीCBSE-शैलीPYQ नहीं60 किए · 0 सही
कोई भी प्रश्न «सत्यापित PYQ» नहीं है। BSEB वाला सेट मॉडल अभ्यास है। CBSE वाले प्रश्न CBSE-शैली हैं, किसी वर्ष के पेपर की प्रति नहीं।
बहुविकल्पी
0/12एक विकल्प चुनो। गलत पर संकेत मिलेगा।
1
मीनार की चोटी देखना है —
💡 संकेत:
सिर ऊपर।
समझो:
उन्नयन।
2
20 m दूर, 45° उन्नयन। ऊँचाई —
💡 संकेत:
tan 45 = 1।
समझो:
20 m।
3
30 m दूर, 30° उन्नयन। ऊँचाई —
💡 संकेत:
30/√3।
समझो:
10√3 m।
4
10 m रस्सी, 30°। ऊँचाई —
💡 संकेत:
sin 30 = 1/2।
समझो:
5 m।
5
3 m ऊँचाई, 60° फिसलपट्टी की लंबाई —
💡 संकेत:
3 / sin 60।
समझो:
2√3 m।
6
टूटा पेड़, दूरी 6 m, कोण 30°। पूरी ऊँचाई —
💡 संकेत:
ठूँठ + कर्ण।
समझो:
6√3 m।
7
10 m चलकर 30° से 60°। बची दूरी —
💡 संकेत:
x+10 = 3x।
समझो:
5 m।
8
12 m छत, अवनमन 30°। दूरी —
💡 संकेत:
12 × √3।
समझो:
12√3 m।
9
40 m चट्टान, नाव 45° पर। दूरी —
💡 संकेत:
tan 45 = 1।
समझो:
40 m।
10
पतंग 20 m ऊँची, धागा 30°, ढील नहीं। लंबाई —
💡 संकेत:
sin 30 = 20/L।
समझो:
40 m।
11
1.5 m आँख और 30 m इमारत। त्रिभुज की ऊँचाई —
💡 संकेत:
घटाओ।
समझो:
28.5 m।
12
10 m दूर, उन्नयन 60°। ऊँचाई —
💡 संकेत:
tan 60 = √3।
समझो:
10√3 m।
सही / गलत
0/81
अवनमन क्षैतिज से नीचे होता है।
समझो:
सही।
2
45° पर मीनार की ऊँचाई दूरी के बराबर होती है।
समझो:
सही — tan = 1।
3
रस्सी की ऊँचाई निकालने को tan ही काफी है, चाहे रस्सी कर्ण हो।
समझो:
गलत — कर्ण पर sin लगता है।
4
टूटे पेड़ की पूरी ऊँचाई केवल ठूँठ है।
समझो:
गलत — टूटा भाग भी जोड़ो।
5
पास जाने पर उन्नयन कोण बढ़ता है।
समझो:
सही।
6
अवनमन कोण को मीनार और दृष्टि रेखा के कोने में रखते हैं।
समझो:
गलत — वह जमीन वाले कोने के बराबर है।
7
30 m दूर और 30° पर ऊँचाई 10√3 m है।
समझो:
सही।
8
आँख 1.5 m हो तो 30 m इमारत की त्रिभुज-ऊँचाई भी 30 m रहती है।
समझो:
गलत — 28.5 m।
रिक्त स्थान
0/81
tan = ऊँचाई / ______।
💡 संकेत:
दूरी।
समझो:
आसन्न भुजा।
2
20 m और 45° पर ऊँचाई ______ m है।
💡 संकेत:
20 m।
समझो:
tan 45 = 1।
3
10 m रस्सी, 30°। ऊँचाई ______ m।
💡 संकेत:
5 m।
समझो:
आधा।
4
6 m और 30° वाले टूटे पेड़ की पूरी ऊँचाई ______ m है।
💡 संकेत:
6√3 m।
समझो:
2√3 + 4√3।
5
10 m चलकर 30° से 60°। बची दूरी ______ m।
💡 संकेत:
5 m।
समझो:
आधी।
6
12 m छत, अवनमन 30°। दूरी ______ m।
💡 संकेत:
12√3 m।
समझो:
12 × √3।
7
sin 60° = ______।
💡 संकेत:
√3/2।
समझो:
सारणी।
8
40 m और 45° पर नाव की दूरी ______ m है।
💡 संकेत:
40 m।
समझो:
tan 45 = 1।
मिलान करो
0/21
स्थिति को अनुपात से मिलाओ।
स्तंभ B: A. दूरी / cos · B. ऊँचाई = दूरी × tan · C. ऊँचाई = लंबाई × sin · D. जमीन का कोण वही
1. मीनार, दूरी ज्ञात
2. रस्सी कर्ण
3. अवनमन
4. टूटा भाग
समझो:
मीनार tan, रस्सी sin, अवनमन जमीन के कोण के बराबर, टूटा भाग दूरी/cos।
2
प्रश्नावली 9.1 के हिस्से को उसके ढाँचे से मिलाओ।
स्तंभ B: A. कोण जमीन पर उतरता है · B. sin, कर्ण दी हुई · C. ठूँठ + कर्ण · D. tan, दूरी दी हुई
1. रस्सी वाला प्रश्न
2. टूटा पेड़
3. एक मीनार
4. छत से अवनमन
समझो:
रस्सी sin, पेड़ योग, मीनार tan, अवनमन समांतर क्षैतिज।
अभिकथन–कारण
0/5पहले दोनों कथन जाँचो, फिर देखो कि कारण व्याख्या है या नहीं।
1
अभिकथन (A): 20 m दूर और 45° पर मीनार 20 m ऊँची है।
कारण (R): tan 45° = 1, इसलिए ऊँचाई = दूरी।
समझो:
दोनों सही हैं और R कारण है।
2
अभिकथन (A): अवनमन क्षैतिज से नीचे होता है।
कारण (R): tan 30° = 1/√3।
समझो:
दोनों सही हैं, पर R अवनमन की परिभाषा नहीं है।
3
अभिकथन (A): 10 m रस्सी 30° पर 5 m ऊँचा खंभा देती है।
कारण (R): रस्सी आसन्न भुजा है।
समझो:
A सही है। R गलत है, रस्सी कर्ण है।
4
अभिकथन (A): 6 m और 30° पर टूटे पेड़ की पूरी ऊँचाई केवल 2√3 m है।
कारण (R): ठूँठ = दूरी × tan कोण, और टूटा भाग अलग से कर्ण है।
समझो:
A गलत है, पूरी ऊँचाई 6√3 m है। R सही है।
5
अभिकथन (A): 12 m छत से 30° अवनमन पर दूरी 12√3 m है।
कारण (R): समांतर क्षैतिज के कारण जमीन वाला कोण भी 30° है और tan 30° = 12/d।
समझो:
दोनों सही हैं और R गणना का आधार है।
गुणांक अभ्यास
0/4ये रसायन की पंक्तियाँ इस गणित अध्याय का परिणाम नहीं हैं। केवल गुणांक भरने का अभ्यास है। खाली स्थान का अर्थ 1 है।
1
यह गुणांक अभ्यास है और इस गणित अध्याय का परिणाम नहीं। H2 + O2 से पानी बनने की पंक्ति में गुणांक भरो (खाली = 1)।
H2 + O2 → H2O
समझो: 2H2 + O2 → 2H2O
2
यह गुणांक अभ्यास है और इस गणित अध्याय का परिणाम नहीं। N2 + H2 से अमोनिया की पंक्ति में गुणांक भरो (खाली = 1)।
N2 + H2 → NH3
समझो: N2 + 3H2 → 2NH3
3
यह गुणांक अभ्यास है और इस गणित अध्याय का परिणाम नहीं। C + O2 से कार्बन डाइऑक्साइड की पंक्ति में गुणांक भरो (खाली = 1)।
C + O2 → CO2
समझो: C + O2 → CO2
4
यह गुणांक अभ्यास है और इस गणित अध्याय का परिणाम नहीं। CH4 + O2 की दहन पंक्ति में गुणांक भरो (खाली = 1)।
CH4 + O2 → CO2 + H2O
समझो: CH4 + 2O2 → CO2 + 2H2O
वर्गीकरण
0/21
हर दृश्य को उन्नयन या अवनमन में रखो।
जमीन से मीनार की चोटी
छत से सड़क पर व्यक्ति
बालकनी से नीचे गमला
पतंग को मैदान से देखना
समझो:
ऊपर देखना उन्नयन है। नीचे देखना अवनमन है।
2
हर माँग को सही अनुपात में रखो।
दूरी ज्ञात, ऊँचाई माँग
रस्सी की लंबाई ज्ञात, ऊँचाई माँग
ठूँठ और टूटा भाग दोनों
आँख 1.5 m, इमारत 30 m
समझो:
दूरी पर tan, रस्सी पर sin, पेड़ पर योग, आँख की ऊँचाई घटती है।
अति लघु उत्तरीय
0/51
उन्नयन कोण की परिभाषा एक पंक्ति में लिखो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
दृष्टि रेखा का वह कोण जो क्षैतिज से ऊपर बनता है।
अपना उत्तर जाँचो:
2
अवनमन कोण की परिभाषा एक पंक्ति में लिखो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
दृष्टि रेखा का वह कोण जो क्षैतिज से नीचे बनता है।
अपना उत्तर जाँचो:
3
ऊँचाई और दूरी का tan संबंध लिखो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
tan कोण = ऊँचाई / दूरी, जब कोण जमीन पर हो।
अपना उत्तर जाँचो:
4
रस्सी कर्ण हो तो ऊँचाई का सूत्र लिखो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
ऊँचाई = लंबाई × sin कोण।
अपना उत्तर जाँचो:
5
अवनमन गणना में किस कोने में बैठता है?
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
जमीन वाले कोने में, क्योंकि दोनों क्षैतिज समांतर हैं।
अपना उत्तर जाँचो:
लघु उत्तरीय
0/41
पैर से 12 m दूर उन्नयन 60° है। ऊँचाई निकालो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
tan 60° = h/12। √3 = h/12। h = 12√3 m।
अपना उत्तर जाँचो:
2
8 m रस्सी जमीन से 30° पर है। ऊँचाई और जमीन की दूरी निकालो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
ऊँचाई = 8 × 1/2 = 4 m। दूरी = 8 × √3/2 = 4√3 m।
अपना उत्तर जाँचो:
3
40 m चट्टान से दो नावों के अवनमन 45° और 30° हैं, एक तरफ। बीच की दूरी निकालो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
पास 40 m, दूर 40√3 m। अंतर 40(√3 − 1) m।
अपना उत्तर जाँचो:
4
15 m पास जाने पर कोण 30° से 60° हो। ऊँचाई निकालो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
x+15 = 3x, x = 7.5 m। h = 7.5√3 m।
अपना उत्तर जाँचो:
दीर्घ उत्तरीय
0/31
एक खंभा 18 m दूर है और उन्नयन 30° है। ऊँचाई निकालो। फिर बताओ कि कोण 60° हो तो दूरी क्या रह जाएगी, ऊँचाई वही रहे।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
h = 18 × 1/√3 = 6√3 m। 60° पर tan 60 = 6√3 / d। √3 = 6√3 / d। d = 6 m।
अपना उत्तर जाँचो:
2
पेड़ टूटता है। छूने की दूरी 9 m है और कोण 30° है। ठूँठ, टूटा भाग और पूरी ऊँचाई निकालो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
ठूँठ = 9/√3 = 3√3 m। टूटा भाग = 9/(√3/2) = 6√3 m। पूरी ऊँचाई = 9√3 m।
अपना उत्तर जाँचो:
3
1.2 m लड़की की आँख से गुब्बारा पहले 60° पर है और बाद में 30° पर। आँख से ऊपर की ऊँचाई 30√3 m स्थिर है। गुब्बारा कितना आगे बढ़ा?
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
tan 60 = 30√3 / x, इसलिए x = 30 m। tan 30 = 30√3 / (x+d)। 1/√3 = 30√3 / (30+d)। 30+d = 90। d = 60 m। लड़की की 1.2 m ऊँचाई जमीन से गुब्बारे की ऊँचाई में जुड़ती है, पर अंतर d उसी त्रिभुज से आता है।
अपना उत्तर जाँचो:
BSEB मॉडल प्रश्न-पत्र · अभ्यास
0/6यह मॉडल सेट अभ्यास के लिए है। किसी वर्ष की वार्षिक परीक्षा का प्रश्न नहीं है।
1
जमीन से 25 m दूर उन्नयन 45° हो तो ऊँचाई है —
💡 संकेत:
tan 45 = 1।
समझो:
25 m।
2
6 m रस्सी 30° पर खंभे की ऊँचाई देती है —
💡 संकेत:
आधा।
समझो:
3 m।
3
दूरी 9 m, कोण 30°, टूटे पेड़ की पूरी ऊँचाई ______ m है।
💡 संकेत:
9√3 m।
समझो:
3√3 + 6√3।
4
छत 8 m ऊँची है। एक बिंदु का अवनमन 45° है। दूरी निकालो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
जमीन वाला कोण 45° है। tan 45° = 8/d। d = 8 m।
अपना उत्तर जाँचो:
5
एक मीनार के पैर से 30 m दूर उन्नयन 30° है। ऊँचाई निकालो। फिर उसी ऊँचाई के लिए 60° कहाँ बनेगा?
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
h = 30/√3 = 10√3 m। 60° पर √3 = 10√3 / d, इसलिए d = 10 m। पैर से 10 m दूर।
अपना उत्तर जाँचो:
6
अभिकथन (A): पास जाने पर उन्नयन कोण बढ़ता है।
कारण (R): अवनमन और उन्नयन एक ही दृश्य के दो नाम हैं।
समझो:
A सही है। R गलत है। एक ऊपर है, एक नीचे।
CBSE-शैली प्रश्न
0/6ये योग्यता-आधारित अभ्यास प्रश्न हैं। किसी वर्ष के प्रश्नपत्र की प्रति नहीं हैं।
1
एक छात्र 10 m रस्सी और 30° पर ऊँचाई 10/√3 m लिखता है। चूक है —
💡 संकेत:
रस्सी कर्ण है।
समझो:
सही ऊँचाई 10 × sin 30° = 5 m। 10/√3 tan वाला उत्तर है।
2
दो खंभे सड़क के दो तरफ हैं। बीच के बिंदु से कोण 60° और 30° हैं और सड़क 20 m चौड़ी नहीं, बल्कि चला फासला 20 m है, एक ही तरफ। बची दूरी —
💡 संकेत:
x+20 = 3x।
समझो:
10 m। ऊँचाई 10√3 m।
3
अभिकथन (A): 40 m चट्टान से 45° और 30° वाली नावों के बीच 40(√3 − 1) m है।
कारण (R): 45° पर दूरी ऊँचाई के बराबर है और 30° पर दूरी ऊँचाई × √3 है।
समझो:
दोनों सही हैं। 40√3 − 40 = 40(√3 − 1)।
4
अभिकथन (A): अवनमन कोण मीनार की दीवार और दृष्टि रेखा के बीच रखा जाता है।
कारण (R): समांतर क्षैतिज के कारण यह कोण जमीन वाले कोने के बराबर होता है।
समझो:
A गलत है। R सही है।
5
एक सर्कस की रस्सी 16 m है और जमीन से 30° बनाती है। खंभे की ऊँचाई और पैर से बाँधने की दूरी निकालो।
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
ऊँचाई = 16 × 1/2 = 8 m। दूरी = 16 × √3/2 = 8√3 m।
अपना उत्तर जाँचो:
6
1.5 m लड़का 21.5 m इमारत देखता है। त्रिभुज में कितनी ऊँचाई लोगे, और 20 m दूर 45° हो तो क्या ऊँचाई मेल खाती है?
मॉडल उत्तर (बोर्ड प्रारूप)
त्रिभुज की ऊँचाई 21.5 − 1.5 = 20 m। 45° पर tan = 1, इसलिए 20 m दूर होने पर ऊँचाई 20 m बनती है। हाँ, मेल खाती है।
अपना उत्तर जाँचो:
🏛️ बोर्ड परीक्षा कॉर्नर — बिहार बोर्ड (BSEB)— CBSE
ऊपर «BSEB | CBSE» से बोर्ड बदलो। पाठ वही NCERT है।
BSEB मॉडल · अभ्यासबोर्ड टिप
इस पेज पर वार्षिक परीक्षा का सत्यापित प्रश्न नहीं है, क्योंकि स्रोत पृष्ठ नहीं जोड़ा गया। नीचे मॉडल सेट बोर्ड के पैटर्न पर अभ्यास के लिए है।
सत्यापित लेबल तभी लगेगा जब प्रश्न का स्रोत पृष्ठ उपलब्ध हो।
CBSE-शैली · योग्यता-आधारित
ये केस और अभिकथन-कारण अभ्यास हैं। इन्हें CBSE का पुराना प्रश्न मत समझो।
🔁 स्पेस्ड रिव्यू — आज के प्रश्न
गलत प्रश्न जल्दी लौटते हैं, सही वाले कुछ दिन बाद।
🧠 आपने क्या सीखा + समीकरण-पत्रक
आपने क्या सीखा
- दृष्टि रेखा आँख से देखे गए बिंदु तक जाती है।
- सिर ऊपर हो तो उन्नयन, सिर नीचे हो तो अवनमन।
- tan = ऊँचाई/दूरी, जब कोण जमीन पर हो।
- तिरछी रस्सी कर्ण है, ऊँचाई = लंबाई × sin कोण।
- टूटे पेड़ की ऊँचाई = ठूँठ + टूटा भाग।
- अवनमन, जमीन वाले कोने के कोण के बराबर होता है।
| क्या | याद रखने लायक |
|---|---|
| उन्नयन | head up, above the horizontal |
| अवनमन | head down, below the horizontal |
| tan 30° | 1/√3 |
| tan 45° | 1 |
| tan 60° | √3 |
| sin 30° | 1/2 |
नोट्स मूल लेखन हैं। पाठ्यपुस्तक केवल क्रम और क्रियाकलाप-संख्या के लिए संदर्भ है। «सत्यापित» केवल स्रोत पृष्ठ वाले प्रश्न पर लिखा जाएगा।